天津市河东区中考数学一模试卷含答案解析资料

天津市河东区中考数学一模试卷含答案解析资料

‎2016年天津市河东区中考数学一模试卷 ‎　‎ 一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）‎ ‎1．计算（﹣3）+（﹣2）的结果等于（　　）‎ A．﹣5 B．5 C．﹣1 D．1‎ ‎2．tan30°的值等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．下列标志中，可以看作是轴对称图形的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．根据海关统计，2015年1月4日，某市共出口钢铁1488000吨，148000这个数用科学记数法表示为（　　）‎ A．1.488×104 B．0.1488×107 C．14.88×106 D．1.488×106‎ ‎5．如图是由5个相同的正方体组成的一个立体图形，它的左视图是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．方程的解为（　　）‎ A．x=﹣2 B．x=2 C．x=﹣1 D．x=‎ ‎7．某校260名学生参加植树活动，要求每人值4﹣7棵，活动结束后随机调查了部分学生每人的植树量，并分为四种类型，A：4棵；B：5棵；C：6棵；D：7棵．并结合调查数据作出如图所示的扇形统计图，根据统计图提供的信息，可估算出该校植树量达到6棵的学生有（　　）‎ A．26名 B．52名 C．78名 D．104名 ‎8．正六边形的边心距是，则它的边长是（　　）‎ A．1 B．2 C．2 D．3‎ ‎9．反比例函数y=的图象经过点A（﹣2，﹣5），则当1＜x＜2时，y的取值范围是（　　）‎ A．﹣10＜y＜﹣5 B．﹣2＜y＜﹣1 C．5＜y＜10 D．y＞10‎ ‎10．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠B=60°，⊙O的半径为4，则AC的长等于（　　）‎ A．4 B．6 C．2 D．8‎ ‎11．如图，平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转30°，得到平行四边形AB′C′D′（点B′与点B是对应点，点C′与点C是对应点，点D′与点D是对应点），点B′恰好落在BC边上，则∠C=（　　）‎ A．105° B．150° C．75° D．30°‎ ‎12．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点（﹣2，0）、（x1，0），且1＜x1＜2，与y轴的正半轴的交点在（0，2）的下方．下列结论：①4a﹣2b+c=0；②a﹣b+c＜0；③2a+c＞0；④2a﹣b+1＞0．其中正确结论的个数是（　　）个．‎ A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 ‎　‎ 二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）‎ ‎13．计算（﹣a2）3的结果等于　　　　　　．‎ ‎14．在一个不透明布袋里面装有11个球，其中有4个红球，7个白球，每个球除颜色外其他完全相同，从中任意摸出一个球，是白球的概率是　　　　　　．‎ ‎15．一次函数y=（m﹣1）x+m2的图象过点（0，4），且y随x的增大而增大，则m=　　　　　　．‎ ‎16．已知抛物线y=ax2+bx+c过（﹣2，3），（4，3）两点，那么抛物线的对称轴为直线　　　　　　．‎ ‎17．如图，已知AB=AC=AD，∠CBD=2∠BDC，∠BAC=44°，则∠CAD的度数为　　　　　　．‎ ‎18．如图，将三角形ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，点B，点C，点P均落在格点上．‎ ‎（1）计算三角形ABC的周长等于　　　　　　．‎ ‎（2）请在给定的网格内作三角形ABC的内接矩形EFGH，使得点E，H分别在边AB，AC上，点F，G在边BC上，且使矩形EFGH的周长等于线段BP长度的2倍，并简要说明你的作图方法（不要求证明）‎ ‎　‎ 三、解答题（共7小题，满分66分）‎ ‎19．解不等式 请结合题意填空，完全本题的解答 ‎（1）解不等式①，得　　　　　　．‎ ‎（2）解不等式②，得　　　　　　．