热点19 概率（理）-2017年高考数学二轮核心考点总动员

热点19 概率（理）-2017年高考数学二轮核心考点总动员

‎2017届高考数学考点总动员【二轮精品】第一篇 ‎ 热点17 概率（理） ‎ ‎【热点考法】本热点考题类型为选择填空题或解答题，以应用题为背景与排列组合、计数原理、函数、不等式等知识结合，考查古典概型、几何概型、互斥事件和概率公式、相互独立事件积概率、条件概率、n次独立重复试验、离散型随机变量分布列及其期望与方差、正态分布等数学知识与方法，考查运算求解能力、阅读理解能力、应用意识，难度为中档题，分值5至17分.‎ ‎【热点考向】‎ 考向一 古典概型 ‎【解决法宝】1.利用古典概型求概率的关键及注意点 ‎ ①正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件总数，这常常用到排列、组合的有关知识．‎ ‎ ②对于较复杂的题目计数时要正确分类，分类时应不重不漏．‎ ‎2.基本事件数的探求方法：‎ ‎ ①列举法：适合于较简单的试验；‎ ‎ ②树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求；‎ ‎ ③排列、组合法：在求一些较复杂的基本事件的个数时，可利用排列或组合的知识，只是在计数时要保持一致性，即要么用排列数，要么用组合数求．‎ 例1．【广东海珠区2017届上学期高三综合测试（一），5】某食品长为了促销，制作了3种不同的精美卡片，每袋食品中随机装入一张卡片，集齐3种卡片可获得，现购买该食品4袋，能获奖的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】先分基本总数，即每袋放一张卡，可重复，是“住店问题” ，可得基本事件总数，获奖为袋食品袋中种不同的卡片，即可得到获奖的事件数，利用古典概型公式即可求得概率. ‎ 考向二 几何概型 ‎【解决法宝】‎ ‎1.当构成试验的结果的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时，应考虑使用几何概型求解；‎ ‎2.利用几何概型求概率时，关键是构成试验的全部结果的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域.‎ 例2．【河北邯郸2017届9月联考，10】已知实数，，则关于的一元二次方程有实数根的概率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】由题可得关于的不等式，画出图，算出面积，利用几何概型即可求出概率.‎ ‎【解析】因为关于的一元二次方程有实数根，所以，即，所以其表示的区域的面积为，由几何概型的计算公式即可得出关于的一元二次方程有实数根的概率是，故应选 考向三 相互独立事件和独立重复试验 ‎【解决法宝】1.注意区分互斥事件和相互独立事件，互斥事件是在同一试验中不可能同时发生的情况，相互独立事件是指几个事件的发生与否互不影响，当然可以同时发生；‎ ‎2.牢要熟记独立重复试验概率公式，并深刻理解其含义.‎ ‎3.求复杂事件概率的方法 ‎(1)直接法：正确分析复杂事件的构成，将复杂事件转化为几个彼此互斥的事件的和事件或几个相互独立事件同时发生的积事件或一独立重复试验问题，然后用相应概率公式求解．‎ ‎(2)间接法：当复杂事件正面情况比较多，反面情况较少，则可利用其对立事件进行求解．对于“至少”“至多”等问题往往也用这种方法求解．　　‎ 例3. 【广西钦州市钦州港经济技术开发区中学2016届高三上学期期末】从混有5张假钞的20张一百元纸币中任意抽取2张，将其中一张在验钞机上检验发现是假币，则这两张都是假币的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】设事件A表示“抽到的两张都是假钞”，事件B表示“抽到的两张至少有一张假钞”，所求的概率即 P（A/B）．先求出P（AB）和P（B）的值，再根据P（A/B）=，运算求得结果．‎ 考向四 随机变量的分布列、期望和方差 ‎ ‎【解决法宝】1.离散型随机变量的分布列、期望和方差，是概率的重点内容，高考对此作重点考查，理科的概率解答题基本上都要考查这个知识点；‎ 2. 求离散型随机变量的分布列的关键是正确理解随机变量取每一个值所表示的具体事件，然后综合应用各类求概率的公式，求出概率；‎ 3. 求随机变量的均值和方差的关键是正确求出随机变量的分布列，若随机变量服从二项分布（或两点分布），则可直接利用公式求解.‎ 例4【山东省实验中学2017届高三第一次诊，17】在研究塞卡病毒（Zika virus）某种疫苗的过程中，为了研究小白鼠连续接种该种疫苗后出现症状的情况，做接种试验，试验设计每天接种一次，连续接种3天为一个接种周期．