数学文卷·2018届江西省名校学术联盟（临川一中、景德镇一中、雁潭一中等）高三教学质量检测考试（二）（2017

数学文卷·2018届江西省名校学术联盟（临川一中、景德镇一中、雁潭一中等）高三教学质量检测考试（二）（2017

江西名校学术联盟2018届高三年级教学质量检测考试（二）‎ 文科数学 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知全集为，集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.已知等差数列的前项和 ，若，则（ ）‎ A．4 B． 2 C． D．‎ ‎3.已知函数，其中，则（ ）‎ A． B．6 C． D． 或6‎ ‎4.函数的单调递增区间为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎5.已知，则“”是“”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要 ‎6. 陀螺是汉族民间最早的娱乐工具之一，也作陀罗，闽南语称作“干乐”，北方叫作“冰尜”或“打老牛”.陀螺的主体形状一般是由上面部分的圆柱和下面部分的圆锥组成，从前的制作材料多为木头，现代多为塑料或铁制，玩耍时可用绳子缠绕用力抽绳，使其直立旋转；或利用发条的弹力使其旋转，下图画出的是某陀螺模型的三视图，已知网络纸中小正方形的边长为1，则该陀螺模型的体积为（ ）‎ A． B． C. D． ‎ ‎7. 将函数的图像向右平移个单位后，所得函数图像关于原点对称，则的取值可能为（ ）‎ A． B． C. D． ‎ ‎8.已知正方形如图所示，其中相较于点，分别为，的中点，阴影部分中的两个圆分别为与的内切圆，若往正方形中随机投掷一点，则该点落在图中阴影区域内的概率为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎9.已知抛物线的焦点为，准线为，点是抛物线上一点，过点作的垂线，垂足为，准线与轴的交点设为，若，且的面积为，则以为直径的圆的标准方程为（ ）‎ A．或 ‎ B．或 ‎ C. 或 ‎ D．或 ‎10. 已知正方体的体积为1，点在线段上（点异于两点），点为线段的中点，若平面截正方体 所得的截面为四边形，则线段的取值范围为（ ）‎ A． B． C. D． ‎ ‎11.已知双曲线：的左、右焦点分别为，过点作圆：的切线，切点为，且直线与双曲线的一个交点满足，设为坐标原点，若，则双曲线的渐近线方程为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎12. 已知函数，现有如下说法：‎ ‎①函数的单调增区间为和；‎ ‎②不等式的解集为；‎ ‎③函数有6个零点.‎ 则上述说法中，正确结论的个数有（ ）‎ A． 0个 B． 1个 C.2个 D．3个 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.已知等比数列的前项和 ，若，则数列的公比为 ．‎ ‎14.已知单位向量满足，则夹角的余弦值为 ．‎ ‎15. 已知实数满足，则的取值范围为 ．‎ ‎16.已知中，角的对边分别为，若，则 ．‎ 三、解答题 ‎ ‎（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 海盗船是一种绕水平轴往复摆动的游乐项目，因其外形仿照古代海盗船而得名，现有甲、乙两游乐场统计了一天6个时间点参与海盗船游玩的游客数量，具体数据如下：‎ ‎（1）从所给6个时间点中任选一个，求参与海盗船游玩的游客数量甲游乐场比乙游乐场少的概率；‎ ‎（2）记甲、乙两游乐场6个时间点参与海盗船游玩的游客数量分别为，现从该6个时间点中任取2个，求恰有1个时间满足的概率.‎ ‎18. 在如图所示的五面体中，，，，四边形为正方形，平面平面.‎ ‎（1）证明：在线段上存在一点，使得平面；‎ ‎（2）求的长.‎ ‎19. 已知数列的前项和，且，数列是首项为1、公比为的等比数列.‎ ‎（1）若数列是等差数列，求该等差数列的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前项和.‎ ‎20. 已知中，角，.‎ ‎（1）若，求的面积；‎ ‎（2）若点满足，，求的值.‎ ‎21. 已知椭圆：的离心率为，且椭圆过点，直线过椭圆的右焦点且与椭圆交于两点.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）已知点，求证：若圆与直线相切，则圆与直线也相切.‎ ‎22.已知函数，，其中为自然对数的底数.‎ ‎（1）若，求曲线在点处的切线斜率；‎ ‎（2）证明：当时，函数有极小值，且极小值大于.‎ 试卷答案 ‎1.【答案】A ‎【解析】依题意，，‎ ‎，故，故选A. ‎ ‎2.【答案】D ‎【解析】设等差数列的公差为d，则，故，故，故选D.