数学卷·2018届湖北省宜昌市金东方高中、三峡高中高二上学期11月联考数学试卷（文科）+（解析版）

数学卷·2018届湖北省宜昌市金东方高中、三峡高中高二上学期11月联考数学试卷（文科）+（解析版）

‎2016-2017学年湖北省宜昌市金东方高中、三峡高中高二（上）11月联考数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．）‎ ‎1．命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为（　　）‎ A．对任意x∈R，都有x2＜0 B．不存在x∈R，都有x2＜0‎ C．存在x0∈R，使得x02≥0 D．存在x0∈R，使得x02＜0‎ ‎2．如表是某厂1﹣4月份用水量（单位：百吨）的一组数据：由散点图可知，用水量与月份之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是=﹣0.7x+，则=（　　）‎ ‎　月份x ‎　1‎ ‎　2‎ ‎　3‎ ‎　4‎ ‎　用水量y ‎　4.5‎ ‎4　‎ ‎3　‎ ‎2.5　‎ A．10.5 B．5.15 C．5.25 D．5.2‎ ‎3．某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本．若样本中的青年职工为7人，则样本容量为（　　）‎ A．7 B．15 C．25 D．35‎ ‎4．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：‎ ‎①若m⊥α，n∥α，则m⊥n ‎ ‎②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ ‎③若m∥α，n∥α，则m∥n ‎ ‎④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β 其中正确命题的序号是（　　）‎ A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和④‎ ‎5．有下列四个命题：‎ ‎①“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题；‎ ‎②“全等三角形的面积相等”的否命题；‎ ‎③“若q≤1，则x2+2x+q=0有实根”的逆否命题；‎ ‎④“不等边三角形的三个内角相等”逆命题；‎ 其中真命题为（　　）‎ A．①② B．①③ C．②③ D．③④‎ ‎6．若P是以F1，F2为焦点的椭圆=1（a＞b＞0）上的一点，且=0，tan∠PF1F2=，则此椭圆的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．变量x、y满足条件，则（x﹣2）2+y2的最小值为（　　）‎ A． B． C． D．5‎ ‎8．若直线ax﹣by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2+4x﹣4y﹣1=0所截得的弦长为6，则的最小值为（　　）‎ A．10 B． C． D．‎ ‎9．一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m），则该棱锥的全面积是（单位：m2）．（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．已知椭圆E：的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为（1，﹣1），则E的方程为（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎11．程序框图如图所示，当A=时，输出的k的值为（　　）‎ A．23 B．24 C．25 D．26‎ ‎12．设P，Q分别为圆x2+（y﹣6）2=2和椭圆+=1上的点，则P，Q两点间的最大距离是（　　）‎ A．5 B． + C．2+ D．6‎ ‎　‎ 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）‎ ‎13．如图，程序在执行时如果输入6，那么输出的结果为　　．‎ ‎14．实数x，y满足条件，若目标函数z=2x+y的最大值与最小值的差为2，则m的值为　　．‎ ‎15．已知三棱锥S﹣ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，AB=2，SA=SB=SC=2，则三棱锥的外接球的球心到平面ABC的距离是　　．‎ ‎16．若在区间（﹣1，1）内任取实数a，在区间（0，1）内任取实数b，则直线ax﹣by=0与圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=1相交的概率为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17．（10分）已知p：|3x﹣4|＞2，＞0，r：（x﹣a）（x﹣a﹣1）＜0，‎ ‎（1）¬p是¬q的什么条件？‎ ‎（2）若¬r是¬p的必要非充分条件，试求实数a的取值范围．‎ ‎18．（12分）设圆上的点A（2，3）关于直线x+2y=0的对称点仍在圆上，且与直线x﹣y+1=0相交的弦长为2，求圆的方程．‎ ‎19．