已知小白鼠接种后当天出现症状的概率为，假设每次接种后当天是否出现症状与上次接种无关．‎ ‎（1）若出现症状即停止试验，求试验至多持续一个接种周期的概率；‎ ‎（2）若在一个接种周期内出现2次货3次症状，则这个接种周期结束后终止试验，‎ 试验至多持续3个周期，设接种试验持续的接种周期数为，求的分布列及数学期望．‎ ‎【分析】（1）试验至多持续一个接种周期分三种情况：第一天出现症状；直至第二天出现症状；直至第三天出现症状；分别求出对应概率，并根据互斥事件概率加法得（2）先确定随机变量：然后确定“在一个接种周期内出现2次或3次症状”的概率：，再根据对应事件求概率，列表可得概率分布列，最后根据公式求数学期望 ‎【解析】（Ⅰ）试验至多持续一个接种周期的概率 …5分 ‎（Ⅱ）随机变量设事件为“在一个接种周期内出现2次或3次症状”，则 所以的分布列为：‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎ 10分 的数学期望 ‎【热点集训】‎ ‎1. 【长春市普通高中2016届高三质量监测（二）】已知变量服从正态分布，下列概率与相等的是 （ ）‎ A.　 B. C.　 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】 由变量服从正态分布可知，为其密度曲线的对称轴，因此. 故选B.‎ ‎ 2.【山东省肥城市2017届高三上学期升级统测，13】在区间上随机取一个数,使得成立的概率为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，所求概率测度为长度，即 ‎3.【甘肃省张掖市2016届高三第一次诊断考试】盒中装有10只乒乓球,其中6只新球,4只旧球,不放回地依次摸出2个球使用,在第一次摸出新球的条件下,第二次也取到新球的概率为(　　)‎ A． B ‎ C. D. ‎ ‎【答案】 B ‎4.【山东省实验中学2017届高三第一次诊，9】已知直线：，直线：，其中，，则直线与的交点位于第一象限的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】的斜率小于斜率时，直线与的交点位于第一象限，此时共有六种：因式概率为，选A.‎ ‎5.【2015届广东省汕头市澄海凤翔中学高三上学期第三次段考】已知离散型随机变量的分布列为 则的数学期望（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据随机变量的分布列可得：，故选A．‎ ‎6.【河北唐山市2017届上学期高三摸底考，10】把长为的铁丝随机截成三段，则每段铁丝长度都不小于的概率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】.‎ ‎7.【2015届广东省中山一中等七校高三12月联考试题】一枚硬币连掷2次，只有一次出现正面的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】一枚硬币连掷2次可能出现正正，反反，正反，反正四种情况，而只有一次出现正面的有两种， P＝＝‎ ‎8.【湖南永州市2017届高三第一次模拟，8】如图所示的阴影部分是由轴，直线及曲线围成，现向矩形区域内随机投掷一点，则该点落在阴影部分的概率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由几何概型可知，所求概率为.‎ ‎ 9.【广东湛江市2017届高三上学期期中调研考试，5】已知某路段最高限速，电子监控测得连续6辆汽车的速度用茎叶图表示如下（单位：）.若从中任取2辆，则恰好有1辆汽车超速的概率为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由茎叶图可知，这辆汽车中有辆汽车超速，所以从中任取2辆，则恰好有1辆汽车超速的概率为，故选B.‎ ‎10.【云南大理2017届高三第一次统测，4】2016年1月某校高三年级1600名学生参加了教育局组织的期末统考，已知数学考试成绩（试卷满分为150分）．统计结果显示数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的，则此次统考中成绩不低于120分的学生人数约为（ ）‎ A．80 B．100 C．120 D．200‎ ‎【答案】D ‎【解析】正态曲线图象的对称轴为，根据其对称性可知， 成绩不低于分的学生人数约为人，故选D.‎ ‎11.【甘肃省白银市会宁四中2016届高三（上）期末】如图，矩形OABC内的阴影部分由曲线f（x）=sinx及直线x=a（a∈（0，2π）与x轴围成．