广西北流市实验中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学（文）试题 Word版含解析

广西北流市实验中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学（文）试题 Word版含解析

‎2020年春季期高中二年级期中联考质量评价检测 数学（文科）‎ 注意事项：‎ ‎1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区.‎ ‎2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.‎ ‎3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效.‎ ‎4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知，，则M（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接根据交集的定义计算可得；‎ ‎【详解】解：因为，‎ 所以 故选：B ‎【点睛】本题考查交集的运算，属于基础题.‎ ‎2.复平面内，复数的对应的点位于（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数代数形式的乘法运算化简，求出复数所对应点的坐标得答案．‎ ‎【详解】解：，在复平面内对应的点的坐标为在第四象限.‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查复数代数形式的乘法运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题．‎ ‎3.为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得知5户家庭收入的平均值万元，支出的平均值万元，根据以上数据可得线性回归方程为 ，其中 ，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为（ ）‎ A. 万元 B. 万元 C. 万元 D. 万元 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用线性回归方程过样本中心点，可求解出，代入，即得解 ‎【详解】‎ 当 故选：B ‎【点睛】本题考查了线性回归方程的应用，考查了学生综合分析，数据处理，数学运算能力，属于基础题 ‎4.（2017新课标全国I理科）记为等差数列的前项和．若，，则的公差为 A. 1 B. 2‎ C. 4 D. 8‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 设公差为，，，联立解得，故选C.‎ 点睛:求解等差数列基本量问题时，要多多使用等差数列的性质，如为等差数列，若，则.‎ ‎5.已知函数，其中，则（ ）‎ A. 6 B. 7 C. 2 D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 故选B ‎6.为得到的图象，只需要将的图象（ ）‎ A. 向左平移个单位 B. 向左平移个单位 C. 向右平移个单位 D. 向右平移个单位 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：因为，所以为得到图象，只需要将的图象向右平移个单位；故选D．‎ 考点：三角函数的图像变换．‎ ‎7.直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的最大值是（ ）‎ A. 6 B. C. 2 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 易知,所以点到直线的距离最大时，三角形面积最大，而点到直线的距离的最大值等于圆心到直线的距离加上圆的半径，利用点到直线的距离公式可求得结果.‎ ‎【详解】在中，令，得，令，得，所以，，‎ 所以，‎ 由知，圆心为，半径，‎ 所以圆心到直线的距离，‎ 所以点到直线的距离，‎ 所以面积的最大值为.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查了圆的标准方程，考查了点到直线的距离公式，考查了三角形的面积，属于基础题.‎ ‎8.设数列的前项和为．若，，，则=（ ）‎ A. 242 B. 121 C. 62 D. 31‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用项和转换，可得到，可证明为等比数列，利用等比数列的前n项和公式，即得解 ‎【详解】‎ 且 ‎ 可得 ‎ 成等比数列 其中 ‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查了项和转化、等比数列的判定，等比数列的前n项和公式，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题 ‎9.某综艺节目为比较甲、乙两名选手的各项能力（指标值满分为5分，分值高者为优），分别绘制了如图所示的六维能力雷达图，图中点A表示甲的创造力指标值为4，点B表示乙的空间能力指标值为3，则下列叙述错误的是（ ）‎ A. 甲的六大能力中推理能力最差 B. 甲的创造力优于观察能力 C. 乙的计算能力优于甲的计算能力 D. 乙的六大能力整体水平低于甲 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据雷达图中所给的信息，逐项分析即可．‎ ‎【详解】由六维能力雷达图，得： ‎ 对于A，甲的推理能力为比其他都低，故A正确； ‎ 对于B，甲的创造能力是，观察能力也是，故甲的创造力与于观察能力一样，故B误； ‎ 对于C，乙的计算能力是，甲的计算能力是，故乙的计算能力优于甲的计算能力，故C正确； ‎ 对于D，乙的六大能力总和为，甲的六大能力总和为，故D正确． ‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查命题真假的判断，考查读图识图能力、分析判断能力，是基础题．‎ ‎10.