突破18 天体质量和密度的估算与天体表面重力加速度问题-2019高三物理一轮微专题系列之热点专题突破

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突破18 天体质量和密度的估算与天体表面重力加速度问题-2019高三物理一轮微专题系列之热点专题突破

突破 18 天体表面重力加速度问题与天体质量和密度的估算 一、天体表面上的重力加速度问题 重力是由于物体受到地球的万有引力而产生的,严格说重力只是万有引力的一个分力, 另一个分力提供物体随地球自转做圆周运动的向心力,但由于向心力很小,一般情况下认为 重力约等于万有引力,即 mg=GMm R2 ,这样重力加速度就与行星质量、半径联系在一起,高 考也多次在此命题。 计算重力加速度的方法 (1)在地球表面附近的重力加速度 g (不考虑地球自转): mg=G mMR2 ,得 g= GMR2 (2)在地球上空距离地心 r=R+h 处的重力加速度为 g′, mg′= GmM(R+h)2,得,g′= GM(R+h)2 所以 gg′= (R+h)2R2 (3)其他星球上的物体,可参考地球上的情况做相应分析. 【典例 1】宇航员王亚平在“天宫 1 号”飞船内进行了我国首次太空授课,演示了一些完 全失重状态下的物理现象。若飞船质量为 m,距地面高度为 h,地球质量为 M,半径为 R, 引力常量为 G,则飞船所在处的重力加速度大小为( ) A.0 B. GM(R+h)2 C. GMm(R+h)2 D. GMh2 【解析】 飞船受的万有引力等于在该处所受的重力,即 G Mm(R+h)2=mg,得 g= GM(R+h)2,选项 B 正确。 【答案】 B 【典例 2】假设有一火星探测器升空后,先在地球表面附近以线速度 v 环绕地球飞行, 再调整速度进入地火转移轨道,最后以线速度 v′在火星表面附近环绕火星飞行。若认为地球 和火星都是质量分布均匀的球体,已知火星与地球的半径之比为 1∶2,密度之比为 5∶7。 设火星与地球表面的重力加速度分别为 g′和 g。下列结论正确的是( ) A.g′∶g=1∶4 B.g′∶g=7∶10 C.v′∶v= 528 D.v′∶v= 514 【答案】C 【典例 3】若在某行星和地球上相对于各自的水平地面附近相同的高度处、以相同的速 率平抛一物体,它们在水平方向运动的距离之比为 2∶。已知该行星质量约为地球的 7 倍, 地球的半径为 R。由此可知,该行星的半径约为( ) A. 12R B. 72R C.2R D. 72R 【答案】 C 【解析】 做平抛运动的物体在水平方向上做匀速直线运动,即 x=v0t,在竖直方向上 做自由落体运动,即 h = 12gt2,所以 x=v0 2hg ,两种情况下,物体抛出的速度相同,高度 相同,所以 g 行 g 地= 74,根据公式 G MmR2 =mg 可得 g= GMR2 ,故 g 行 g 地= M 地 R 地 2= 74,解得 R 行= 2R,故 C 正确。 【跟踪短训】 1.宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球,经过时间 t 小球落回原地。若他 在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球,需经过时间 5t 小球落回原地。已知该星 球的半径与地球半径之比为 R 星∶R 地=1∶4,地球表面重力加速度为 g,设该星球表面附近 的重力加速度为 g′,空气阻力不计。则( ) A.g′∶g=5∶1 B.g′∶g=5∶2 C.M 星∶M 地=1∶20 D.M 星∶M 地=1∶80 【答案】D 【解析】 由速度变化的对称性知竖直上抛的小球在空中运动时间 t= 2v0g ,5t= 2v0g′, 因此得 g′g= t5t= 15,A、B 错误;由 G MmR2 =mg 得 M= gR2G ,因而 M 星 M 地 = g′R 星 2gR 地 2= 15× 142= 180, C 错误,D 正确。 2.有一星球的密度跟地球密度相同,但它表面处的重力加速度是地球表面处重力加速 度的 4 倍,则该星球的质量将是地球质量的(忽略其自转影响)( ) A. 14 B.4 倍 C.16 倍 D.64 倍 【答案】D 【解析】 天体表面的重力加速度 g= GMR2 ,又知ρ= MV = 3M4πR3,所以 M= 9g316π2ρ2G3, 故 M 星 M 地 = g 星 g 地3=64。D 正确。 3. 热爱天文科学的某同学从网上得到一些关于月球和地球的信息,如下表中所示。根 据表格中数据,可以计算出地球和月球的密度之比为( ) 月球半径 R0 月球表面处的重力加速度 g0 地球和月球的半径之比 R R0=4 地球表面和月球表面的重力加速度之比 g g0=6 A.3∶2 B.2∶3 C.4∶1 D.6∶1 【答案】A 4.据报道,科学家们在距离地球 20 万光年外发现了首颗系外“宜居”行星。假设该行星 质量约为地球质量的 6.4 倍,半径约为地球半径的 2 倍。那么,一个在地球表面能举起 64 kg 物体的人,在这个行星表面能举起的物体的质量约为(地球表面重力加速度 g=10 m/s2)( ) A.40 kg B.50 kg C.60 kg D.30 kg 【答案】A 【解析】 在地球表面,万有引力近似等于重力 GMmR2 =mg,得 g= GMR2 ,因为行星质量 约为地球质量的 6.4 倍,其半径约为地球半径的 2 倍,则行星表面重力加速度是地球表面重 力加速度的 1.6 倍,而人的举力可认为是不变的,则人在行星表面所举起的物体的质量为: m= m01.6= 641.6 kg=40 kg,故 A 正确。 5.