（12分）某校从高三年级期末考试的学生中抽出20名学生，其成绩（均为整数）的频率分布直方图如图所示：‎ ‎（1）估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分；‎ ‎（2）从成绩是80分以上（包括80分）的学生中选两人，求他们在不同分数段的概率．‎ ‎20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，BC=AD，PA=PD，Q为AD的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：AD⊥平面PBQ；‎ ‎（Ⅱ）若点M在棱PC上，设PM=tMC，试确定t的值，使得PA∥平面BMQ．‎ ‎21．（12分）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=（0≤x≤10），若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．‎ ‎（Ⅰ）求k的值及f（x）的表达式．‎ ‎（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小，并求最小值．‎ ‎22．（12分）已知点E、F的坐标分别是（﹣2，0）、（2，0），直线EP、FP相交于点P，且它们的斜率之积为．‎ ‎（1）求证：点P的轨迹在一个椭圆C上，并写出椭圆C的方程；‎ ‎（2）设过原点O的直线AB交（1）中的椭圆C于点A、B，定点M的坐标为，试求△MAB面积的最大值，并求此时直线AB的斜率kAB．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年湖北省宜昌市金东方高中、三峡高中高二（上）11月联考数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．）‎ ‎1．命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为（　　）‎ A．对任意x∈R，都有x2＜0 B．不存在x∈R，都有x2＜0‎ C．存在x0∈R，使得x02≥0 D．存在x0∈R，使得x02＜0‎ ‎【考点】命题的否定；全称命题．‎ ‎【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题，写出命题的否定命题即可．‎ ‎【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，‎ 所以命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为．存在x0∈R，使得x02＜0．‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，基本知识的考查．‎ ‎　‎ ‎2．如表是某厂1﹣4月份用水量（单位：百吨）的一组数据：由散点图可知，用水量与月份之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是=﹣0.7x+，则=（　　）‎ ‎　月份x ‎　1‎ ‎　2‎ ‎　3‎ ‎　4‎ ‎　用水量y ‎　4.5‎ ‎4　‎ ‎3　‎ ‎2.5　‎ A．10.5 B．5.15 C．5.25 D．5.2‎ ‎【考点】线性回归方程．‎ ‎【分析】计算样本中心，代入回归方程得出．‎ ‎【解答】解： =， =3.5．‎ ‎∴3.5=﹣0.7×2.5+，解得=5.25．‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查了线性回归方程经过样本中心的性质，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎3．某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本．若样本中的青年职工为7人，则样本容量为（　　）‎ A．7 B．15 C．25 D．35‎ ‎【考点】分层抽样方法．‎ ‎【分析】先计算青年职工所占的比例，再根据青年职工抽取的人数计算样本容量即可．‎ ‎【解答】解：青年职工、中年职工、老年职工三层之比为7：5：3，所以样本容量为．‎ 故选B ‎【点评】本题考查基本的分层抽样，属基本题．‎ ‎　‎ ‎4．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：‎ ‎①若m⊥α，n∥α，则m⊥n ‎ ‎②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ ‎③若m∥α，n∥α，则m∥n ‎ ‎④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β 其中正确命题的序号是（　　）‎ A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和④‎ ‎【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；命题的真假判断与应用；空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．‎ ‎【分析】根据线面平行性质定理，结合线面垂直的定义，可得①是真命题；根据面面平行的性质结合线面垂直的性质，可得②‎ 是真命题；在正方体中举出反例，可得平行于同一个平面的两条直线不一定平行，垂直于同一个平面和两个平面也不一定平行，可得③④不正确．