球的表面上有三点，，，过，和球心O作截面，截面圆中劣弧长，已知该球的半径为，则球心O到平面的距离为（ ）‎ A. 1 B. 2 C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 依题意可得，从而为直角三角形，即的中心在斜边中点处，在由勾股定理计算可得；‎ ‎【详解】解：因为劣弧长，球的半径为，‎ 所以 所以 因为 所以为直角三角形，故的中心在斜边中点处，所以面 所以 故选：D ‎【点睛】本题考查点到面距离的计算，属于基础题.‎ ‎11.已知，是双曲线：的左、右焦点，点在上，与轴垂直，‎ ‎，则双曲线的离心率为（ ）‎ A. 2 B. 2 C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意找到点的坐标，表示出，即可转化为关于的齐次方程，结合离心率的公式即可求解.‎ ‎【详解】不妨设代入双曲线方程得 ‎ ‎ ‎，‎ ‎.‎ 故答案选：C ‎【点睛】本题主要考查双曲线的离心率求解，属于基础题.‎ ‎12.已知的定义域为，满足，且在单调递减，若，，，则，，的大小关系为（ ）‎ A. B. ‎ C D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 依题意得是偶函数且在单调递减，再利用指数函数和对数函数的性质比较出的大小，再由单调性即可判断.‎ ‎【详解】解：为偶函数.‎ ‎，‎ ‎，.‎ 在单调递减，，即.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查利用函数的单调性和奇偶性判断函数值大小，属于中档题.‎ 二. 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.已知向量，，则________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出向量的坐标，利用平面向量的模长公式可求得的值.‎ ‎【详解】，，，‎ 因此，.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查利用坐标计算平面向量的模，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎14.若实数，满足约束条件，则的最大值是________‎ ‎【答案】16‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．‎ ‎【详解】解：由，满足约束条件，作出可行域如图，‎ 联立，解得，化目标函数为，‎ 由图可知，当直线过时，直线在轴上的截距最大，‎ 有最大值为16．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，属于中档题．‎ ‎15.部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形.谢尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家谢尔宾斯基1915年提出.具体操作是取一个实心三角形，沿三角形的三边中点连线，将它分成4个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余3个小三角形重复上述过程逐次得到各个图形，如上图.现在图（3）中随机选取一个点，则此点取自阴影部分的概率为________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由归纳推理得：设图（3）中1个小阴影三角形的面积为，则图（3）中阴影部分的面积为：，又图（3）中大三角形的面积为，由几何概型的概率公式计算可得；‎ ‎【详解】解：设图（3）中1个小阴影三角形的面积为，‎ 则图（3）中阴影部分的面积为：，‎ 又图（3）中大三角形的面积为，‎ 由几何概型中的面积型可得：‎ 此点取自阴影部分的概率为，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查了归纳推理及几何概型中的面积型题型，属于基础题．‎ ‎16.已知定义在上的函数满足，其中是函数的导函数.若，则实数的范围为________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 构造函数，利用导数研究在区间的单调性，由此求得实数的取值范围.‎ ‎【详解】设函数，，‎ 在单调递增.‎ 依题意，的定义域为，所以，‎ ‎，‎ ‎，‎ 故，.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本小题主要考查利用导数研究不等式，属于中档题.‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎17.锐角的内角、、的对边分别为、、，已知.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若的面积为，求．‎ ‎【答案】（1）；（2）7.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用正弦定理可得，结合为锐角可得角的大小.‎ ‎（2）结合（1）的结果，由面积可得，利用余弦定理可求的大小.‎ ‎【详解】（1） 由题设及正弦定理得：． ‎ 因为，所以，‎ 又，因此.‎ ‎（2）的面积为，. ‎ 又，， ‎ 由余弦定理得：，‎ ‎.‎ ‎【点睛】在解三角形中，如果题设条件是边角的混合关系，那么我们可以利用正弦定理或余弦定理把这种混合关系式转化为边的关系式或角的关系式. 另外三角形中共有七个几何量（三边三角以及外接圆的半径），一般地，知道三个独立的条件后可确定该三角形的几何量，求解未知的几何量时注意配凑.‎ ‎18.2019年11月，第2届中国国际进口博览会在中国上海召开，盛况空前，吸引了全球2800多家企业来参加.为评估企业的竞争力和长远合作能力，需要调查企业所在国家的经济状况.某机构抽取了50个国家，按照它们2017年的GDP总量，将收集的数据分成，‎ ‎，， ，（单位：亿美元）五组，做出下图的频率分布直方图：‎ ‎（1）试根据频率分布直方图估计这些国家的平均GDP（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）.