2013年湖南常德中考数学试卷及答案(解析版)

2013年湖南常德中考数学试卷及答案(解析版)

‎2013年湖南省常德市中考数学试卷 一．填空题 （本大题8个小题 ，每小题3分满分24分）‎ ‎1.(2013湖南常德，1，3)-4的相反数是 .‎ ‎【答案】4‎ ‎2. (2013湖南常德，2，3)打开百度搜索栏，输入“数学学习方法”，百度为你找到的相关信息有12 000 000条.请用科学记数法表示12 000 000= .‎ ‎【答案】‎ ‎3. (2013湖南常德，3，3)因式分解=_______.‎ ‎【答案】‎ ‎4. (2013湖南常德，4，3)如图1，已知a∥b分别相交于点E、F，若∠1=30，则∠2=_______.‎ ‎【答案】30°‎ ‎5. (2013湖南常德，5，3)请写一个图象在第二，第四象限的反比例函数解析式：_________.‎ ‎【答案】答案不唯一，如 ‎6. (2013湖南常德，6，3)如图2，已知⊙O是△ABC的外接圆，若∠BOC=100°，则∠BAC=___‎ ‎【答案】50°‎ ‎7. (2013湖南常德，7，3)分式方程的解为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎8. (2013湖南常德，8，3)小明在做数学题时，发现下面有趣的结果：‎ 根据以上规律可知第100行左起第一个数是_________.‎ ‎【答案】10200‎ 二．选择题（本大题8个小题，每个小题3分，满分24分）‎ ‎9. (2013湖南常德，9，3)在图3中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）‎ ‎【答案】B ‎10. (2013湖南常德，10，3)函数中自变量的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎11. (2013湖南常德，11，3)小伟5次引体向上的测试成绩（单位：个）分别为：16，18，20，18，18，对此成绩描述错误的是（ ）‎ A. 平均数为18 B. 众数为‎18 ‎‎ C. 方差为0 D. 极差为4‎ ‎【答案】C ‎12. (2013湖南常德，12，3)下面计算正确的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎13. (2013湖南常德，13，3)下列一元二次方程中无实数解的方程是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎14. (2013湖南常德，14，3)计算的结果为（ ）‎ A. -1 B. ‎1 C. D. 7‎ ‎【答案】B ‎15. (2013湖南常德，15，3)如图4，将方形纸片ABCD折叠，使边DC落在对角线AC上，折痕为CE，且D点落在D′ 处，若AB=3，AD=4,则ED的长为（ ）‎ A. B. ‎3 C. 1 D. ‎ ‎【答案】A ‎16. (2013湖南常德，16，3)连接一个几何图形上任意两点间的线段中，最长的线段称为这个几何图形的直径，根据此定义，图5（扇形、菱形、直角梯形、红十字图标）中“直径” 最小的是（ ）‎ ‎【答案】C 三．（本大题2个小题，每个小题5分，满分10分）‎ ‎17. (2013湖南常德，17，5)计算：‎ ‎【答案】‎ ‎18. (2013湖南常德，18，5)求不等式组的正整数解.‎ ‎【答案】解：由不等式①得 由不等式②得 则不等式组的解集为 ‎∴此不等式组的正整数解为1，2，3，4.‎ 四．（本大题2个小题，每个小题6分，满分12分）‎ ‎19. (2013湖南常德，19，6)先化简再求值：，其中 ‎【答案】‎ 当时，原式=‎ 五．（本大题2个小题，每个小题7分，满分14分）‎ ‎20. (2013湖南常德，20，6)某书店参加某校读书活动，并为每班准备了A，B两套名著，赠予各班甲、乙两名优秀读者，以资鼓励，。