由此可得本题的答案．‎ ‎【解答】解：对于①，因为n∥α，所以经过n作平面β，使β∩α=l，可得n∥l，‎ 又因为m⊥α，l⊂α，所以m⊥l，结合n∥l得m⊥n．由此可得①是真命题；‎ 对于②，因为α∥β且β∥γ，所以α∥γ，结合m⊥α，可得m⊥γ，故②是真命题；‎ 对于③，设直线m、n是位于正方体上底面所在平面内的相交直线，‎ 而平面α是正方体下底面所在的平面，‎ 则有m∥α且n∥α成立，但不能推出m∥n，故③不正确；‎ 对于④，设平面α、β、γ是位于正方体经过同一个顶点的三个面，‎ 则有α⊥γ且β⊥γ，但是α⊥β，推不出α∥β，故④不正确．‎ 综上所述，其中正确命题的序号是①和②‎ 故选：A ‎【点评】本题给出关于空间线面位置关系的命题，要我们找出其中的真命题，着重考查了线面平行、面面平行的性质和线面垂直、面面垂直的判定与性质等知识，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎5．有下列四个命题：‎ ‎①“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题；‎ ‎②“全等三角形的面积相等”的否命题；‎ ‎③“若q≤1，则x2+2x+q=0有实根”的逆否命题；‎ ‎④“不等边三角形的三个内角相等”逆命题；‎ 其中真命题为（　　）‎ A．①② B．①③ C．②③ D．③④‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】写出“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题判断真假；‎ 写出“全等三角形的面积相等”的否命题判断真假；‎ 通过若q≤1，则方程x2+2x+q=0有实根，根据二次方程根的存在性，即可得到其真假，然后利用互为逆否命题的两个命题即可判定该命题的正误．‎ 利用原命题与逆否命题同真同假判断即可．‎ ‎【解答】解：对于①，“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题是：若x，y互为相反数，则x+y=0．它是真命题．‎ 对于②，“全等三角形的面积相等”的否命题是：若两个三角形不是全等三角形，则这两个三角形的面积不相等．它是假命题．‎ 对于③，若q≤1，则△=4﹣4q≥0，故命题若q≤1，则方程x2+2x+q=0有实根是真命题；它的逆否命题的真假与该命题的真假相同，故（3）是真命题．‎ 对于④，原命题为假，故逆否命题也为假．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查四种命题的真假判断以及命题的否定，解题时要注意四种命题的相互转化，和真假等价关系，属基础题．‎ ‎　‎ ‎6．若P是以F1，F2为焦点的椭圆=1（a＞b＞0）上的一点，且=0，tan∠PF1F2=，则此椭圆的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】根据向量、的数量积为零，可得△PF1F2是P为直角顶点的直角三角形．Rt△PF1F2中，根据正切的定义及，可设PF2=t，PF1=2t，由勾股定理，得出．利用椭圆的定义得到2a=PF1+PF2=3t，最后由椭圆离心率的定义可得此椭圆的离心率．‎ ‎【解答】解：∵‎ ‎∴，即△PF1F2是P为直角顶点的直角三角形．‎ ‎∵Rt△PF1F2中，，‎ ‎∴=，设PF2=t，则PF1=2t ‎∴=2c，‎ 又∵根据椭圆的定义，得2a=PF1+PF2=3t ‎∴此椭圆的离心率为e====‎ 故选A ‎【点评】本题给出椭圆的一个焦点三角形为直角三角形，根据一个内角的正切值，求椭圆的离心率，着重考查了椭圆的基本概念和简单几何性质，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎7．变量x、y满足条件，则（x﹣2）2+y2的最小值为（　　）‎ A． B． C． D．5‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】作出不等式组对应的平面区域，设z=（x﹣2）2+y2，利用距离公式进行求解即可．‎ ‎【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，‎ 设z=（x﹣2）2+y2，则z的几何意义为区域内的点到定点D（2，0）的距离的平方，‎ 由图象知CD的距离最小，此时z最小．‎ 由得，即C（0，1），‎ 此时z=（x﹣2）2+y2=4+1=5，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义以及两点间的距离公式，利用数形结合是解决此类问题的基本方法．‎ ‎　‎ ‎8．若直线ax﹣by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2+4x﹣4y﹣1=0所截得的弦长为6，则的最小值为（　　）‎ A．10 B． C． D．‎ ‎【考点】直线与圆相交的性质．‎ ‎【分析】由已知中圆的方程x2+y2+4x﹣4y﹣1=0我们可以求出圆心坐标，及圆的半径，结合直线ax﹣by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2+4x﹣4y﹣1=0所截得的弦长为6，我们易得到a，b的关系式，再根据基本不等式中1的活用，即可得到答案．