2018届二轮复习  函数的图象和性质 学案(全国通用)

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文档介绍

2018届二轮复习  函数的图象和性质 学案(全国通用)

函 数 与 导 数 第14讲 函数的图象和性质 题型1 函数的图象判断 ‎(对应 生用书第47页)‎ ‎■核心知识储备………………………………………………………………………·‎ 函数的图象包括作图、识图、用图,三者在 习中的侧重点为:‎ ‎(1)作图:常用描点法和图象变换法.图象变换法常用的有平移变换、伸缩变换和对称变换.尤其注意y=f(x)与y=f(-x),y=-f(x),y=-f(-x),y=f(|x|),y=|f(x)|及y=af(x)+b的相互关系.‎ ‎(2)识图:从图象与坐标轴的交点及左、右、上、下分布范围、变化趋势、对称性等方面找准解析式与图象的对应关系.‎ ‎(3)用图:图象形象地显示了函数的性质,因此,函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象数形结合研究.‎ ‎■典题试解寻法………………………………………………………………………·‎ ‎【典题1】 (考查建模类函数图象的识别)(2017·石家庄质量预测一)在《九章算术》中,将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑,在鳖臑ABCD中,AB⊥平面BCD,且BD⊥CD,AB=BD=CD,点P在棱AC上运动,设CP的长度为x,若△PBD的面积为f(x),则f(x)的图象大致是(  )‎ 图141‎ ‎      ‎ ‎[思路分析] 鳖臑的定义→找△BPD的高→建立函数f(x)的表达式→识别f(x)的图象.‎ ‎[解析] 法一:(直接法)如图,作PQ⊥BC于Q,作QR⊥BD于R,连接PR,则由鳖臑的定义知PQ∥AB,QR∥CD.设AB=BD=CD=1,则==,即PQ=,又===,所以QR=,所以PR== ‎=,所以f(x)= ‎=,故选A.‎ 法二:(特殊位置法)由题意可知,当P位于AC的中点时f(x)取得最小值,又f(x)是非均匀变化的,故排除选项B,C,D,故选A.‎ ‎[答案] A ‎【典题2】 (考查解析式类函数图象的识别)(2016·全国Ⅰ卷)函数y=2x2-e|x|在[-2,2]的图象大致为(  )‎ ‎[解析] ∵f(x)=2x2-e|x|,x∈[-2,2]是偶函数,‎ 又f(2)=8-e2∈(0,1),‎ 故排除A,B.‎ 设g(x)=2x2-ex,则g′(x)=4x-ex.‎ 又g′(0)<0,g′(2)>0,‎ ‎∴g(x)在(0,2)内至少存在一个极值点,‎ ‎∴f(x)=2x2-e|x|在(0,2)内至少存在一个极值点,排除C.故选D.‎ ‎[答案] D ‎【典题3】 (考查函数图象的应用)已知函数f(x)(x∈R)满足f(-x)=2-f(x),若函数y=与y=f(x)图象的交点为(x1,y1),(x2,y2),…,(xm,ym),则(xi+yi)=(  ) ‎ ‎【导 号:07804099】‎ A.0 B.m    C.2m  D.4m ‎[解析] 因为f(-x)=2-f(x),所以f(-x)+f(x)=2.因为=0,=1,所以函数y=f(x)的图象关于点(0,1)对称.函数y==1+,故其图象也关于点(0,1)对称.所以函数y=与y=f(x)图象的交点(x1,y1),(x2,y2),…,(xm,ym)成对出现,且每一对均关于点(0,1)对称,所以xi=0,yi=2×=m,所以 (xi+yi)=m.‎ ‎[答案] B ‎[类题通法] 函数图象的判断方法 ‎(1)根据函数的定义域判断图象的左右位置,根据函数的值域判断图象的上下位置.‎ ‎(2)根据函数的单调性,判断图象的变化趋势.‎ ‎(3)根据函数的奇偶性,判断图象的对称性.‎ ‎(4)根据函数的周期性,判断图象的循环往复.‎ ‎(5)取特殊值代入,进行检验.‎ ‎■对点即时训练………………………………………………………………………·‎ ‎1.已知定义在区间[0,4]上的函数y=f(x)的图象如图所示,则y=-f(2-x)的图象为(  )‎ 图 D [法一:先作出函数y=f(x)的图象关于y轴的对称图象,得到y=f(-x)的图象;‎ 然后将y=f(-x)的图象向右平移2个单位,得到y=f(2-x)的图象;‎ 再作y=f(2-x)的图象关于x轴的对称图象,得到y=-f(2-x)的图象.故选D.‎ 法二:先作出函数y=f(x)的图象关于原点的对称图象,得到y=-f(-x)的图象;然后将y=-f(-x)的图象向右平移2个单位,得到y=-f(2-x)的图象.故选D.]‎ ‎2.如图142所示的图形是由一个半径为2的圆和两个半径为1的半圆组成的,它们的圆心分别是O,O1,O2,动点P从A点出发沿着圆弧按A→O→B→ C→A→D→B的路线运动(其中A,O,O1,O2,B五点共线),记点P运动的路程为x,设y=|O1P|2,y与x的函数关系为y=f(x),则y=f(x)的大致图象是(  )‎ 图142‎ ‎ ‎ ‎ ‎ A [当x∈[0,π]时,y=1.