2020高中数学 第一章 解三角形 1
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1.1.2 余弦定理
学习目标：1.掌握余弦定理及其推论．(重点).2.掌握正、余弦定理的综合应用．(重点).3.
能应用余弦定理判断三角形的形状．(易错点)
[自 主 预 习·探 新 知]
1．余弦定理
文字
表述
三角形中任何一边的平方等于其它两边的平方的和减去这两边与它们
的夹角的余弦的积的两倍
公式
表达
a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accos_B，c2＝a2＋b2－2abcos_C
变形 cos A＝b2＋c2－a2
2bc
；cos B＝a2＋c2－b2
2ac
；cos C＝a2＋b2－c2
2ab
.
思考：在△ABC 中，若 a2
a2＋b2⇔C 为钝角；c2b2＋c2，则△ABC 一定为钝角三角形．( )
(3)在△ABC 中，已知两边和其夹角时，△ABC 不唯一．( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)×
提示：由余弦定理可知，已知△ABC 的两边和其夹角时，第三边是唯一确定的，所以△ABC
是唯一的，(3)错误．
2．在△ABC 中，已知 a＝4，b＝6，C＝120°，则边 c＝________.
【导学号：91432030】
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2 19 [根据余弦定理 c2＝a2＋b2－2abcos C＝16＋36－2×4×6×cos 120°＝76，c＝2 19.]
3．在△ABC 中，a＝1，b＝ 3，c＝2，则 B＝________.
60° [cos B＝c2＋a2－b2
2ac
＝4＋1－3
4
＝1
2
，B＝60°.]
4．在△ABC 中，若 a2＝b2＋bc＋c2，则 A＝________.
【导学号：91432031】
120° [∵a2＝b2＋bc＋c2，
∴b2＋c2－a2＝－bc，
∴cos A＝b2＋c2－a2
2bc
＝－bc
2bc
＝－1
2
，
又∵A 为△ABC 的内角，
∴A＝120°.]
5．以下说法正确的是________(填序号)．
①在三角形中，已知两边及一边的对角，可用正弦定理解三角形，但不能用余弦定理去解；
②余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此，它适应于任何三角形；
③利用余弦定理，可解决已知三角形三边求角问题；
④在三角形中，勾股定理是余弦定理的一个特例．
②③④ [①错误．由正、余弦定理的特征可知在三角形中，已知两边及一边的对角，既可
以用正弦定理，也可以用余弦定理求解．
②正确．余弦定理反映了任意三角形的边角关系，它适合于任何三角形．
③正确．结合余弦定理公式及三角函数知识可知正确．
④正确．余弦定理可以看作勾股定理的推广．]
[合 作 探 究·攻 重 难]
已知两边与一角解三角形
在△ABC 中，已知 b＝3，c＝3 3，B＝30°，求角 A，角 C 和边 a.
[解] 法一：由余弦定理 b2＝a2＋c2－2accos B，
得 32＝a2＋(3 3)2－2a×3 3×cos 30°，
∴a2－9a＋18＝0，得 a＝3 或 6.
当 a＝3 时，A＝30°，∴C＝120°.
当 a＝6 时，由正弦定理 sin A＝asin B
b
＝
6×1
2
3
＝1.
∴A＝90°，∴C＝60°.
- 3 -
法二：由 bcsin 30°＝3 3×1
2
＝3 3
2
知本题有两解．
由正弦定理 sin C＝csin B
b
＝
3 3×1
2
3
＝ 3
2
，
∴C＝60°或 120°，当 C＝60°时，A＝90°，
由勾股定理 a＝ b2＋c2＝ 32＋ 3 3 2＝6，
当 C＝120°时，A＝30°，△ABC 为等腰三角形，
∴a＝3.
[规律方法] 已知三角形的两边及一角解三角形的方法,先利用余弦定理求出第三边，其余
角的求解有两种思路：一是利用余弦定理的推论求出其余角；二是利用正弦定理(已知两边和一
边的对角)求解.
若用正弦定理求解，需对角的取值进行取舍，而用余弦定理就不存在这些问题(在(0，π)上，
余弦值所对角的值是唯一的)，故用余弦定理求解较好.
