北京市昌平区2020届高三下学期统一练习数学试题

北京市昌平区2020届高三下学期统一练习数学试题

昌平区2020年高三年级第二次统一练习 数 学 试 卷 ‎ （满分150分，考试时间 120分钟）2020.6‎ 第一部分（选择题 共40分）‎ 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。‎ ‎（1）已知集合，则集合 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（2）在复平面内，复数对应的点的坐标为，则实数 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（3）在的展开式中，的系数为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（4）已知向量，.若，则实数的值为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（5）设，则 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（6）某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是 ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C） ‎ ‎（D）‎ ‎（7）已知点是双曲线的一条渐近线上一点，是双曲线的右焦点，若△的面积为，则点的横坐标为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（8）已知函数，则“函数在上单调递增”是“”的 ‎（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 ‎ （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 ‎（9）点在函数的图象上.若满足到直线的距离为的点有且仅有3个，则实数的值为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（10）一次数学考试共有8道判断题，每道题5分，满分40分.规定正确的画√，错误的画╳.甲、乙、丙、丁四名同学的解答及得分情况如下表所示，则m的值为 题号 学生 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 得分 甲 ‎╳‎ ‎√‎ ‎╳‎ ‎√‎ ‎╳‎ ‎╳‎ ‎√‎ ‎╳‎ ‎30‎ 乙 ‎╳‎ ‎╳‎ ‎√‎ ‎√‎ ‎√‎ ‎╳‎ ‎╳‎ ‎√‎ ‎25‎ 丙 ‎√‎ ‎╳‎ ‎╳‎ ‎╳‎ ‎√‎ ‎√‎ ‎√‎ ‎╳‎ ‎25‎ 丁 ‎╳‎ ‎√‎ ‎╳‎ ‎√‎ ‎√‎ ‎╳‎ ‎√‎ ‎√‎ m ‎ ‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ 第二部分（非选择题 共110分）‎ 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。‎ ‎ (11) 已知，则的最小值为_________ . ‎ ‎（12）设是等差数列，且，，则数列的前n项和 ．‎ ‎（13）已知点在抛物线上，若以点为圆心的圆与轴和其准线都相切，则点到其顶点的距离为__ .‎ ‎（14） 在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于原点对称，‎ 点在角的终边上.若， 则________ ；_____ .‎ ‎（15）曲线C: ,点在曲线上．给出下列三个结论：‎ ‎①曲线关于轴对称； ‎ ‎②曲线上的点的横坐标的取值范围是；‎ ‎③若,，则存在点,使△的面积大于.‎ 其中，所有正确结论的序号是________． ‎ 注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求。全部选对得5分，不选或有错选得分，其他得3分。‎ ‎ 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。‎ ‎（16）（本小题14分）‎ 在中，‎ ‎（Ⅰ）求；‎ ‎（Ⅱ）若，,求的面积.