‎ ‎（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来．‎ ‎（4）原不等式组的解集为　　　　　　．‎ ‎20．某校开展社团活动，准备组件舞蹈、武术、球类（足球、篮球、乒乓球、羽毛球）．花样滑冰四类社团，为了解在校学生对这4个社团活动的喜爱情况，学校随机抽取部分学生进行了“你最喜爱的社团”调查，依据相关数据绘制以下的统计图表，请根据图表中的信息解答下列问题：‎ ‎“你最喜爱的社团”调查统计图表 ‎ 社团类别 ‎ 人数 占总人数的比例 ‎ ‎ 舞蹈 ‎ 60‎ ‎ 25%‎ ‎ 武术 ‎ m ‎ 10%‎ ‎ 花样滑冰 ‎36‎ ‎ n%‎ ‎ 球类 ‎120 ‎ ‎ 50%‎ ‎（1）被调查的学生总人数是　　　　　　；m=　　　　　　，n=　　　　　　．‎ ‎（2）被调查喜爱球类的学生中有12人最喜爱乒乓球，若该校有2600名学生，试估计全校最喜爱乒乓球的人数．‎ ‎21．已知：AB为⊙O的直径，P为AB延长线上的任意一点，过点P作⊙O的切线，切点为C，∠APC的平分线PD与AC交于点D．‎ ‎（1）如图1，若∠CPA恰好等于30°，求∠CDP的度数；‎ ‎（2）如图2，若点P位于（1）中不同的位置，（1）的结论是否仍然成立？说明你的理由．‎ ‎22．天津北宁公园内的致远塔，塔高九层，塔内四周墙壁上镶钳着历史题材为内容的瓷板油彩画或青石刻浮雕，叠双向盘旋楼梯或电梯可达九层，津门美景尽收眼底，是我国目前最高的宝塔．某校数学情趣小组实地测量了致远塔的高度AB，如图，在C处测得塔尖A的仰角为45°，再沿CB方向前进31.45m到达D处，测得塔尖A的仰角为60°，求塔高AB（精确到0.1m，≈1.732）‎ ‎23．为支持国家南水北调工程建设，小王家由原来养殖户变为种植户，经市场调查得知，种植草莓不超过20亩时，所得利润y（元）与种植面积m（亩）满足关系式y=1500m；超过20亩时，y=1380m+2400．而当种植樱桃的面积不超过15亩时，每亩可获得利润1800元；超过15亩时，每亩获得利润z（元）与种植面积x（亩）之间的函数关系如下表（为所学过的一次函数、反比例函数或二次函数中的一种）．‎ x（亩）‎ ‎20‎ ‎25‎ ‎30‎ ‎35‎ z（元）‎ ‎1700‎ ‎1600‎ ‎1500‎ ‎1400‎ ‎（1）设小王家种植x亩樱桃所获得的利润为P元，直接写出P关于x的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（2）如果小王家计划承包40亩荒山种植草莓和樱桃，当种植樱桃面积x（亩）满足0＜x＜20时，求小王家总共获得的利润w（元）的最大值．‎ ‎24．在平面直角坐标系xOy中，如图，已知Rt△DOE，∠DOE=90°，OD=3，点D在y轴上，点E在x轴上，在△ABC中，点A，C在x轴上，AC=5．∠ACB+∠ODE=180°，∠ABC=∠OED，BC=DE．按下列要求画图（保留作图痕迹）：‎ ‎（1）将△ODE绕O点按逆时针方向旋转90°得到△OMN（其中点D的对应点为点M，点E的对应点为点N），画出△OMN；‎ ‎（2）将△ABC沿x轴向右平移得到△A′B′C′（其中点A，B，C的对应点分别为点A′，B′，C′），使得B′C′与（1）中的△OMN的边NM重合；‎ ‎（3）求OE的长．‎ ‎25．已知抛物线y=﹣x2﹣2x+a（a≠0）与y轴相交于A点，顶点为M，直线y=x﹣a分别与x轴、y轴相交于B，C两点，并且与直线MA相交于N点．‎ ‎（1）若直线BC和抛物线有两个不同交点，求a的取值范围，并用a表示交点M，A的坐标；‎ ‎（2）将△NAC沿着y轴翻转，若点N的对称点P恰好落在抛物线上，AP与抛物线的对称轴相交于点D，连接CD，求a的值及△PCD的面积；‎ ‎（3）在抛物线y=﹣x2﹣2x+a（a＞0）上是否存在点P，使得以P，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎　‎ ‎2016年天津市河东区中考数学一模试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）‎ ‎1．计算（﹣3）+（﹣2）的结果等于（　　）‎ A．﹣5 B．5 C．﹣1 D．1‎ ‎【分析】原式利用同号两数相加的法则计算即可得到结果．‎ ‎【解答】解：原式=﹣（3+2）‎ ‎=﹣5，‎ 故选A．