[跟踪训练]
1．在△ABC 中，a＝2 3，c＝ 6＋ 2，B＝45°，解这个三角形.
【导学号：91432032】
[解] 根据余弦定理得，
b2＝a2＋c2－2accos B＝(2 3)2＋( 6＋ 2)2－2×2 3×( 6＋ 2)×cos 45°＝8，∴b＝2 2.
又∵cos A＝b2＋c2－a2
2bc
＝8＋ 6＋ 2 2－ 2 3 2
2×2 2× 6＋ 2
＝1
2
，
∴A＝60°，C＝180°－(A＋B)＝75°.
已知三边解三角形
已知△ABC 中，a∶b∶c＝2∶ 6∶( 3＋1)，求△ABC 的各角的大小．
思路探究：已知三角形三边的比，可设出三边的长，从而问题转化为已知三边求三角，可利
用余弦定理求解．
[解] 设 a＝2k，b＝ 6k，c＝( 3＋1)k(k>0)，
利用余弦定理，
有 cosA＝b2＋c2－a2
2bc
＝6k2＋ 3＋1 2k2－4k2
2 6 3＋1 k2
＝ 2
2
，
∴∠A＝45°.同理可得 cos B＝1
2
，∠B＝60°.
∴∠C＝180°－∠A－∠B＝75°.
[规律方法]
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(1)已知三边求角的基本思路是：利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正，角为
锐角；值为负，角为钝角，其思路清晰，结果唯一．
(2)若已知三角形的三边的关系或比例关系，常根据边的关系直接代入化简或利用比例性质，
转化为已知三边求解．
[跟踪训练]
2．在△ABC 中，已知 a＝7，b＝3，c＝5，求最大角和 sin C.
【导学号：91432033】
[解] ∵a>c>b，∴A 为最大角，
由余弦定理的推论，得：
cos A＝b2＋c2－a2
2bc
＝32＋52－72
2×3×5
＝－1
2
，
∴A＝120°，∴sin A＝sin 120°＝ 3
2
.
由正弦定理 a
sin A
＝ c
sin C
，得：
sin C＝csin A
a
＝
5× 3
2
7
＝5 3
14
，
∴最大角 A 为 120°，sin C＝5 3
14
.
正、余弦定理的综合应用
[探究问题]
1．在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 a2＝b2＋c2，则 sin2A＝sin2B＋sin2C
成立吗？反之说法正确吗？为什么？
提示：设△ABC 的外接圆半径为 R.
由正弦定理的变形，将 a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，代入 a2＝b2＋c2 可得 sin2A
＝sin2B＋sin2C.反之将 sin A＝ a
2R
，sin B＝ b
2R
，sin C＝ c
2R
代入 sin2A＝sin2B＋sin2C 可得 a2＝b2
＋c2.因此，这两种说法均正确．
2．在△ABC 中，若 c2＝a2＋b2，则 C＝π
2
成立吗？反之若 C＝π
2
，则 c2＝a2＋b2 成立吗？为什
么？
提示：因为 c2＝a2＋b2，所以 a2＋b2－c2＝0，由余弦定理的变形 cos C＝a2＋b2－c2
2ab
＝0，即 cos
- 5 -
C＝0，所以 C＝π
2
，反之若 C＝π
2
，则 cos C＝0，即a2＋b2－c2
2ab
＝0，所以 a2＋b2－c2＝0，即 c2＝
a2＋b2.
在△ABC 中，若(a－c·cos B)·sin B＝(b－c·cos A)·sin A，判断△ABC 的形状.
【导学号：91432034】
思路探究：
[解] 法一：(角化边)∵(a－c·cos B)·sin B＝(b－c·cos A)·sin A，
∴由正、余弦定理可得：
a－c·a2＋c2－b2
2ac ·b＝
b－c·b2＋c2－a2
2bc ·a，
整理得：(a2＋b2－c2)b2＝(a2＋b2－c2)a2，
即(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，
∴a2＋b2－c2＝0 或 a2＝b2.
∴a2＋b2＝c2 或 a＝b.