‎ ‎(17)（本小题14分）‎ 如图，在四棱锥中，平面，，，，为中点，________ ，求证：四边形是直角梯形，并求直线与平面所成角的正弦值. ‎ 从①；②平面这两个条件中选一个，补充在上面问题中，并完成解答；‎ 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.‎ ‎（18）（本小题14分）‎ 为了认真贯彻落实北京市教委关于做好中小学生延期开学期间“停课不停学”工作要求，各校以教师线上指导帮助和学生居家自主学习相结合的教学模式积极开展工作，并鼓励学生积极开展锻炼身体和课外阅读活动.为了解学生居家自主学习和锻炼身体的情况，从某校高三年级随机抽取了100名学生，获得了他们一天中用于居家自主学习和锻炼身体的总时间分别在（单位：小时）的数据，整理得到的数据绘制成频率分布直方图（如图）.‎ ‎（Ⅰ）由图中数据求的值，并估计从该校高三年级中随机抽取一名学生，这名学生该天居家自主学习和锻炼身体的总时间在的概率；‎ ‎（Ⅱ）为了进一步了解学生该天锻炼身体的情况，现从抽取的100名学生该天居家自主学习和锻炼身体的总时间在和的人中任选3人，求其中在的人数的分布列和数学期望；‎ ‎（III）假设同一时间段中的每个数据可用该时间段的中点值代替，试估计样本中的100名学生该天居家自主学习和锻炼身体总时间的平均数在哪个时间段？（只需写出结论）‎ ‎（19）（本小题15分）‎ 已知椭圆的离心率为，椭圆与轴交于两点(在下方)，且．过点的直线与椭圆交于两点（不与重合）．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程； ‎ ‎（Ⅱ）证明：直线的斜率与直线的斜率乘积为定值．‎ ‎ ‎ ‎（20）（本小题14分） ‎ 已知函数 ‎（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（II）求函数的单调区间；‎ ‎（III）当时，比较与的大小.‎ ‎（21）（本小题14分）‎ 已知有限数列，从数列中选取第项、第项、、第项，顺次排列构成数列，其中，，则称新数列为的长度为的子列．规定：数列的任意一项都是的长度为1的子列．若数列的每一子列的所有项的和都不相同，则称数列为完全数列．‎ 设数列满足.‎ ‎（Ⅰ）判断下面数列的两个子列是否为完全数列，并说明由；‎ ‎ 数列⑴：；数列⑵：．‎ ‎（Ⅱ）数列的子列长度为，且为完全数列，证明：的最大值为6；‎ ‎（Ⅲ）数列的子列长度，且为完全数列，求的最大值．‎ 昌平区2020年高三年级第二次统一练习 ‎ 数学试卷参考答案及评分标准 2020.6‎ 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）‎ 题 号 ‎（1）‎ ‎（2）‎ ‎（3）‎ ‎（4）‎ ‎（5）‎ ‎（6）‎ ‎（7）‎ ‎（8）‎ ‎（9）‎ ‎（10）‎ 答 案 B D C A B Ｃ Ａ A C B 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）‎ ‎ （11） （12） 　 （13） ‎ ‎（14） ； （15）①②‎ ‎（注：第14题第一空3分,第二空2分；第15题全部选对得5分，不选或有错选得分，其他得3分.）‎ 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎（16）（本小题满分14分）‎ 解：（Ⅰ）在中，由正弦定理，‎ 因为，‎ 所以 ……………..2分 因为，‎ 所以 ‎ 所以 ……………..4分 因为，‎ 所以. ……………..6分 ‎（Ⅱ）因为，，由余弦定理可得 ‎ . ……………..8分 ‎ 所以 ……………..12分 ‎ 所以. ……………..14分 ‎（17）（本小题满分14分）‎ 解1；选择①‎ 因为平面， ‎ 所以，. ……………..1分 因为，‎ 所以.‎ 因为，‎ 所以.‎ 所以. …………….4分 因为，‎ 所以平面. …………….6分 所以.‎ 因为，‎ 所以. …………….7分 所以四边形是直角梯形.‎ 解2；选择②‎ 因为平面， ‎ 所以，. ……………..1分 因为，‎ 所以.‎ 因为，‎ 所以.‎ 所以.…………….4分 因为，‎ 所以平面. ‎ 所以. …………….6分 因为平面，平面，平面平面，‎ 所以. ‎ 所以四边形是直角梯形. …………….7分 过作的垂线交于点.‎ 因为平面，‎ 所以. …………….8分 如图建立空间直角坐标系. …………….9分 则.