‎ ‎【解答】解：圆x2+y2+4x﹣4y﹣1=（x+2）2+（y﹣2）2=9是以（﹣2，2）为圆心，以3为半径的圆，‎ 又∵直线ax﹣by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2+4x﹣4y﹣1=0所截得的弦长为6，‎ ‎∴直线过圆心，‎ ‎∴a+b=1，‎ ‎∴=（）（a+b）=5++≥5+2=5+2，当且仅当a=﹣2，b=3﹣时取等号，‎ ‎∴的最小值的最小值为5+2，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查的知识点是直线与圆相交的性质，基本不等式，其中根据已知条件，分析出圆心在已知直线上，进而得到a，b的关系式，是解答本题的关键．‎ ‎　‎ ‎9．一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m），则该棱锥的全面积是（单位：m2）．（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】由三视图可以看出，此几何体是一个侧面与底面垂直的三棱锥，垂直于底面的侧面是一个高为2，底连长也为2的等腰直角三角形，底面与垂直于底面的侧面全等，此两面的面积易求，另两个与底面不垂直的侧面是全等的，可由顶点在底面上的射影作出此两侧面底边的高，将垂足与顶点连接，此线即为侧面三角形的高线，求出侧高与底面的连长，用三角形面积公式求出此两侧面的面积，将四个面的面积加起来即可 ‎【解答】解：由三视图可以看出，此几何体是一个侧面与底面垂直且底面与垂直于底面的侧面全等的三棱锥 由图中数据知此两面皆为等腰直角三角形，高为2，底面连长为2，故它们的面积皆为=2，‎ 由顶点在底面的投影向另两侧面的底边作高，由等面积法可以算出，此二高线的长度长度相等，为，‎ 将垂足与顶点连接起来即得此两侧面的斜高，由勾股定理可以算出，此斜高为2，同理可求出侧面底边长为，‎ 可求得此两侧面的面积皆为=，‎ 故此三棱锥的全面积为2+2++=，‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查对三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是三棱锥的全面积，做本题时要注意本题中的规律应用，即四个侧面两两相等，注意到这一点，可以大大降低运算量．三视图的投影规则是主视、俯视 长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视 宽相等．‎ ‎　‎ ‎10．已知椭圆E：的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为（1，﹣1），则E的方程为（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【考点】椭圆的标准方程．‎ ‎【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程得，利用“点差法”可得．利用中点坐标公式可得x1+x2=2，y1+y2=﹣2，利用斜率计算公式可得==．于是得到，化为a2=2b2，再利用c=3=，即可解得a2，b2．进而得到椭圆的方程．‎ ‎【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 代入椭圆方程得，‎ 相减得，‎ ‎∴．‎ ‎∵x1+x2=2，y1+y2=﹣2， ==．‎ ‎∴，‎ 化为a2=2b2，又c=3=，解得a2=18，b2=9．‎ ‎∴椭圆E的方程为．‎ 故选D．‎ ‎【点评】熟练掌握“点差法”和中点坐标公式、斜率的计算公式是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎11．程序框图如图所示，当A=时，输出的k的值为（　　）‎ A．23 B．24 C．25 D．26‎ ‎【考点】循环结构．‎ ‎【分析】‎ 由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量k的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．‎ ‎【解答】解：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是计算S=+++…+=的值，‎ ‎∵A=，退出循环的条件为S≥A，‎ 当k=24时， =满足条件，‎ 故输出k=24，‎ 故选：B ‎【点评】本题考查的知识点是程序框图，分析出程序的功能是解答的关键．‎ ‎　‎ ‎12．设P，Q分别为圆x2+（y﹣6）2=2和椭圆+=1上的点，则P，Q两点间的最大距离是（　　）‎ A．5 B． + C．2+ D．6‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】由圆的方程求出圆心坐标和半径，设出Q的坐标，由两点间的距离公式列式，化为关于Q的纵坐标的函数，配方求得Q到圆心的距离的最大值，即可求P，Q两点间的距离的最大值．‎ ‎【解答】解：如图，由圆x2+（y﹣6）2=2，得圆心坐标为C（0，6），半径为．‎ 设Q（x，y）是椭圆+=1上的点，‎ ‎∴|QC|==，‎ ‎∵﹣≤y≤，‎ ‎∴y=﹣时，Q与圆心C的距离的最大值为．