某班决定采用游戏方式发放，其规则如下：将三张除了数字为了2，5，6不同外其余均相同的扑克牌，数字朝下随机平铺于桌面，从中任取2张，若牌面数字之和为偶数，则甲获A名著；若牌面数字之和为奇数，则乙获A名著。你认为此规则合理吗？为什么？‎ ‎【答案】解：我认为此规则不合理，因为依题意可知，则乙获得A名著的概率大些，所以此规则不合理。‎ ‎21. (2013湖南常德，21，7)某地为改善生态环境，积极开展植树造林，甲、乙两人从近几年的统计数据中有如下发现：‎ 防护林的面积y2(万亩)与年份x（x≥2010）成一次函数关系，且2010年时，防护林的面积有4200万亩，到2012年时，达4230万亩.‎ 该地公益林的面积y1(万亩)与年份x（x≥2010）满足y1=5x-1250.‎ 乙： ‎ 甲： ‎ ‎(1)求y2与x之间的函数关系式？‎ ‎(2)若上述关系不变，试计算哪一年该地公益林面积可达防护林面积的2倍？这时候该地公益林的面积为多少万亩？‎ ‎【答案】解：(1)设y2与x之间的函数关系式为y2=kx+b,依题意得 ‎ ，解得 ‎ ∴y2与x之间的函数关系式为y2=15x-25950‎ ‎(2)依题意可得5x-1250=2（15x-25950）‎ 解得，x =2026‎ 当x =2026时，y1=8880‎ 答：2026年该地公益林面积可达防护林面积的2倍，这时候该地公益林的面积为8880万亩.‎ ‎22. (2013湖南常德，22，7)如图6，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是BC边上的中线，∠C=45°，,AD=1.‎ (1) 求BC的长；‎ (2) 求tan∠DAE的值.‎ ‎【答案】解：（1）∵AD是BC边上的高，‎ ‎∴AD⊥BC,‎ 在Rt△ABD中，‎ ‎∵,又AD=1，‎ ‎∴AB=3，‎ ‎∴ ‎ 在Rt△ADC中，‎ ‎∵∠C=45°，‎ ‎∴CD=AD=1‎ ‎∴‎ ‎(2)∵AE是BC边上的中线，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 六．（本大题2个小题，每个小题8分，满分16分）‎ ‎23. (2013湖南常德，23，8)网络购物发展十分迅速，某企业有4000名职工，从中随机抽取350人，按年龄分布和对网上购物所持态度情况进行了调查，并将调查结果分别绘成了条形图7和扇形图8‎ （1） 这次调查中，如果职工年龄的中位数是整数，那么这个中位数所在的年龄段是哪一段？‎ （2） 如果把对网络购物所持态度中的“经常（网购）”和“偶尔（网购）”统称为“参与网购”，那么这次接受调查的职工中“参与网购”的人数是多少？‎ （3） 这次调查中，“25－35”岁年龄段的职工“从不（网购）”的有22人，它占“25－35”岁年龄段接受调查人数的百分之几？‎ （4） 请估计该企业“从不（网购）”的人数是多少？‎ ‎【答案】解：（1）职工年龄的中位数在“25－35”岁年龄段；‎ ‎ （2）350×（40％+22％）=217（人）‎ ‎ ∴这次接受调查的职工中“参与网购”的有217人.‎ ‎ (3)22÷110=20％‎ ‎ ∴这次调查中，“25－‎35”‎岁年龄段的职工“从不（网购）”的占20％‎ ‎ （4）4000×（1-40％-22％）=1520（人）‎ ‎ ∴估计该企业“从不（网购）”的有1520人 ‎24. (2013湖南常德，24，8)如图9，已知⊙O是等腰直角三角形ADE的外接圆，∠ADE=90°，延长ED到C，使DC=AD，以AD，DC为邻边作正方形ABCD，连接AC，连接BE交AC于点H.‎ 求证:（1）AC是⊙O的切线；‎ ‎ （2）HC=2AH.‎ ‎【答案】证明：（1）∵在等腰直角三角形ADE中，‎ ‎ ∠EAD=45°，‎ ‎ 又 ∵AC是正方形ABCD的对角线，‎ ‎ ∴∠DAC =45°，‎ ‎ ∴∠EAC=∠EAD+∠DAC =45°+45°=90°，‎ ‎ 又点A在⊙O上，‎ ‎ ∴AC是⊙O的切线.