科幻大片《星际穿越》是基于知名理论物理学家基普·索恩的黑洞理论,加入人物和 相关情节改编而成的。电影中的黑洞花费三十名研究人员将近一年的时间,用数千台计算机 精确模拟才得以实现,让我们看到了迄今最真实的黑洞模样。若某黑洞的半径 R 约为 45 km, 质量 M 和半径 R 的关系满足 MR = c22G(其中 c=3×108 m/s,G 为引力常量),则该黑洞表面的重 力加速度约为( ) A.108 m/s2 B.1010 m/s2 C.1012 m/s2 D.1014 m/s2 【答案】C 【解析】 黑洞实际为一天体,天体表面的物体受到的重力近似等于物体与该天体之间 的万有引力,设黑洞表面的重力加速度为 g,对黑洞表面的某一质量为 m 的物体,有 GMmR2 =mg,又有 MR = c22G,联立解得 g= c22R,代入数据得重力加速度约为 1012 m/s2,故选项 C 正 确。 6. 假设地球是一半径为 R、质量分布均匀的球体。一矿井深度为 d,已知质量分布均匀 的球壳对壳内物体的引力为零。矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为( ) A.1- dR B.1+ dR C. R-dR 2 D. RR-d2 【答案】 A 【解析】 如图所示, 7. 月球是离地球最近的天体,已知月球质量为 M,半径为 R,引力常量为 G,若忽略 月球的自转,则关于在月球表面所做的实验,下列叙述正确的是( ) A.把质量为 m 的物体竖直悬挂在弹簧测力计下,静止时弹簧测力计的示数为 GMmR2 B.以初速度 v0 竖直上抛一个物体,则物体经时间 2π RGM落回原处 C.把羽毛和铁锤从同一高度同时释放,则铁锤先落地 D.用长为 l 的细绳拴一质量为 m 的小球在竖直平面内做圆周运动,则小球的最小动能 为 GMml2R2 【答案】AD 二、中心天体质量和密度的估算 (1)“g、R 法”:已知天体表面的重力加速度 g 和天体半径 R。 ①由 G Mm R2 =mg 得天体质量 M=g R2 G 。 ②天体密度ρ=M V= 4 πR3= 3g 4πGR。 (2)“T、r 法”:测出卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径 r 和周期 T。 ①由 G Mm r2 =m 4π2r T2 得天体的质量 M=4π2r3 GT2 。 ②若已知天体的半径 R,则天体的密度ρ=M V= 4 πR3= 3πr3 GT2R3。 ③若卫星绕天体表面运行时,可认为轨道半径 r 等于天体半径 R,则天体密度ρ= 3π GT2可 见,只要测出卫星环绕天体表面运动的周期 T,就可估算出中心天体的密度。 【典例 1】假设地球可视为质量均匀分布的球体。已知地球表面重力加速度在两极的大 小为 g0,在赤道的大小为 g;地球自转的周期为 T,引力常量为 G。地球的密度为( ) A. 3πGT2g0-gg0 B. 3πGT2 g0g0-g C. 3πGT2 D. 3πGT2g0g 【答案】 B 【解析】 物体在地球的两极时,mg0=G MmR2 ,物体在赤道上时,mg+m 2πT 2R=G MmR2 , 以上两式联立解得地球的密度ρ= 3πg0GT2(g0-g)。故选项 B 正确,A、C、D 错误。 【典例 2】利用引力常量 G 和下列某一组数据,不能计算出地球质量的是( ) A.地球的半径及重力加速度(不考虑地球自转) B.人造卫星在地面附近绕地球做圆周运动的速度及周期 C.月球绕地球做圆周运动的周期及月球与地球间的距离 D.地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离 【答案】D 【跟踪短训】 1. “嫦娥一号”是我国首次发射的探月卫星,它在距月球表面高度为 200 km 的圆形轨道 上运行,运行周期为 127 分钟。已知引力常量 G=6.67×10-11 N·m2/kg2,月球半径约为 1.74×103 km。利用以上数据估算月球的质量约为( ) A.8.1×1010 kg B.7.4×1013 kg C.5.4×1019 kg D.7.4×1022 kg 【答案】 D 【解析】 对“嫦娥一号”探月卫星,由于万有引力提供其做圆周运动的向心力,则 G Mm(R+h)2=m 4π2T2 (R+h),整理得:M= 4π2GT2(R+h)3,代入数据可得 M≈7.4×1022 kg,D 正确。 2. “嫦娥一号”是我国首次发射的探月卫星,它在距月球表面高度为 200 km 的圆形轨道 上运行,运行周期为 127 分钟.已知引力常量 G=6.67×10-11N·m2/kg2,月球半径约为 1.74×103 km.利用以上数据估算月球的质量约为( ). A.8.1×1010kg B.7.4×1013kg C.5.4×1019kg D.7.4×1022kg 【答案】 D 【解析】 天体做圆周运动时都是万有引力提供向心力.“嫦娥一号”绕月球做匀速圆周 运动,由牛顿第二定律知: GMmr2 = 4π2mrT2 ,得 M= 4π2r3GT2 ,其中 r=R+h,代入数据解得 M=7.4×1022kg,选项 D 正确. 3.一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动,其线速度大小为 v.假设宇航员在该行 星表面上用弹簧测力计测量一质量为 m 的物体重力,物体静止时,弹簧测力计的示数为 N. 已知引力常量为 G,则这颗行星的质量为( ). A. mv2GN B. mv4GN C. Nv2Gm D. Nv4Gm 【答案】 B
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