‎ ‎∴P，Q两点间的距离的最大值为2+．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的定义与方程，考查两点间距离公式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．‎ ‎　‎ 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）‎ ‎13．如图，程序在执行时如果输入6，那么输出的结果为　720　．‎ ‎【考点】伪代码．‎ ‎【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累乘并输出S=1×2×3×4×5×6的值．‎ ‎【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，‎ 再根据流程图所示的顺序，可知：‎ 该程序的作用是累加并输出S=1×2×3×4×5×6的值．‎ ‎∵S=1×2×3×4×5×6=720，‎ 故输出的值为720‎ 故答案为：720‎ ‎【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②‎ 建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．‎ ‎　‎ ‎14．实数x，y满足条件，若目标函数z=2x+y的最大值与最小值的差为2，则m的值为　2　．‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】作出不等式组，对应的平面区域，利用z的几何意义，结合目标函数z=2x+y的最大值是最小值的差为2，建立方程关系，即可得到结论．‎ ‎【解答】解：作出不等式组，对应的平面区域如图：‎ 由z=2x+y得y=﹣2x+z，‎ 平移直线y=﹣2x+z，‎ 由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线的截距最大，‎ 此时z最大，‎ 由，解得即A（4﹣m，m），‎ 此时z=2×（4﹣m）+m=8﹣m，‎ 当直线y=﹣2x+z经过点B时，直线的截距最小，‎ 此时z最小，‎ 由，解得，‎ 即B（m﹣1，m），此时z=2×（m﹣1）+m=3m﹣2，‎ ‎∵目标函数z=2x+y的最大值是最小值的差为2，‎ ‎∴8﹣m﹣3m+2=2，‎ 即m=2．‎ 故答案为：2‎ ‎【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎15．已知三棱锥S﹣ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，AB=2，SA=SB=SC=2，则三棱锥的外接球的球心到平面ABC的距离是　　．‎ ‎【考点】点、线、面间的距离计算．‎ ‎【分析】据三棱锥S﹣ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，SA=SB=SC，可得S在面ABC上的射影为AB中点H，SH⊥平面ABC，在面SHC内作SC的垂直平分线MO与SH交于O，则O为SABC的外接球球心，OH为O与平面ABC的距离，由此可得结论．‎ ‎【解答】解：∵三棱锥S﹣ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，SA=SB=SC，‎ ‎∴S在面ABC上的射影为AB中点H，∴SH⊥平面ABC．‎ ‎∴SH上任意一点到A、B、C的距离相等．‎ ‎∵SH=，CH=1，在面SHC内作SC的垂直平分线MO与SH交于O，‎ 则O为SABC的外接球球心．‎ ‎∵SC=2，‎ ‎∴SM=1，∠OSM=30°，‎ ‎∴SO=，∴OH=，即为O与平面ABC的距离．‎ 故答案为．‎ ‎【点评】本题考查点到面的距离的计算，考查学生分析解决问题的能力，确定OH是O与平面ABC的距离是关键．‎ ‎　‎ ‎16．若在区间（﹣1，1）内任取实数a，在区间（0，1）内任取实数b，则直线ax﹣by=0与圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=1相交的概率为　　．‎ ‎【考点】等可能事件的概率；直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是在区间（﹣1，1）内任取实数a，在区间（0，1）内任取实数b，对应的面积是2×1，满足条件的事件是圆心（1，2）到直线的距离小于或等于半径，整理出结果，得到概率．‎ ‎【解答】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，‎ 试验发生包含的事件是在区间（﹣1，1）内任取实数a，在区间（0，1）内任取实数b，‎ 对应的面积是2×1=2，‎ 满足条件的事件是圆心（1，2）到直线的距离小于或等于半径，‎ 即，‎ ‎∴4a≥3b，‎ 在所有事件组成的集合中，满足3b≥4a有x轴左边，b＜1的部分，‎ ‎∴要求的概率是=，‎ 故答案为：‎ ‎【点评】本题考查等可能事件的概率，要求得概率等于符合条件的面积之比，注意满足条件的事件所满足的条．件在整理时，应用点到直线的距离公式，注意变形整理．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17．