‎ ‎【点评】此题考查了有理数的加法，熟练掌握有理数加法法则是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎2．tan30°的值等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】根据特殊角的三角函数值解答．‎ ‎【解答】解：tan30°=．‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查特殊角的三角函数值．特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，题型以选择题、填空题为主．‎ ‎【相关链接】特殊角三角函数值：‎ sin30°=，cos30°=，tan30°=，cot30°=；‎ sin45°=，cos45°=，tan45°=1，cot45°=1；‎ sin60°=，cos60°=，tan60°=，cot60°=．‎ ‎　‎ ‎3．下列标志中，可以看作是轴对称图形的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】根据轴对称图形的概念求解．‎ ‎【解答】解：C上下折叠能重合，是轴对称图形，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．‎ ‎　‎ ‎4．根据海关统计，2015年1月4日，某市共出口钢铁1488000吨，148000这个数用科学记数法表示为（　　）‎ A．1.488×104 B．0.1488×107 C．14.88×106 D．1.488×106‎ ‎【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．‎ ‎【解答】解：148000这个数用科学记数法表示为1.488×105，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．‎ ‎　‎ ‎5．如图是由5个相同的正方体组成的一个立体图形，它的左视图是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．‎ ‎【解答】解：从左边看第一层是两个小正方形，第二层左边一个小正方形，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．‎ ‎　‎ ‎6．方程的解为（　　）‎ A．x=﹣2 B．x=2 C．x=﹣1 D．x=‎ ‎【分析】观察方程可得最简公分母是：x（x﹣1），两边同时乘最简公分母可把分式方程化为整式方程来解答．‎ ‎【解答】解：方程两边同乘以x（x﹣1）得，‎ ‎2x﹣2=3x，‎ 解得：x=﹣2．‎ 经检验：x=﹣2是原方程的解；‎ 故选A．‎ ‎【点评】此题考查了分式方程的解，（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解；（2）解分式方程一定注意要验根．‎ ‎　‎ ‎7．某校260名学生参加植树活动，要求每人值4﹣7棵，活动结束后随机调查了部分学生每人的植树量，并分为四种类型，A：4棵；B：5棵；C：6棵；D：7棵．并结合调查数据作出如图所示的扇形统计图，根据统计图提供的信息，可估算出该校植树量达到6棵的学生有（　　）‎ A．26名 B．52名 C．78名 D．104名 ‎【分析】用学生总人数乘以植树量为6棵的百分比即可求解．‎ ‎【解答】解：观察统计图发现植树量为6棵的占30%，‎ 故植树量达6棵的人数有260×30%=78人，‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查了用样本估计总体及扇形统计图的知识，解题的关键是从扇形统计题中整理出植树量达6棵所占的百分比，难度不大．‎ ‎　‎ ‎8．正六边形的边心距是，则它的边长是（　　）‎ A．1 B．2 C．2 D．3‎ ‎【分析】运用正六边形的性质，正六边形边长等于外接圆的半径，再利用勾股定理解决．‎ ‎【解答】解：∵正六边形的边心距为，‎ ‎∴OB=，AB=OA，‎ ‎∵OA2=AB2+OB2，‎ ‎∴OA2=（OA）2+（）2，‎ 解得OA=2．‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查了正六边形和圆，掌握外接圆的半径等于正六边形的边长是解此题的关键．‎ ‎　‎ ‎9．反比例函数y=的图象经过点A（﹣2，﹣5），则当1＜x＜2时，y的取值范围是（　　）‎ A．