‎ ‎3.【答案】A ‎【解析】依题意，，故，故选A.‎ ‎4.【答案】C ‎【解析】依题意，，故，令，解得，故选C.‎ ‎5.【答案】B ‎【解析】若，可令，可知充分性不成立；若，则，则，故必要性成立，故“”是“”的必要不充分条件，故选B.‎ ‎6.【答案】B ‎【解析】依题意，该陀螺模型由一个四棱锥、一个圆柱以及一个圆锥拼接而成，故所求几何体的体积，故选B.‎ ‎7.【答案】D ‎【解析】依题意，，故向右平移个单位后，得到，故，则，观察可知，故选D.‎ ‎8.【答案】C ‎【解析】依题意，不妨设，则四边形与四边形的面积之和为；两个内切圆的面积之和为，故所求概率，故选C.‎ ‎9.【答案】A ‎【解析】作出辅助图形如下所示，因为，故，由抛物线的定义可知，故为等边三角形，因为的面积为，故，而，故点P的横坐标为，代入中，解得，故所求圆的标准方程为，故选A.‎ ‎10.【答案】B ‎【解析】依题意，当点M为线段BC的中点时，由题意可知，截面为四边形AMND1，从而当时，截面为四边形，当时，截面为五边形，故线段BM的取值范围为，故选B.‎ ‎11.【答案】C ‎【解析】因为，故，即，故点M为线段的中点；连接，则为的中位线，且故，且；因为，故点N在双曲线的右支上，所以，则在中，由勾股定理可得，，即，解得，故，故双曲线的渐近线方程为，故选C.‎ ‎12.【答案】C ‎【解析】作出的图象如下所示，观察可知函数 的单调增区间为，故①正确；解得，故②正确；令，解得，而有3个解；分别令，即分别有，结合的图象可知，方程有4个实数解，即函数有4个零点，故③错误，故选C.‎ ‎13.【答案】4‎ ‎【解析】设等比数列的公比为，显然，则，解得.‎ ‎14.【答案】‎ ‎【解析】依题意，，故，即，则.‎ ‎15.【答案】‎ ‎【解析】作出不等式组所表示的平面区域如下图阴影部分所示，观察可知，当直线过点时，有最小值，当直线过点时，有最大值，故的取值范围为.‎ ‎16.【答案】‎ ‎【解析】依题意，，故，‎ 即，可化得，故.‎ 方法二：依题意，，故，‎ 即，‎ 故.‎ ‎17.解：（1）事件“参与海盗船游玩的游客数量甲游乐场比乙游乐场少”的情况有8点、10点两个时间点，一共有6个时间点，所以所求概率为；‎ ‎（2）依题意，有4个时间点，记为A,B,C,D；有2个时间点，记为a,b；‎ 故从6个时间点中任取2个，所有的基本事件为（A，B），（A，C），（A，D），（A，a），（A，b），（B，C），（B，D），（B，a），（B，b），（C，D），（C，a），（C，b），（D，a），（D，b），（a，b），共15种，其中满足条件的为（A，a），（A，b），（B，a），（B，b），（C，a），（C，b），（D，a），（D，b），共8种，故所求概率.‎ ‎18. （1）证明：取AB的中点G，连接EG；因为，，，所以，又四边形是正方形，所以,,故四边形为平行四边形，故，‎ 因为平面，平面，故//平面.‎ ‎、‎ ‎（2）解：因为平面平面，四边形为正方形，所以，‎ 所以平面.‎ 在△中，因为，又，‎ 所以由余弦定理，得，由（1）得，‎ 故.‎ ‎19.解：（1）当时，；当时，，‎ 故；‎ 因为是等差数列，故成等差数列，‎ 即，解得，所以；‎ 所以，符合要求；‎ ‎（2）由（1）知，；‎ 所以 ‎=‎ 当时，；‎ 当时，．‎ ‎20. 解：（1）在△中，设角所对的边分别为，由正弦定理，‎ 得，‎ 又，所以，则为锐角，所以，‎ 则，‎ 所以△的面积．‎ 方法二：由余弦定理可得，解得，‎ 所以△的面积． ‎ ‎（2）由题意得M,N是线段BC的两个三等分点，‎ 设，则，，又，，‎ 在△中，由余弦定理得， ‎ 解得（负值舍去）， 则，所以,‎ 所以，（10分）‎ 在Rt△中，． ‎ ‎21.（1）解：设椭圆C的焦距为2c(c>0)，依题意，‎ 解得，c=1，故椭圆C的标准方程为；‎ ‎（2）证明：当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，M，N两点关于x轴对称，‎ 点P（4,0）在x轴上，所以直线PM与直线PN关于x轴对称，‎ 所以点O到直线PM与直线PN的距离相等，‎ 故若圆与直线PM相切，则也会与直线PN相切；‎ 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，，，‎ 由得：‎ 所以，， ‎ ‎，，‎ ‎，‎ 所以，，于是点O到直线PM与直线的距离PN相等，‎ 故若圆与直线PM相切，则也会与直线PN相切；‎ 综上所述，若圆与直线PM相切，则圆与直线PN也相切.‎ 22. ‎（1）解：依题意，，，故，‎ 即曲线在点处的切线斜率为；‎ ‎（2）证明：因为,所以在区间上是单调递增函数. ‎ 因为，， ‎ 所以，使得. ‎ 所以，；，， ‎ 故在上单调递减，在上单调递增，‎ 所以在区间上有极小值. ‎ 因为，所以. ‎ 设，，‎ 则， 所以，‎ 即在上单调递减，所以，‎ 即，故当时，函数有极小值，且极小值大于m. ‎