（10分）（2014秋•新乡期末）已知p：|3x﹣4|＞2，＞0，r：（x﹣a）（x﹣a﹣1）＜0，‎ ‎（1）¬p是¬q的什么条件？‎ ‎（2）若¬r是¬p的必要非充分条件，试求实数a的取值范围．‎ ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】（1）求出命题p，q的等价条件，根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．‎ ‎（2）根据￢r是￢p的必要非充分条件，进行转化，建立不等式关系进行求解即可．‎ ‎【解答】解：（1）由|3x﹣4|＞2得3x﹣4＞2或3x﹣4＜﹣2，‎ 即x＞2或x＜，即p：x＞2或x＜，￢p：≤x≤2‎ 由＞0得x2﹣x﹣2＞0得x＞2或x＜﹣1，即：￢q：﹣1≤x≤2，‎ 则￢p是￢q的充分不必要条件．‎ ‎（2）由（x﹣a）（x﹣a﹣1）＜0得a＜x＜a+1，即r：a＜x＜a+1，‎ 若￢r是￢p的必要非充分条件，‎ 则p是r的必要非充分条件，‎ 即a≥2或a+1≤，‎ 即a≥2或a≤﹣，‎ 即实数a的取值范围是a≥2或a≤﹣．‎ ‎【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断和应用，根据充分条件和必要条件的定义进行转化是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）（2015秋•宜昌校级期末）设圆上的点A（2，3）关于直线x+2y=0的对称点仍在圆上，且与直线x﹣y+1=0相交的弦长为2，求圆的方程．‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】设出圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，由圆上的点关于直线的对称点还在圆上得到圆心在这条直线上，设出圆心坐标，代入到x+2y=0中得到①；把A的坐标代入圆的方程得到②；由圆与直线x﹣y+1=0相交的弦长为2，利用垂径定理得到弦的一半，圆的半径，弦心距成直角三角形，利用勾股定理得到③，三者联立即可求出a、b和r的值，得到满足题意的圆方程．‎ ‎【解答】解：设所求圆的圆心为（a，b），半径为r，‎ ‎∵点A（2，3）关于直线x+2y=0的对称点A′仍在这个圆上，‎ ‎∴圆心（a，b）在直线x+2y=0上，‎ ‎∴a+2b=0，①‎ ‎（2﹣a）2+（3﹣b）2=r2．②‎ 又直线x﹣y+1=0截圆所得的弦长为2，‎ 圆心（a，b）到直线x﹣y+1=0的距离为d==，‎ 则根据垂径定理得：r2﹣（）2=（）2③‎ 解由方程①、②、③组成的方程组得：‎ 或 ‎∴所求圆的方程为（x﹣6）2+（y+3）2=52或（x﹣14）2+（y+7）2=244．‎ ‎【点评】此题要求学生掌握直线与圆的位置关系，灵活运用垂径定理及对称知识化简求值，是一道中档题．学生做题时注意满足题意的圆方程有两个．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）（2016秋•三峡区月考）某校从高三年级期末考试的学生中抽出20名学生，其成绩（均为整数）的频率分布直方图如图所示：‎ ‎（1）估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分；‎ ‎（2）从成绩是80分以上（包括80分）的学生中选两人，求他们在不同分数段的概率．‎ ‎【考点】频率分布直方图．‎ ‎【分析】（1）求出60分及以上的频率为及格率，再利用组中值计算平均分；‎ ‎（2）求出80到90分以及90到100分的人数，利用列举法求出对应的基本事件数，计算概率值即可．‎ ‎【解答】解：（1）60分及以上的频率为1﹣（0.005+0.015）×10=0.8，‎ 所以及格率为0.8；‎ 平均分为：45×0.05+55×0.15+65×0.2+75×0.30+85×0.25+95×0.05=72；‎ ‎（2）80到90分的人数为：0.025×10×20=5（人），‎ ‎90到100分人数为：0.005×10×20=1（人）；‎ 设90到100分的人为a，80到90分的5个人分别为：1、2、3、4、5，‎ 则有（a，1）、（a，2）、（a，3）、（a，4）、（a，5）、‎ ‎（1，2）、（1，3）、（1，4）、（1，5）、‎ ‎（2，3）、（2，4）、（2，5）、‎ ‎（3，4）、（3，5）、（4，5）共15个基本事件，且他们是等可能的，‎ 设事件A为选中的两人在不同分数段，则事件A有 ‎（a，1）、（a，2）、（a，3）、（a，4），（a，5）共5个基本事件，‎ ‎∴P（A）==．‎ 即成绩是80分以上（包括80分）的学生中选两人，在不同分数段的概率为．‎ ‎【点评】本题考主要查古典概型问题，可以列举出试验发生包含的事件和满足条件的事件，列举法，是解决古典概型问题的一种重要的解题方法，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）（2014•淮南一模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，BC=AD，PA=PD，Q为AD的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：AD⊥平面PBQ；‎ ‎（Ⅱ）若点M在棱PC上，设PM=tMC，试确定t的值，使得PA∥平面BMQ．