﹣10＜y＜﹣5 B．﹣2＜y＜﹣1 C．5＜y＜10 D．y＞10‎ ‎【分析】将点A的坐标代入反比例函数解析式中，求出k值，结合反比例函数的性质可知当x＞0时，反比例函数单调递减，分别代入x=1、x=2求出y值，由此即可得出结论．‎ ‎【解答】解：∵反比例函数y=的图象经过点A（﹣2，﹣5），‎ ‎∴﹣5=，解得：k=10，‎ ‎∴反比例函数解析式为y=．‎ 当x＞0时，反比例函数单调递减，‎ 当x=1时，y==10；‎ 当x=2时，y==5．‎ ‎∴当1＜x＜2时，5＜y＜10．‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的性质以及待定系数法求函数解析式，解题的关键是求出k值．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，由给定点的坐标利用待定系数法求出k的值，再根据反比例函数的性质确定其单调性，代入x的值即可得出结论．‎ ‎　‎ ‎10．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠B=60°，⊙O的半径为4，则AC的长等于（　　）‎ A．4 B．6 C．2 D．8‎ ‎【分析】首先连接OA，OC，过点O作OD⊥AC于点D，由圆周角定理可求得∠AOC的度数，进而可在构造的直角三角形中，根据勾股定理求得弦AC的一半，由此得解．‎ ‎【解答】解：连接OA，OC，过点O作OD⊥AC于点D，‎ ‎∵∠AOC=2∠B，且∠AOD=∠COD=∠AOC，‎ ‎∴∠COD=∠B=60°；‎ 在Rt△COD中，OC=4，∠COD=60°，‎ ‎∴CD=OC=2，‎ ‎∴AC=2CD=4．‎ 故选A．‎ ‎【点评】此题主要考查了三角形的外接圆以及勾股定理的应用，还涉及到圆周角定理、垂径定理以及直角三角形的性质等知识，难度不大．‎ ‎　‎ ‎11．如图，平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转30°，得到平行四边形AB′C′D′（点B′与点B是对应点，点C′与点C是对应点，点D′与点D是对应点），点B′恰好落在BC边上，则∠C=（　　）‎ A．105° B．150° C．75° D．30°‎ ‎【分析】根据旋转的性质得出AB=AB′，∠BAB′=30°，进而得出∠B的度数，再利用平行四边形的性质得出∠C的度数．‎ ‎【解答】解：∵平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转30°，得到平行四边形AB′C′D′（点B′与点B是对应点，点C′与点C是对应点，点D′与点D是对应点），‎ ‎∴AB=AB′，∠BAB′=30°，‎ ‎∴∠B=∠AB′B=÷2=75°，‎ ‎∴∠C=180°﹣75°=105°．‎ 故选A．‎ ‎【点评】此题主要考查了旋转的性质以及平行四边形的性质，根据已知得出∠B=∠AB′B=75°是解题关键．‎ ‎　‎ ‎12．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点（﹣2，0）、（x1，0），且1＜x1＜2，与y轴的正半轴的交点在（0，2）的下方．下列结论：①4a﹣2b+c=0；②a﹣b+c＜0；③2a+c＞0；④2a﹣b+1＞0．其中正确结论的个数是（　　）个．‎ A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 ‎【分析】根据已知画出图象，把x=﹣2代入得：4a﹣2b+c=0，2a+c=2b﹣2a；把x=﹣1代入得到a﹣b+c＞0；根据﹣＜0，推出a＜0，b＜0，a+c＞b，计算2a+c=2b﹣2a＞0；代入得到2a﹣b+1=﹣c+1＞0，根据结论判断即可．‎ ‎【解答】解：根据二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点（﹣2，0）、（x1，0），且1＜x1＜2，与y轴的正半轴的交点在（0，2）的下方，画出图象为：如图 把x=﹣2代入得：4a﹣2b+c=0，∴①正确；‎ 把x=﹣1代入得：y=a﹣b+c＞0，如图A点，∴②错误；‎ ‎∵（﹣2，0）、（x1，0），且1＜x1，‎ ‎∴取符合条件1＜x1＜2的任何一个x1，﹣2•x1＜﹣2，‎ ‎∴由一元二次方程根与系数的关系知 x1•x2=＜﹣2，‎ ‎∴不等式的两边都乘以a（a＜0）得：c＞﹣2a，‎ ‎∴2a+c＞0，∴③正确；‎ ‎④由4a﹣2b+c=0得 2a﹣b=﹣，‎ 而0＜c＜2，∴﹣1＜﹣＜0‎ ‎∴﹣1＜2a﹣b＜0‎ ‎∴2a﹣b+1＞0，‎ ‎∴④正确．