故△ABC 为直角三角形或等腰三角形．
法二：(边化角)根据正弦定理，原等式可化为：
(sin A－sin Ccos B)sin B＝(sin B－sin Ccos A)sin A，
即 sin Ccos Bsin B＝sin Ccos Asin A.
∵sin C≠0，
∴sin Bcos B＝sin Acos A.
∴sin 2B＝sin 2A.
∴2B＝2A 或 2B＋2A＝π，
即 A＝B 或 A＋B＝π
2
.
∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形．
母题探究：1.(变条件)将例题中的条件“(a－ccos B)·sin B＝(b－ccos A)·sin A”换为
“acos A＋bcos B＝ccos C”其它条件不变，试判断三角形的形状．
[解] 由余弦定理知 cos A＝b2＋c2－a2
2bc
，cos B＝c2＋a2－b2
2ca
，cos C＝a2＋b2－c2
2ab
，代入已知
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条件得 a·b2＋c2－a2
2bc
＋b·c2＋a2－b2
2ca
＋c·c2－a2－b2
2ab
＝0，通分得 a2(b2＋c2－a2)＋b2(a2＋c2－b2)
＋c2(c2－a2－b2)＝0，展开整理得(a2－b2)2＝c4.∴a2－b2＝±c2，即 a2＝b2＋c2 或 b2＝a2＋c2.
根据勾股定理知△ABC 是直角三角形．
2．(变条件)将例题中的条件“(a－ccos B)·sin B＝(b－ccos A)·sin A”换为“lg a－
lg c＝lgsin B＝－lg 2且 B 为锐角”判断△ABC 的形状．
[解] 由 lgsin B＝－lg 2＝lg 2
2
，
可得 sin B＝ 2
2
，又 B 为锐角，∴B＝45°.
由 lg a－lg c＝－lg 2，得a
c
＝ 2
2
，∴c＝ 2a.
又∵b2＝a2＋c2－2accos B，
∴b2＝a2＋2a2－2 2a2× 2
2
＝a2，
∴a＝b，即 A＝B.又 B＝45°，
∴△ABC 为等腰直角三角形．
[规律方法] 判断三角形的形状应围绕三角形的边角关系进行思考，可用正、余弦定理将已
知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等方式得出边的相应关系，从而判断三角形的形状，
也可利用正、余弦定理将已知条件转化为角与角之间的关系，通过三角变换，得出三角形各内角
之间的关系，从而判断三角形形状.
[当 堂 达 标·固 双 基]
1．已知 a，b，c 是△ABC 的三边长，若满足等式(a＋b－c)·(a＋b＋c)＝ab，则角 C 的大小
为( )
A．60° B．90°
C．120° D．150°
C [由(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，得(a＋b)2－c2＝ab，
∴c2＝a2＋b2＋ab＝a2＋b2－2abcos C，
∴cos C＝－1
2
，∴C＝120°.]
2．在△ABC 中，a＝7，b＝4 3，c＝ 13，则△ABC 的最小角为( )
【导学号：91432035】
A.π
3
B.π
6
- 7 -
C.π
4
D.π
12
B [ 由 三 角 形 边 角 关 系 可 知 ， 角 C 为 △ABC 的 最 小 角 ， 则 cosC ＝ a2＋b2－c2
2ab
＝
72＋ 4 3 2－ 13 2
2×7×4 3
＝ 3
2
，所以 C＝π
6
，故选 B.]
3．在△ABC 中，若 a＝2bcosC，则△ABC 的形状为________．
等腰三角形 [法一：∵a＝2bcos C＝2b·a2＋b2－c2
2ab
＝a2＋b2－c2
a
，
∴a2＝a2＋b2－c2，即 b2＝c2，b＝c，
∴△ABC 为等腰三角形．
法二：∵a＝2bcos C，∴sin A＝2sin Bcos C，
而 sinA＝sin(B＋C)
＝sin Bcos C＋cos Bsin C，
∴cos Bsin C＝sin Bcos C，
即 sin Bcos C－cos Bsin C＝0，
∴sin(B－C)＝0.
又－180°
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