高考数学复习专题练习第2讲 圆与圆的方程
第2讲 圆与圆的方程
一、选择题
1．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程是( )
A．x2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y＋2)2＝1[来XK]
C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1
解析 设圆的圆心C(0，b)，则＝1，
∴b＝2.∴圆的标准方程是x2＋(y－2)2＝1.
答案 A
2．若直线3x＋y＋a＝0过圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心，则a的值为 ( )．
A．－1 B．1 C．3 D．－3
解析 化圆为标准形式(x＋1)2＋(y－2)2＝5，圆心为(－1,2)．∵直线过圆心，∴3×(－1)＋2＋a＝0，∴a＝1.
答案 B
3．设圆的方程是x2＋y2＋2ax＋2y＋(a－1)2＝0，若0
0，所以原点在圆外．
答案 B
4． 若圆x2＋y2－2x＋6y＋5a＝0，关于直线y＝x＋2b成轴对称图形，则a－b的取值范围是( )
A．(－∞，4) B．(－∞，0)
C．(－4，＋∞) D．(4，＋∞)
解析 将圆的方程变形为(x－1)2＋(y＋3)2＝10－5a，可知，圆心为(1，－3)，且10－5a＞0，∴a＜2，由于圆关于直线y＝x＋2b对称，∴圆心在直线y＝x＋2b上，即－3＝1＋2b，∴b＝－2，
∴a－b＜4.
答案 A
5． 已知圆心在x轴上，半径为的圆O位于y轴左侧，且与直线x＋y＝0相切，则圆O的方程是( )
A．(x－)2＋y2＝5 B．(x＋)2＋y2＝5
C．(x＋)2＋y2＝5 D．x2＋(y＋)2＝5
解析 设圆心为(a,0)(a＜0)，则＝，
∴a＝－，∴圆O的方程为(x＋)2＋y2＝5，故选C.
答案 C
6．圆心为C的圆与直线l：x＋2y－3＝0交于P、Q两点，O为坐标原点，且满足·＝0，则圆C的方程为( )
A.2＋(y－3)2＝ B.2＋(y＋3)2＝
C.2＋(y－3)2＝ D.2＋(y＋3)2＝
解析 ∵圆心为C，
∴设圆的方程为2＋(y－3)2＝r2，
在所给的四个选项中只有一个方程所写的圆心是正确的．
即2＋(y－3)2＝，故选C.
答案 C
二、填空题
7．以A(1,3)和B(3,5)为直径两端点的圆的标准方程为________．
解析 由中点坐标公式得AB的中点即圆的圆心坐标为(2,4)，再由两点间的距离公式得圆的半径为＝，故圆的标准方程为(x－2)2＋(y－4)2＝2.
答案 (x－2)2＋(y－4)2＝2
8． 已知x，y满足x2＋y2＝1，则的最小值为________．
解析 表示圆上的点P(x，y)与点Q(1,2)连线的斜率，所以，的最小值是直线PQ与圆相切时的斜率．设直线PQ的方程为y－2＝k(x－1)即kx－y＋2－k＝0，由＝1得k＝，结合图形可知，≥，∴最小值为.[
答案
9．圆心在原点且圆周被直线3x＋4y＋15＝0分成1∶2两部分的圆的方程为________．
解析 如图，因为圆周被直线3x＋4y＋15＝0分成1∶2两部分，所以∠AOB＝120°.而圆心到直线3x＋4y＋15＝0的距离d＝＝3，在△AOB中，可求得OA＝6.所以所求圆的方程为x2＋y2＝36.
答案 x2＋y2＝36
10．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，点A(－1,0)，B(1,0)，点P是圆上的动点，则d＝|PA|2＋|PB|2的最大值为________，最小值为________．
解析 设点P(x0，y0)，则d＝(x0＋1)2＋y＋(x0－1)2＋y＝2(x＋y)＋2，欲求d的最值，只需求u＝x＋y的最值，即求圆C上的点到原点的距离平方的最值．圆C上的点到原点的距离的最大值为6，最小值为4，故d的最大值为74，最小值为34.
答案 74 34
三、解答题
11．已知点A(－3,0)，B(3,0)，动点P满足|PA|＝2|PB|.
(1)若点P的轨迹为曲线C，求此曲线的方程；
(2)若点Q在直线l1：x＋y＋3＝0上，直线l2经过点Q且与曲线C只有一个公共点M，求|QM|的最小值．
解 (1)设点P的坐标为(x，y)，
则＝2.
化简可得(x－5)2＋y2＝16，此即为所求．
(2)曲线C是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆，如图，由直线l2
是此圆的切线，连接CQ，则|QM|＝＝，
当CQ⊥l1时，|CQ|取最小值，
|CQ|＝＝4，
此时|QM|的最小值为＝4.
12．已知以点P为圆心的圆经过点A(－1,0)和B(3,4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|＝4.
(1)求直线CD的方程；
(2)求圆P的方程．
解 (1)直线AB的斜率k＝1，AB的中点坐标为(1,2)，
∴直线CD的方程为y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0.
(2)设圆心P(a，b)，则由P在CD上得a＋b－3＝0. ①
又直径|CD|＝4，∴|PA|＝2，
∴(a＋1)2＋b2＝40， ②
由①②解得或
∴圆心P(－3,6)或P(5，－2)，
∴圆P的方程为(x＋3)2＋(y－6)2＝40或(x－5)2＋(y＋2)2＝40.
13．已知圆M过两点C(1，－1)，D(－1,1)，且圆心M在x＋y－2＝0上．
(1)求圆M的方程；
(2)设P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA，PB是圆M的两条切线，A，B为切点，求四边形PAMB面积的最小值．
解 (1)设圆M的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，
根据题意得：
解得a＝b＝1，r＝2，
故所求圆M的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.
(2)因为四边形PAMB的面积
S＝S△PAM＋S△PBM＝|AM|·|PA|＋|BM|·|PB|，
又|AM|＝|BM|＝2，|PA|＝|PB|，所以S＝2|PA|，
而|PA|＝＝，
即S＝2.
因此要求S的最小值，只需求|PM|的最小值即可，
即在直线3x＋4y＋8＝0上找一点P，使得|PM|的值最小，
所以|PM|min＝＝3，
所以四边形PAMB面积的最小值为
S＝2＝2＝2.
14．已知圆C过点P(1,1)，且与圆M：(x＋2)2＋(y＋2)2＝r2(r>0)关于直线x＋y＋2＝0对称．
(1)求圆C的方程；
(2)设Q为圆C上的一个动点，求·的最小值．
解 (1)设圆心C(a，b)，则解得
则圆C的方程为x2＋y2＝r2，将点P的坐标代入得r2＝2，
故圆C的方程为x2＋y2＝2.
(2)设Q(x，y)，则x2＋y2＝2，且·＝(x－1，y－1)·(x＋2，y＋2)＝x2＋y2＋x＋y－4＝x＋y－2，
令x＝cos θ，y＝sin θ，
∴·＝x＋y－2＝(sin θ＋cos θ)－2
＝2sin－2，
所以·的最小值为－4.