向矩形OABC内随机掷一点，该点落在阴影部分的概率为，则a=　　．‎ ‎【答案】π ‎ ‎ ‎12.【广东省汕头市2017届高三上学期期末，9】将二项式展开式各项重新排列，则其中无理项互不相邻的概率是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎【答案】A ‎13.【安徽省“皖南八校”2017届高三第二次联考，15】设（为自然对数的底数），任取，则满足的概率是 （结果用表示）．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】样本空间为一个矩形，面积为，而满足的面积为，所以概率是 ‎14. 【湖北省黄石市2017届高三年级九月份调研，13】已知随机变量服从正态分布，且，则___________．‎ ‎【答案】0.3‎ ‎【解析】‎ ‎15. 【四川自贡普高2017届一诊，10】已知，，则函数在区间上为增函数的概率是 .‎ A． B． C. D．‎ ‎【答案】‎ ‎16.【（学易大联考）2016届高三第二次全国大联考（新课标Ⅰ卷）】广场舞是现代城市群众文化、娱乐发展的产物，其兼具文化性和社会性，是精神文明建设成果的一个重要指标和象征．2015年某高校社会实践小组对某小区广场舞的开展状况进行了年龄的调查，随机抽取了名广场舞者进行调查，将他们年龄分成6段：，，，，，后得到如图所示的频率分布直方图．问：‎ ‎（1）估计在40名广场舞者中年龄分布在的人数；‎ ‎（2）求40名广场舞者年龄的中位数和平均数的值；‎ ‎（3）若从年龄在中的广场舞者中任取2名，求这两名广场舞者年龄在中的人数的分 布列及其数学期望．‎ ‎【答案】（1）30．（2）55，,5.（3）的分布列如下：‎ ‎．‎ 人，所以的所有可能取值是0，1，2．………………8分 ‎， ，…………10分 的分布列如下：‎ ‎．……………………12分 ‎17.【山东省肥城市2017届高三上学期升级统测，19】（本小题满分12分）某公司采用招考方式引进人才，规定必须在，三个测试点中任意选取两个进行测试，若在这两个测试点都测试合格，则可参加面试,否则不被录用, 已知考生在每测试个点测试结果互不影响, 若考生小李和小王一起前来参加招考,小李在测试点测试合格的概率分别为,小王在上述三个测试点测试合格的概率都是.‎ ‎（1）问小李选择哪两个测试点测试才能使得可以参加面试的可能性最大？请说明理由;‎ ‎（2）假设小李选择测试点进行测试，小王选择测试点进行测试,记为两人在各测试点测试合格的测试点个数之和,求随机变量的分布列及数学期望.‎ ‎【答案】（1）选择在测试点（2）‎ ‎【解析】（1）设考生小李在各测试点测试合格记为事件,且各个事件相互独立, 由题意.若选择在测试点测试, 则参加面试的概率为:;若选择在测试点测试, 则参加面试的概率为: ‎ ‎;若选择在测试点测试, 则参加面试的概率为: ;因为,所以小李选择在测试点测试参加面试的 可能性最大.‎ ‎（2）记小李在测试点测试合格记为事件,记小王在测试点测试合格记为事件,‎ 则.且的所有可能取值为0,1,2,3,4 ‎ 所以;‎ ‎;‎ ‎;‎ ‎;‎ ‎.所以, 的分布列为:‎ ‎.‎ ‎18.【江西南昌市2017届摸底考试，19】（本小题满分12分）‎ 某校高一年级学生身体素质体能测试的成绩（百分制）分布在内，同时为了了解学生爱好数学的情况，从中随机抽取了名学生，这 名学生体能测试成绩的频率分布直方图如图所示，各分数段的“爱好数学”的人数情况如表所示.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）用分层抽样的方法，从体能成绩在的“爱好数学”学生中随机抽取6人参加某项活动，现从6人中随机选取2人担任领队，记体能成绩在内领队人数为人，求的分布列及数学期望.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（Ⅰ）由题知第一组的频率为、人数为，故 第二组的频率为 ‎. …………………………6分 ‎（Ⅱ）由题知，故抽取的人中体能成绩在岁的人，体能成绩在岁的人，则的可能取值为，‎ ‎,,………9分 分布列为： ‎ ‎ ………………………………12分 ‎19.【河北省衡水中学2017届高三摸底联考，19】（本小题满分12分）某产品按行业生产标准分成个等级，等级系数依次，其中为标准，为标准.‎ 已知甲厂执行标准生产该产品，产品的零售价为元/件; 乙厂执行标准生产该产品，产品的零售价为元/件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准.