‎ 当x∈(π,2π)时,=-,设与的夹角为θ,||=1,||=2,由弧长公式得θ=x-π,所以y=||2=(-)2=5-4cos θ=5+4cos x,x∈(π,2π),所以函数y=f(x)的图象是曲线,且单调递增,排除C,D.‎ 当x∈[2π,4π)时,因为=-,设,的夹角为α,||=2,||=1,由弧长公式得α=2π-x,所以y=||2=(-)2=5-4cos α=5-4cos x,x∈[2π,4π),所以函数y=f(x)的图象是曲线,且单调递减,排除B.故选A.]‎ ‎■题型强化集训………………………………………………………………………·‎ ‎(见专题限时集训T2、T6、T8、T11)‎ 题型2 函数性质的综合应用 ‎(对应 生用书第48页)‎ ‎■核心知识储备………………………………………………………………………·‎ ‎1.若f(x)在定义域上单调递增,则f(x1)<f(x2)⇔x1<x2;若f(x)在定义域上单调递减,则f(x1)<f(x2)⇔x1>x2.‎ ‎2.周期性的三个常用结论 对f(x)定义域内任一自变量的值x:‎ ‎(1)若f(x+a)=-f(x),则T=2a;‎ ‎(2)若f(x+a)=,则T=2a;‎ ‎(3)若f(x+a)=-,则T=2a.(a>0) ‎ ‎3.与函数对称性有关的三条结论 ‎(1)函数y=f(x)关于x=对称⇔f(a+x)=f(b-x)⇔f(x)=f(b+a-x);‎ 特例:函数y=f(x)关于x=a对称⇔f(a+x)=f(a-x)⇔f(x)=f(2a-x);‎ 函数y=f(x)关于x=0对称⇔f(x)=f(-x)(即为偶函数);‎ ‎(2)函数y=f(x)关于点(a,b)对称⇔f(a+x)+f(a-x)=2b⇔f(2a+x)+f(-x)=2b;‎ 特例:函数y=f(x)关于点(a,0)对称⇔f(a+x)+f(a-x)=0⇔f(2a+x)+f(-x)=0;‎ 函数y=f(x)关于点(0,0)对称⇔f(x)+f(-x)=0(即为奇函数);‎ ‎(3)y=f(x+a)是偶函数⇔函数y=f(x)关于直线x=a对称;‎ y=f(x+a)是奇函数⇔函数y=f(x)关于(a,0)对称.‎ ‎■典题试解寻法………………………………………………………………………·‎ ‎【典题1】 (考查基本初等函数的性质)(2016·全国Ⅰ卷)若a>b>1,0f(2x-1)成立的x的取值范围是(  )‎ ‎【导 号:07804100】‎ A. B.∪(1,+∞)‎ C. D.∪ ‎[思路分析] 判断f(x)的奇偶性→判断f(x)的单调性→解关于x的不等式.‎ ‎[解析] ∵f(-x)=ln(1+|-x|)-=f(x),‎ ‎∴函数f(x)为偶函数.‎ ‎∵当x≥0时,f(x)=ln(1+x)-,‎ 在(0,+∞)上y=ln(1+x)递增,y=-也递增,‎ 根据单调性的性质知,f(x)在(0,+∞)上单调递增.‎ 综上可知:f(x)>f(2x-1)⇔f(|x|)>f(|2x-1|)⇔|x|>|2x-1|⇔x2>(2x-1)2⇔3x2-4x+1<0⇔1,∴f(log212)=2log212-1==6.‎ ‎∴f(-2)+f(log212)=3+6=9.故选C.]‎ ‎2.(2017·全国Ⅰ卷)函数f(x)在(-∞,+∞)单调递减,且为奇函数.若f(1)=-1,则满足-1≤f(x-2)≤1的x的取值范围是(  )‎ ‎【导 号:07804101】‎ A.[-2,2] B.[-1,1]‎ C.[0,4] D.[1,3]‎ D [∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x).‎ ‎∵f(1)=-1,∴f(-1)=-f(1)=1.‎ 故由-1≤f(x-2)≤1,得f(1)≤f(x-2)≤f(-1).‎ 又f(x)在(-∞,+∞)单调递减,∴-1≤x-2≤1,‎ ‎∴1≤x≤3.‎ 故选D.]‎ ‎3. (2017·全国Ⅰ卷)设x,y,z为正数,且2x=3y=5z,则(  )‎ A.2x<3y<5z B.5z<2x<3y C.3y<5z<2x D.3y<2x<5z D [令t=2x=3y=5z,‎ ‎∵x,y,z为正数,∴t>1.‎ 则x=log2t=,同理,y=,z=.‎ ‎∴2x-3y=-= ‎=>0,‎ ‎∴2x>3y.‎ 又∵2x-5z=-= ‎=<0,‎ ‎∴2x<5z,‎ ‎∴3y<2x<5z.‎ 故选D.]‎ ‎4. (2015·全国Ⅱ卷)如图144,长方形ABCD的边AB=2,BC=1,O是AB的中点.点P沿着边BC,CD与DA运动,记∠BOP=x,将动点P到A,B两点距离之和表示为x的函数f(x),则y=f(x)的图象大致为(  )‎ 图144‎ B [当x∈时,f(x)=tan x+,图象不会是直线段,从而排除A,C.‎ 当x∈时,f =f =1+,‎ f =2.∵2<1+,‎ ‎∴f
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