‎ ‎（2）∵在正方形ABCD中，AD=DC=AB,‎ ‎ 在等腰直角三角形ADE中，AD=ED ‎ ∴EC=2AB ‎∵AB∥DC ‎∴△ABH∽△CEH ‎∴=2‎ ‎∴HC=2AH 七．（本大题2个小题，每个小题10分，满分20分）‎ ‎25. (2013湖南常德，25，10)如图10，已知二次函数的图象过点A(0，-3)，B（），对称轴为直线，点P是抛物线上的一动点，过点P分别作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，在四边形PMON上分别截取 ‎（1）求此二次函数的解析式； ‎ ‎（2）求证：以C，D，E，F为顶点的四边形CDEF是平行四边形；‎ ‎（3）在抛物线上是否存在这样的点P，使四边形CDEF为矩形？若存在，请求出所有符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】‎ ‎【答案】（1）解：设抛物线的解析式为,则有 ‎，‎ 解得，‎ ‎∴此抛物线的解析式为 ‎（2）证明：如图10-1，连接CD，DE，EF，FC ‎∵PM⊥x轴于，PN⊥y轴，‎ ‎∴四边形OMPN是矩形.‎ ‎∴MP=ON，OM=PN 又 ‎∴PC=OE，PF=OD，‎ 又∠CPF=∠EOD ‎∴△CPF≌△EOD，‎ ‎∴CF=ED，‎ 同理，CD=EF ‎∴四边形CDEF是平行四边形.‎ 图10-1 ‎ ‎（3）如图10-1，作CQ⊥y轴于点Q，设P点坐标为 则 ‎∴‎ ‎∴在Rt△ECQ中，‎ 当CD⊥DE，时 ‎26. (2013湖南常德，26，10)已知两个共顶点的等腰三角形Rt△ABC，Rt△CEF，∠ABC=∠CEF=90°，连接AF，M是AF的中点，连接MB，ME.‎ ‎⑴如图11，当CB与CE在同一直线上时，求证MB∥CF；‎ ‎⑵在图11中，若AB=a，CE=2a，求BM，ME的长；‎ ‎⑶如图12，当∠BCE=45°时，求证：BM=ME.‎ ‎【答案】⑴证明：连接CM，‎ ‎∵△ABC与△CEF是等腰直角三角形，‎ ‎∴∠ACF=2×45°=90°，‎ 又点是AF的中点，‎ ‎∴‎ 又AB=CB，‎ BM=BM ‎∴△ABM≌△CBM ‎∴‎ ‎∵CM=MF ‎∴∠3=∠4‎ ‎∴∠AMC=2∠3‎ ‎∴∠1=∠3‎ ‎∴BM∥CF ‎⑵解：如图11-1，‎ ‎∵CM=FM CE=FE EM=EM ‎∴△CEM≌△FEM ‎∴‎ 又由⑴可知BM∥CF ‎∴∠EBM=∠ECF=45°‎ ‎∴△EBM是等腰直角三角形 ‎∵AB=a，CE=‎2a，‎ ‎∴BE=2a－a=a ‎∴‎ ‎⑶方法一，证明：如图12-1，延长BM交CF于点D，连接BE，DE ‎∵∠BCE=45°，‎ ‎∴∠BCF=∠BCE+∠ECF=45°+45°=90°‎ 又∠ABC=90°‎ ‎∴∠ABC=∠BCF ‎∴AB∥CF ‎∴∠1=∠2，‎ ‎∠ABM=∠FDM 又AM=FM ‎∴△ABM≌△FDM ‎∴AB=DF ‎∴BC=DF 又∠BCE=∠DFE=45°‎ CE=FE ‎∴△BCE≌△DFE ‎∴∠3=∠4‎ ‎∴∠BED=∠3+∠CED=∠4+∠CED=90°‎ 又由△ABM≌△FDM可知BM=DM，‎ ‎∴EM是Rt△BED我们斜边BD的中线 ‎∴BM=ME 方法二，证明：如图12-2延长CB交FE的延长线于点P，延长AB交CE于点Q，连接AP，FQ ‎∵∠ACB=∠BCA+∠BCE=45°+45°=90°‎ 又∠CAB=45°‎ ‎∴△ACQ是等腰直角三角形 ‎∵CB平分∠ACQ，‎ ‎∴CB是AQ边的中线 即点B是AQ的中点，‎ 又M是AF的中点 ‎∴BM是△AFQ的中位线，‎ ‎∴‎ 同理△FCP是等腰直角三角形 且 ‎∵AC=QC ‎∠ACP=∠QCF=45°‎ CP=CF ‎∴△ACP≌△QCF ‎∴AP=QF ‎∴BM=ME