‎ 因为为中点，‎ 所以. ‎ 所以. …………….10分 设平面的法向量为，则 即 …………….11分 令则.‎ 于是. …………….12分 设直线与平面所成的角为，‎ 所以. ‎ 所以直线与平面所成角的正弦值为. …………….14分 ‎(18)（本小题满分14分）‎ 解：（Ⅰ）因为，‎ ‎ 所以. …………….2分 因为，‎ 所以居家自主学习和锻炼身体总时间该天在的学生有人. …….3分 所以从该校高三年级中随机抽取一名学生，这名学生该天居家自主学习和锻炼身体总时间在的概率为. …………….5分 ‎（Ⅱ）由图中数据可知该天居家自主学习和锻炼身体总时间在和的人分别有5人和3人. …………….6分 ‎ 所以的所有可能取值为0,1,2,3. …………….7分 ‎， ,‎ ‎，. …………….9分 所以的分布列为 所以的期望. ………….11分 ‎（III）样本中的100名学生该天居家自主学习和锻炼身体总时间的平均数在. ‎ ‎ …14分 ‎ (19)（本小题满分15分）‎ 解：（Ⅰ）由题意得解得 …………….3分 即椭圆的方程为． …………….5分 ‎（Ⅱ）法一 由题意，直线的斜率存在.‎ ‎ 当时，直线的方程为.‎ 代入椭圆方程有.‎ ‎ 则.‎ ‎ 所以 ‎ 所以 …………….8分 当时，则直线的方程为． ‎ 由，得. …………….9分 设，，‎ 则． …………10分 又，‎ 所以，. …………….11分 因为 即直线的斜率与直线的斜率乘积为定值． …………….15分 法二 设直线的斜率为，则直线的方程为． …………….6分 由，得. …………….7分 设，，‎ 则． …………….9分 又，‎ 所以，. …………….11分 因为 即直线的斜率与直线的斜率乘积为定值． …………….15分 ‎ (20)（本小题满分14分）‎ 解：（Ⅰ）当时，‎ ‎ 因为， …………….1分 所以. …………….2分 所以曲线在点处的切线方程为. …………….4分 ‎（II）定义域为.‎ 因为 ①当时，恒成立.‎ ‎ 所以函数在上单调递增. …………….5分 ②当时，恒成立.‎ 所以函数在上单调递增. …………….6分 ③当时，令，则或. …………….7分 所以当时，或；‎ ‎ 当时，. …………….8分 所以函数在和上单调递增，‎ ‎ 在上单调递减. …………….9分 综上可知，当时，函数在上单调递增；‎ 当时，函数在和上单调递增，‎ 在上单调递减.‎ ‎ ‎ ‎（III）法一：由（Ⅱ）可知， ‎ ‎（1）当时，函数在上单调递增；‎ 所以当时，‎ 因为，‎ 所以. …………….10分 ‎（2）当时，函数在和上单调递增，‎ 在上单调递减.‎ ①当，即时，.‎ ‎ 所以当时， ‎ 函数在上单调递减，上单调递增，‎ ‎ ‎ ‎ 所以. …………….11分 ②当，即时，.‎ ‎ 由上可知，‎ ‎ 因为，‎ ‎ 设.‎ ‎ 因为，‎ ‎ 所以在上单调递增.‎ ‎ 所以.‎ ‎ 所以 ‎ 所以. …………….13分 ‎ ③当，即时，.‎ ‎ 因为函数在上单调递减，‎ ‎ 所以当时，.‎ ‎ 所以. ‎ 综上可知，当时，. …………….14分 ‎（III）法二：‎ 因为，‎ ‎ ①当时，‎ 因为，‎ 所以.‎ 所以. ……………10分 ②当时，‎ 因为，‎ 所以.‎ 所以.. 11分 设.‎ 因为， ‎ 所以当时，或，‎ ‎ 当时，. …………….12分 所以在上单调递减，在上单调递增. ……………13分 所以.‎ 所以当时，. …………….14分 ‎ (21)（本小题满分14分）‎ 解：（Ⅰ）数列⑴不是的完全数列；数列⑵是的完全数列． …………….2分 ‎ 理由如下：‎ ‎ 数列⑴：中，因为，所以数列⑴不是的完全数列；‎ ‎ 数列⑵：中，所有项的和都不相等，数列⑵是的完全数列．….4分 ‎（Ⅱ）假设数列长度为，不妨设，各项为．‎ 考虑数列的长度为的所有子列，一共有个．‎ 记数列的长度为的所有子列中，各个子列的所有项之和的最小值为，最大值为.‎ 所以，．‎ 所以其中必有两个子列的所有项之和相同．‎ 所以假设不成立． ‎ 再考虑长度为6的子列：12，18，21，23，24，25，满足题意.‎ 所以子列的最大长度为6． …………….9分 ‎（Ⅲ）数列的子列长度，且为完全数列，且各项为 ‎．‎ ‎ 所以，由题意得，这5项中任意项之和不小于．‎ 即对于任意的，有，‎ ‎ 即.‎ 对于任意的， ，‎ 设（），则数列的前项和．‎ ‎ 下面证明：．‎ 因为 ‎，‎ 所以，当且仅当 时，等号成立．‎ 所以的最大值为． …………….14分