‎ ‎（2）研究人员发现所抽取的50个国家中，有些很早就与中国建交开展合作，有些近期才开始与中国合作，将两类国家分为“合作过”和“未合作过”.请根据频率分布直方图完成上表，并说明是否有95﹪的把握说明这些国家的GDP超过4000亿美元与中国合作有关.‎ ‎【答案】（1）3360（亿美元）；（2）表格见解析，有﹪以上的把握认为这些国家的GDP超过亿美元和与中国合作有关.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用频率分步直方图估计均值的公式即得解；‎ ‎（2）根据题设数据补充完整表格，计算值，与临界值比较，即得解 ‎【详解】（1）这些国家的平均GDP为：‎ ‎ （亿美元） ‎ ‎（2）‎ GDP不超过4000亿美元 GDP超过4000亿美元 总计 未合作 ‎30‎ ‎9‎ ‎39‎ 合作过 ‎5‎ ‎6‎ ‎11‎ 总计 ‎35‎ ‎15‎ ‎50‎ 所以的观测值 ‎ 所以有﹪以上的把握认为这些国家的GDP超过亿美元和与中国合作有关.‎ ‎【点睛】本题考查了频率分布直方图与相关性分析，考查了学生数学应用，数据处理，数学运算能力，属于基础题 ‎19.如图,在四棱锥中,侧面底面,底面为梯形 ‎(1)证明:;‎ ‎(2)若为正三角形,求点到平面的距离.‎ ‎【答案】（1）证明见解析 （2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用面面垂直的性质定理即可证出.‎ ‎（2）取中点,连接，利用等体法：由即可求解.‎ ‎【详解】（1）证明：因为，又底面为直角梯形 面底面平面 又平面 ‎ ‎（2）因为侧面底面 为正三角形,取中点,连接 底面 ‎ 设点到面的距离为 ‎ ‎ ‎【点睛】本题主要考查了面面垂直的性质定理、等体法求点到面的距离，需熟记锥体的体积公式，考查了学生的推理能力，属于中档题.‎ ‎20.已知椭圆：的一个顶点为，离心率为．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设，分别为椭圆的左、右顶点， 过左焦点且斜率为的直线与椭圆交于C，D两点．若，求的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意列方程组，解方程组求得的值，进而求得椭圆的方程.‎ ‎（2）根据题意写出直线的方程，联立直线的方程和椭圆方程，化简后写出根与系数关系，利用，结合向量数量积的坐标运算列方程，解方程组求得的取值范围.‎ ‎【详解】(1)依题意.‎ 所以椭圆的方程为 ‎ ‎(2)设点，由（1）得，所以直线方程为，‎ 由方程组消去，整理得.‎ 可得，‎ 因为，‎ 所以 ‎＝． ‎ 由已知得，解得．‎ ‎【点睛】本小题主要考查椭圆方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查运算求解能力，属于中档题.‎ ‎21.已知函数．‎ ‎（1）求曲线在处的切线方程；‎ ‎（2）设，若的最小值小于，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）‎ ‎（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据函数的导函数求出曲线在处的切线的斜率，从而可得出曲线在处的切线方程；‎ ‎（2）先求出的导函数，对的范围进行分类讨论，得函数的单调性，得出函数的最小值，根据函数的最小值小于0，建立关于的不等式，解之可求得的范围.‎ ‎【详解】（1）由题易知，，又，‎ 在处的切线方程为．‎ ‎（2）由题易知，．‎ 当时，，在上单调递增，不符合题意．‎ 当时，令，得，在上，，在上，，‎ 在上单调递减，在上单调递增，‎ 所以的最小值为．‎ 的最小值小于0，即，‎ ‎∵，∴，解得，‎ ‎∴实数的取值范围为．‎ ‎【点睛】本题考查运用函数的导函数求函数的切线方程和讨论函数的单调性得函数的最值，在讨论函数的单调性时，注意分类的目标和分类的标准，属于基础题.‎ 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 选修4-4：坐标系与参数方程 ‎22.已知圆的极坐标方程为，直线l的参数方程为（为参数）.‎ ‎（1）把圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎（2）求直线l被圆截得的线段的长.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用极坐标与直角坐标互化公式，将左右同乘以，即得解；‎ ‎（2）将直线的参数方程代入圆的方程，求解出，利用参数方程的几何意义，，结合韦达定理，即得解 ‎【详解】（1）由可得 ‎ ‎∴圆C的直角坐标方程为 ‎ 即 ‎（2）直线的参数方程（t为参数）代入化简得， ‎ 据t的几何意义得： ‎ ‎ ‎ ‎【点睛】本题考查了参数方程和极坐标综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题 选修4-5：不等式选讲 ‎23.已知函数f(x)＝|3x＋2|.‎ ‎(1)解不等式f(x)<4－|x－1|；‎ ‎(2)已知m＋n＝1(m，n>0)，若|x－a|－f(x)≤(a>0)恒成立，求实数a取值范围.‎ ‎【答案】(1)；(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用零点分段法分类讨论解绝对值不等式即可.‎ ‎（2）利用基本不等式求出的最小值，令g(x)＝|x－a|－f(x)＝|x－a|－|3x＋2|，只需g(x)max即可求解.‎ ‎【详解】(1)不等式f(x)<4－|x－1|，即|3x＋2|＋|x－1|<4.‎ 当x<－时，即－3x－2－x＋1<4，‎ 解得－1时，即3x＋2＋x－1<4，无解．‎ 综上所述，不等式的解集为.‎ ‎(2) ＝ (m＋n)＝1＋1＋，‎ 当且仅当时取等号， ‎ 令g(x)＝|x－a|－f(x)＝|x－a|－|3x＋2|＝，‎ 所以当x＝－时，g(x)max＝＋a，要使不等式恒成立，‎ 只需g(x)max＝＋a≤4，即0

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