‎ ‎【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．‎ ‎【分析】（Ⅰ） 证明四边形BCDQ为平行四边形，可得CD∥BQ，证得QB⊥AD，由等腰三角形的性质可得PQ⊥AD，从而 证得AD⊥平面PBQ．‎ ‎ （Ⅱ） 当 t=1时，PA∥平面BMQ，可证四边形BCQA为平行四边形，故N为AC中点，由三角形的中位线的性质 可得MN∥PA，故有PA∥平面BMQ．‎ ‎【解答】证明：（Ⅰ）AD∥BC，BC=AD，Q为AD的中点，‎ ‎∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD∥BQ．∵∠ADC=90°，‎ ‎∴∠AQB=90°，即QB⊥AD．∵PA=PD，Q为AD的中点，‎ ‎∴PQ⊥AD．∵PQ∩BQ=Q，∴AD⊥平面PBQ．‎ ‎（Ⅱ）当 t=1时，PA∥平面BMQ． 连接AC，交BQ于N，连接MN．‎ ‎∵BC∥DQ，且BC=DQ，∴四边形BCQA为平行四边形，‎ 且N为AC中点，∵点M是线段PC的中点，∴MN∥PA．‎ ‎∵MN⊂平面BMQ，PA不在平面BMQ内，∴PA∥平面BMQ．‎ ‎【点评】本题考查证明线线垂直、线面垂直的方法，直线与平面垂直的判定、性质的应用．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）（2010•湖北）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=（0≤x≤10），若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．‎ ‎（Ⅰ）求k的值及f（x）的表达式．‎ ‎（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小，并求最小值．‎ ‎【考点】函数模型的选择与应用；利用导数求闭区间上函数的最值．‎ ‎【分析】（I）由建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．我们可得C（0）=8，得k=40，进而得到．建造费用为C1（x）=6x，则根据隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f（x），我们不难得到f（x）的表达式．‎ ‎（II）由（1）中所求的f（x）的表达式，我们利用导数法，求出函数f（x）的单调性，然后根据函数单调性易求出总费用f（x）的最小值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）设隔热层厚度为xcm，由题设，每年能源消耗费用为．‎ 再由C（0）=8，得k=40，‎ 因此．‎ 而建造费用为C1（x）=6x，‎ 最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为 ‎（Ⅱ），令f'（x）=0，即．‎ 解得x=5，（舍去）．‎ 当0＜x＜5时，f′（x）＜0，当5＜x＜10时，f′（x）＞0，故x=5是f（x）的最小值点，对应的最小值为．‎ 当隔热层修建5cm厚时，总费用达到最小值为70万元．‎ ‎【点评】函数的实际应用题，我们要经过析题→建模→解模→还原四个过程，在建模时要注意实际情况对自变量x取值范围的限制，解模时也要实际问题实际考虑．将实际的最大（小）化问题，利用函数模型，转化为求函数的最大（小）是最优化问题中，最常见的思路之一．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）（2016秋•三峡区月考）已知点E、F的坐标分别是（﹣2，0）、（2，0），直线EP、FP相交于点P，且它们的斜率之积为．‎ ‎（1）求证：点P的轨迹在一个椭圆C上，并写出椭圆C的方程；‎ ‎（2）设过原点O的直线AB交（1）中的椭圆C于点A、B，定点M的坐标为，试求△MAB面积的最大值，并求此时直线AB的斜率kAB．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】（1）设点M的坐标为（x，y），求出斜率，列出方程化简求解即可；‎ ‎（2）设直线AB的方程为y=kx，A（x1，kx1），则B（﹣x1，﹣kx1），联立直线和椭圆的方程，求得 ‎，利用弦定公式，求出AB的长，利用点到直线公式，求出M点直线AB的距离，得到△MAB面积的表达式，进而求出△MAB面积m的取值范围，得到△MAB面积m的最大值，代入可求出对应的k值．‎ ‎【解答】（1）证明：设点M的坐标为（x，y），则 ‎，‎ 化简得P的轨迹方程为（x≠±2），‎ ‎∴点P的轨迹在一个椭圆上；‎ ‎（2）解：设直线AB的方程为y=kx，A（x1，kx1），则B（﹣x1，﹣kx1），‎ 联立y=kx与，得，‎ AB=2OA=2=4，‎ ‎∵M（1，）到直线AB的距离d=，‎ ‎∴AB•d=×4×=m，‎ 得4（1﹣m2）k2﹣4k+1﹣m2=0，‎ 则42﹣4•4（1﹣m2）•（1﹣m2）≥0．‎ 即（1﹣m2）2≤1，‎ 又由m≥0，可得0≤m≤，‎ 即三角形MAB的最大值为，代入4（1﹣m2）k2﹣4k+1﹣m2=0，得k=﹣．‎ ‎【点评】本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的综合问题，考查数学转化思想方法，训练了函数最值的求法，是中档题．‎ ‎　‎