‎ 所以①③④三项正确．‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与X轴的交点，二次函数与系数的关系等知识点的理解和掌握，能根据图象确定与系数有关的式子得符号是解此题的关键．‎ ‎　‎ 二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）‎ ‎13．计算（﹣a2）3的结果等于　﹣a6　．‎ ‎【分析】直接利用积的乘方运算法则求出答案．‎ ‎【解答】解：（﹣a2）3=﹣a6．‎ 故答案为：﹣a6．‎ ‎【点评】此题主要考查了积的乘方运算，正确掌握运算法则是解题关键．‎ ‎　‎ ‎14．在一个不透明布袋里面装有11个球，其中有4个红球，7个白球，每个球除颜色外其他完全相同，从中任意摸出一个球，是白球的概率是　　．‎ ‎【分析】用白球的个数除以球的总个数即可．‎ ‎【解答】解：∵在一个不透明布袋里面装有11个球，其中有4个红球，7个白球，‎ ‎∴从中任意摸出一个球，是白球的概率是：．‎ 故答案为．‎ ‎【点评】本题考查了概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比．‎ ‎　‎ ‎15．一次函数y=（m﹣1）x+m2的图象过点（0，4），且y随x的增大而增大，则m=　2　．‎ ‎【分析】根据一次函数的增减性列出关于m的不等式组，求出m的值即可．‎ ‎【解答】解：∵一次函数y=（m﹣1）x+m2的图象过点（0，4），且y随x的增大而增大，‎ ‎∴，解得m=2．‎ 故答案为：2．‎ ‎【点评】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的图象与系数的关系及其增减性是解答此题的关键．‎ ‎　‎ ‎16．已知抛物线y=ax2+bx+c过（﹣2，3），（4，3）两点，那么抛物线的对称轴为直线　x=1　．‎ ‎【分析】根据二次函数的图象具有对称性，由抛物线y=ax2+bx+c过（﹣2，3），（4，3）两点，可以得到它的对称轴，本题得以解决．‎ ‎【解答】解：∵抛物线y=ax2+bx+c过（﹣2，3），（4，3）两点，‎ ‎∴抛物线的对称轴为直线x=，‎ 故答案为：x=1．‎ ‎【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是明确二次函数的性质，知道二次函数的图象具有对称性．‎ ‎　‎ ‎17．如图，已知AB=AC=AD，∠CBD=2∠BDC，∠BAC=44°，则∠CAD的度数为　88°　．‎ ‎【分析】由AB=AC=AD，可得B，C，D在以A为圆心，AB为半径的圆上，然后由圆周角定理，证得∠CAD=2∠CBD，∠BAC=2∠BDC，继而可得∠CAD=2∠BAC．‎ ‎【解答】解：∵AB=AC=AD，‎ ‎∴B，C，D在以A为圆心，AB为半径的圆上，‎ ‎∴∠CAD=2∠CBD，∠BAC=2∠BDC，‎ ‎∵∠CBD=2∠BDC，∠BAC=44°，‎ ‎∴∠CAD=2∠BAC=88°．‎ 故答案为：88°．‎ ‎【点评】此题考查了圆周角定理．注意得到B，C，D在以A为圆心，AB为半径的圆上是解此题的关键．‎ ‎　‎ ‎18．如图，将三角形ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，点B，点C，点P均落在格点上．‎ ‎（1）计算三角形ABC的周长等于　3+5　．‎ ‎（2）请在给定的网格内作三角形ABC的内接矩形EFGH，使得点E，H分别在边AB，AC上，点F，G在边BC上，且使矩形EFGH的周长等于线段BP长度的2倍，并简要说明你的作图方法（不要求证明）‎ ‎【分析】（1）根据勾股定理分别求出AB、AC即可解决问题．‎ ‎（2）在线段AB上截取BE=AB，作EF⊥BC于F，EH∥BC交AC于H，作HG⊥BC于G，矩形EFGH计算所求作的矩形．作AM⊥BC于M，交EH于N，设EF=x，则MN=EF=x，‎ 由△AEH∽△ABC，得=，列出方程即可解决．‎ ‎【解答】解：（1）∵AB==，AC==2，BC=5，‎ ‎∴AB+AC+BC=3+5，‎ ‎∴△ABC的周长为3+5．‎ 故答案为3+5．