‎ ‎（1）已知甲厂产品的等级系数的概率分布列如下所示：‎ 且的数学期望,求的值;‎ ‎（2）为分析乙厂产品的等级系数，从该厂生产的产品中随机抽取件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下:‎ 用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数的数学期望；‎ ‎（3）在（1）、（2）的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由.‎ 注：① 产品的“性价比”；‎ ‎②“性价比”大的产品更具可购买性.‎ ‎【答案】(1);(2);(3) 乙厂的产品更具可购买性.‎ ‎【解析】（1） ，即 ①‎ 又由 的概率分布列得 ②‎ 由① ② 得 ‎ ‎（2）由已知得，样本的频率分布表如下：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数X2的概率分布列如下：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 所以， ‎ 即乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8. ‎ ‎ 20.【山西大学附属中学2017级上学期11月模块诊断，19】（本小题满分12分）‎ ‎ 某技术公司新开发了两种新产品，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为次品，现随机抽取这两种产品各100件进行检测，检测结果统计如下：‎ 测试指标 ‎[70，76）‎ ‎[76，82）‎ ‎[82，88）‎ ‎[88，94）‎ 元件A ‎8‎ ‎12‎ ‎40‎ ‎32‎ ‎8‎ 元件B ‎7‎ ‎18‎ ‎40‎ ‎29‎ ‎6‎ ‎（Ⅰ）试分别估计产品，产品为正品的概率；‎ ‎(Ⅱ)生产一件产品，若是正品可盈利80元，次品则亏损10元；生产一件产品，若是正品可盈利100元，次品则亏损20元，在（1）的前提下，记为生产1件产品和1件产品所得的总利润，求随机变量的分列和数学期望．‎ ‎【答案】（1），；（2）分布列见解析，．‎ ‎【解析】（1）产品为正品的概率为． 产品为正品的概率约为．‎ ‎（2）随机变量的所有取值为，‎ ‎；；；‎ ‎． ‎ 所以，随机变量的分布列为：‎ ‎180‎ ‎90‎ ‎60‎ ‎-30‎ ‎．‎ ‎21.【河南省豫北名校联盟2017届高三年级精英对抗赛，18】（本小题满分12分）‎ ‎《中国好声音（The Voice of China）》是由浙江卫视联合星空传媒旗下灿星制作强力打造的大型励志专业音乐评论节目，于2012年7月13日正式在浙江卫视播出.每期节目有四位导师参加.导师背对歌手，当每位参赛选手演唱完之前有导师为其转身，则该选手可以选择加入为其转身的导师的团队中接受指导训练.已知某期《中国好声音》中，6位选手演唱完后，四位导师为其转身的情况如下表所示：‎ 现从这6位选手中随机抽取两人考查他们演唱完后导师的转身情况.‎ ‎（1）求选出的两人导师为其转身的人数和为4的概率；‎ ‎（2）记选出的2人导师为其转身的人数之和为，求的分布列及数学期望.‎ ‎【答案】(1)；(2) 的分布列为 ‎.‎ ‎（2）的所有可能取值为3,4,5,6,7.………………7分 ‎；‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎.………………9分 所以的分布列为 ‎………………10分 ‎.………………12分 ‎22.【河北唐山市2017届上学期高三摸底考，19】（本小题满分12分）‎ 甲将要参加某决赛，赛前四位同学对冠军得主进行竞猜，每人选择一名选手，已知选择甲的概率均为，选择甲的概率均为，且四人同时选择甲的概率为，四人均未选择甲的概率为．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）设四位同学中选择甲的人数为，求的分布列和数学期望．‎ ‎【答案】详见解析.‎ ‎【解析】（1）由已知可得：‎ 解得： ‎（2）X可取0，1，2，3，4． ‎ P(X＝0)＝，‎ P(X＝1)＝C××(1－)×(1－)2＋(1－)2×C××(1－)＝，‎ P(X＝2)＝C××(1－)×C××(1－)＋()2×(1－)2＋(1－)2×(1－)2＝，‎ P(X＝3)＝C××(1－)×()2＋()2×C××(1－)＝，‎ P(X＝4)＝．‎ X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝2.2 ‎ ‎ ‎