‎ ‎（2）在线段AB上截取BE=AB，作EF⊥BC于F，EH∥BC交AC于H，作HG⊥BC于G，矩形EFGH计算所求作的矩形．‎ 理由：作AM⊥BC于M，交EH于N，设EF=x，则MN=EF=x，‎ ‎∵矩形EFGH的周长为8，‎ ‎∴EH=4﹣x，‎ ‎∵EH∥BC，‎ ‎∴△AEH∽△ABC，‎ ‎∴=，‎ ‎∴，‎ ‎∴x=，‎ ‎∴EF=，‎ ‎∵EF∥AM，‎ ‎∴===，‎ ‎∴BE=AB，‎ ‎∴当BE=AB时，矩形EFGH的周长等于线段BP长度的2倍．‎ ‎【点评】本题考查矩形性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是先利用相似三角形的性质求出矩形的长、宽，然后确定点E位置，属于中考常考题型．‎ ‎　‎ 三、解答题（共7小题，满分66分）‎ ‎19．解不等式 请结合题意填空，完全本题的解答 ‎（1）解不等式①，得　x≥﹣1　．‎ ‎（2）解不等式②，得　x≤1　．‎ ‎（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来．‎ ‎（4）原不等式组的解集为　﹣1≤x≤1　．‎ ‎【分析】先根据不等式基本性质求出两个不等式的解集，再将不等式解集表示在数轴上，根据解集在数轴上的表示求其公共解．‎ ‎【解答】解：（1）解不等式①，得：x≥﹣1，‎ ‎（2）解不等式②，得：x≤1，‎ ‎（3）把不等式①和②的解集表示在数轴上，如图：‎ ‎（4）∴原不等式组的解集为：﹣1≤x≤1；‎ 故答案为：（1）x≥﹣1；（2）x≤1；（4）﹣1≤x≤1．‎ ‎【点评】本题考查的是一元一次不等式组的整数解，会求一元一次不等式组的解集是解决此类问题的关键．求不等式组的解集，借助数轴找公共部分或遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．‎ ‎　‎ ‎20．某校开展社团活动，准备组件舞蹈、武术、球类（足球、篮球、乒乓球、羽毛球）．花样滑冰四类社团，为了解在校学生对这4个社团活动的喜爱情况，学校随机抽取部分学生进行了“你最喜爱的社团”调查，依据相关数据绘制以下的统计图表，请根据图表中的信息解答下列问题：‎ ‎“你最喜爱的社团”调查统计图表 ‎ 社团类别 ‎ 人数 占总人数的比例 ‎ ‎ 舞蹈 ‎ 60‎ ‎ 25%‎ ‎ 武术 ‎ m ‎ 10%‎ ‎ 花样滑冰 ‎36‎ ‎ n%‎ ‎ 球类 ‎120 ‎ ‎ 50%‎ ‎（1）被调查的学生总人数是　240　；m=　24　，n=　15　．‎ ‎（2）被调查喜爱球类的学生中有12人最喜爱乒乓球，若该校有2600名学生，试估计全校最喜爱乒乓球的人数．‎ ‎【分析】（1）用“舞蹈”类人数除以其占总人数百分比可得总人数，将“武术”类人数占总人数百分比×总人数可得m的值，将“花样滑冰”类人数除以总人数可得其所占百分比；‎ ‎（2）用乒乓球类人数占样本总数的百分比乘以2600可得．‎ ‎【解答】解：（1）被调查的学生总人数是60÷25%=240（人），‎ ‎“武术”类人数m=240×10%=24（人），‎ ‎“花样滑冰”类人数占总人数百分比n=×100=15；‎ ‎（2）×2600=130（人），‎ 答：估计全校最喜爱乒乓球的人数约为130人．‎ 故答案为：（1）240，24，15．‎ ‎【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．‎ ‎　‎ ‎21．已知：AB为⊙O的直径，P为AB延长线上的任意一点，过点P作⊙O的切线，切点为C，∠APC的平分线PD与AC交于点D．‎ ‎（1）如图1，若∠CPA恰好等于30°，求∠CDP的度数；‎ ‎（2）如图2，若点P位于（1）中不同的位置，（1）的结论是否仍然成立？说明你的理由．‎ ‎【分析】（1）连接OC，则∠OCP=90°，根据∠CPA=30°，求得∠COP，再由OA=OC，得出∠A=∠ACO，由PD平分∠APC，即可得出∠CDP=45°．‎ ‎（2）由PC是⊙O的切线，得∠OCP=90°．再根据PD是∠CPA的平分线，得∠APC=2∠APD．根据OA=OC，可得出∠A=∠ACO，即∠COP=2∠A，在Rt△OCP中，∠OCP=90°，则∠COP+∠OPC=90°，从而得出∠CDP=∠A+∠APD=45°．所以∠CDP的大小不发生变化．‎ ‎【解答】解：（1）连接OC，‎ ‎∵PC是⊙O的切线，‎ ‎∴OC⊥PC ‎∴∠OCP=90°．‎ ‎∵∠CPA=30°，‎ ‎∴∠COP=60°‎ ‎∵OA=OC，‎ ‎∴∠A=∠ACO=30°‎ ‎∵PD平分∠APC，‎ ‎∴∠APD=15°，‎ ‎∴∠CDP=∠A+∠APD=45°．‎ ‎（2）∠CDP的大小不发生变化．‎ ‎∵PC是⊙O的切线，‎ ‎∴∠OCP=90°．‎ ‎∵PD是∠CPA的平分线，‎ ‎∴∠APC=2∠APD．‎ ‎∵OA=OC，‎ ‎∴∠A=∠ACO，‎ ‎∴∠COP=2∠A，‎ 在Rt△OCP中，∠OCP=90°，‎ ‎∴∠COP+∠OPC=90°，‎ ‎∴2（∠A+∠APD）=90°，‎ ‎∴∠CDP=∠A+∠APD=45°．‎ 即∠CDP的大小不发生变化．‎ ‎【点评】本题考查了切线的性质以及角平分线的性质、等腰三角形的性质，要注意各个知识点的衔接．‎ ‎　‎ ‎22．天津北宁公园内的致远塔，塔高九层，塔内四周墙壁上镶钳着历史题材为内容的瓷板油彩画或青石刻浮雕，叠双向盘旋楼梯或电梯可达九层，津门美景尽收眼底，是我国目前最高的宝塔．某校数学情趣小组实地测量了致远塔的高度AB，如图，在C处测得塔尖A的仰角为45°，再沿CB方向前进31.45m到达D处，测得塔尖A的仰角为60°，求塔高AB（精确到0.1m，≈1.732）‎ ‎【分析】先设AB=x米，根据题意分析图形：本题涉及到两个直角三角形Rt△ACB和Rt△ADB，应利用其公共边BA构造等量关系，解三角形可求得CB、DB的数值，再根据CD=BC﹣BD=31.45，进而可求出答案．‎ ‎【解答】解：设AB=x米，‎ 在Rt△ACB和Rt△ADB中，‎ ‎∵∠C=45°，∠ADB=60°，CD=31.45m，‎ ‎∴CB=x，BD=x，‎ ‎∵CD=BC﹣BD=x﹣x=31.45，‎ 解得：x≈74.4．‎ 答：塔高AB约为74.4米．‎ ‎【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角；能借助仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形是解决问题的关键．‎ ‎　‎ ‎23．为支持国家南水北调工程建设，小王家由原来养殖户变为种植户，经市场调查得知，种植草莓不超过20亩时，所得利润y（元）与种植面积m（亩）满足关系式y=1500m；超过20亩时，y=1380m+2400．而当种植樱桃的面积不超过15亩时，每亩可获得利润1800元；超过15亩时，每亩获得利润z（元）与种植面积x（亩）之间的函数关系如下表（为所学过的一次函数、反比例函数或二次函数中的一种）．‎ x（亩）‎ ‎20‎ ‎25‎ ‎30‎ ‎35‎ z（元）‎ ‎1700‎ ‎1600‎ ‎1500‎ ‎1400‎ ‎（1）设小王家种植x亩樱桃所获得的利润为P元，直接写出P关于x的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（2）如果小王家计划承包40亩荒山种植草莓和樱桃，当种植樱桃面积x（亩）满足0＜x＜20时，求小王家总共获得的利润w（元）的最大值．‎ ‎【分析】（1）根据图表的性质，可以得出P关于x的函数关系式和出x的取值范围．‎ ‎（2）根据利润=亩数×每亩利润，可得①当0＜x≤15时 ②当15＜x＜20时，利润的函数式，即可解题；‎ ‎【解答】解：（1）观察图表的数量关系，可以得出P关于x的函数关系式为：P=‎ ‎（2）∵利润=亩数×每亩利润，‎ ‎∴①当0＜x≤15时，W=1800x+1380（40﹣x）+2400=420x+57600；‎ 当x=15时，W有最大值，W最大=6300+57600=63900；‎ ‎②当15＜x＜20，W=﹣20x2+2100x+1380（40﹣x）+2400=﹣20（x﹣18）2+64080；‎ ‎∴x=18时有最大值为：64080元．‎ 综上x=18时，有最大利润64080．‎ ‎【点评】本题主要考查了一次函数的实际应用，解题的关键是分析题意，找到关键描述语，求出函数的解析式，用到的知识点是一次函数的性质．‎ ‎　‎ ‎24．在平面直角坐标系xOy中，如图，已知Rt△DOE，∠DOE=90°，OD=3，点D在y轴上，点E在x轴上，在△ABC中，点A，C在x轴上，AC=5．∠ACB+∠ODE=180°，∠ABC=∠OED，BC=DE．按下列要求画图（保留作图痕迹）：‎ ‎（1）将△ODE绕O点按逆时针方向旋转90°得到△OMN（其中点D的对应点为点M，点E的对应点为点N），画出△OMN；‎ ‎（2）将△ABC沿x轴向右平移得到△A′B′C′（其中点A，B，C的对应点分别为点A′，B′，C′），使得B′C′与（1）中的△OMN的边NM重合；‎ ‎（3）求OE的长．‎ ‎【分析】（1）以点O为圆心，以OE为半径画弧，与y轴正半轴相交于点N，以OD为半径画弧，与x轴负半轴相交于点M，连接MN即可；‎ ‎（2）以M为圆心，以AC长为半径画弧与x轴负半轴相交于点A′，B′与N重合，C′与M重合，然后顺次连接即可；‎ ‎（3）设OE=x，则ON=x，作MF⊥A′B′于点F，判断出B′C′平分∠A′B′O，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等和角平分线的对称性可得B′F=B′O=OE=x，F C′=O C′=OD=3，利用勾股定理列式求出A′F，然后表示出A′B′、A′O，在Rt△A′B′O中，利用勾股定理列出方程求解即可．‎ ‎【解答】解：（1）△OMN如图所示；‎ ‎（2）△A′B′C′如图所示；‎ ‎（3）设OE=x，则ON=x，作MF⊥A′B′于点F，‎ 由作图可知：B′C′平分∠A′B′O，且C′O⊥O B′，‎ 所以，B′F=B′O=OE=x，F C′=O C′=OD=3，‎ ‎∵A′C′=AC=5，‎ ‎∴A′F==4，‎ ‎∴A′B′=x+4，A′O=5+3=8，‎ 在Rt△A′B′O中，x2+82=（4+x）2，‎ 解得x=6，‎ 即OE=6．‎ ‎【点评】本题考查了利用旋转变换作图，利用平移变换作图，勾股定理，熟练掌握旋转变化与平移变化的性质是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎25．已知抛物线y=﹣x2﹣2x+a（a≠0）与y轴相交于A点，顶点为M，直线y=x﹣a分别与x轴、y轴相交于B，C两点，并且与直线MA相交于N点．‎ ‎（1）若直线BC和抛物线有两个不同交点，求a的取值范围，并用a表示交点M，A的坐标；‎ ‎（2）将△NAC沿着y轴翻转，若点N的对称点P恰好落在抛物线上，AP与抛物线的对称轴相交于点D，连接CD，求a的值及△PCD的面积；‎ ‎（3）在抛物线y=﹣x2﹣2x+a（a＞0）上是否存在点P，使得以P，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【分析】（1）先联立抛物线与直线的解析式得出关于x的方程，再由直线BC和抛物线有两个不同交点可知△＞0，求出a的取值范围，令x=0求出y的值即可得出A点坐标，把抛物线的解析式化为顶点式的形式即可得出M点的坐标；‎ ‎（2）利用待定系数法求出直线MA的解析式，联立两直线的解析式可得出N点坐标，进而可得出P点坐标，根据S△PCD=S△PAC﹣S△ADC可得出结论；‎ ‎（3）分点P在y轴左侧与右侧两种情况进行讨论即可．‎ ‎【解答】解：（1）由题意得，，整理得2x2+5x﹣4a=0．‎ ‎∵△=25+32a＞0，解得a＞﹣．‎ ‎∵a≠0，‎ ‎∴a＞﹣且a≠0．‎ 令x=0，得y=a，‎ ‎∴A（0，a）．‎ 由y=﹣（x+1）2+1+a得，M（﹣1，1+a）．‎ ‎（2）设直线MA的解析式为y=kx+b（k≠0），‎ ‎∵A（0，a），M（﹣1，1+a），‎ ‎∴，解得，‎ ‎∴直线MA的解析式为y=﹣x+a，‎ 联立得，，解得，‎ ‎∴N（，﹣）．‎ ‎∵点P是点N关于y轴的对称点，‎ ‎∴P（﹣，﹣）．‎ 代入y=﹣x2﹣2x+a得，﹣ =﹣a2+a+a，解得a=或a=0（舍去）．‎ ‎∴A（0，），C（0，﹣），M（﹣1，），|AC|=，‎ ‎∴S△PCD=S△PAC﹣S△ADC=|AC|•|xp|﹣|AC|•|x0|‎ ‎=••（3﹣1）‎ ‎=；‎ ‎（3）①当点P在y轴左侧时，‎ ‎∵四边形APCN是平行四边形，‎ ‎∴AC与PN互相平分，N（，﹣），‎ ‎∴P（﹣，）；‎ 代入y=﹣x2﹣2x+a得， =﹣a2+a+a，解得a=，‎ ‎∴P1（﹣，）．‎ ‎②当点P在y轴右侧时，‎ ‎∵四边形ACPN是平行四边形，‎ ‎∴NP∥AC且NP=AC，‎ ‎∵N（，﹣），A（0，a），C（0，﹣a），‎ ‎∴P（，﹣）．‎ 代入y=﹣x2﹣2x+a得，﹣ =﹣a2﹣a+a，解得a=，‎ ‎∴P2（，﹣）．‎ 综上所述，当点P1（﹣，）和P2（，﹣）时，A、C、P、N能构成平行四边形．‎ ‎【点评】本题考查的是二次函数综合题，涉及到二次函数与一次函数的交点问题、二次函数图象上点的坐标特点、平行四边形的判定与性质等知识，难度较大．‎ ‎　‎ ‎2016年6月17日