2021版高考数学一轮复习大题规范满分练六苏教版
大题规范满分练(六)统计与概率综合问题
1.(2018·全国卷Ⅰ)某工厂的某种产品成箱包装,每箱200件,每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验,如检验出不合格品,则更换为合格品,检验时,先从这箱产品中任取20件作检验,再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验,设每件产品为不合格品的概率都为p,且各件产品是否为不合格品相互独立.
(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f,求f的最大值点p0.
(2)现对一箱产品检验了20件,结果恰有2件不合格品,以(1)中确定的p0作为p的值.已知每件产品的检验费用为2元,若有不合格品进入用户手中,则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.
①若不对该箱余下的产品作检验,这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X,求E(X);
②以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据,是否该对这箱余下的所有产品作检验?
【解析】(1)20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)=p2(1-p)18.
因此f′(p)=[2p(1-p)18-18p2(1-p)17]=2p(1-p)17(1-10p)(0
0;
当p∈(0.1,1)时,f′(p)<0.
所以f(p)的最大值点为p0=0.1.
(2)由(1)知,p=0.1.
①令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数,依题意知Y～B(180,0.1),X=20×2+25Y,即X=40+25Y.
所以E(X)=E(40+25Y)=40+25E(Y)=490.
②如果对余下的产品作检验,则这一箱产品所需要的检验费为400元.由于E(X)>400,故应该对余下的所有产品作检验.
2.共享单车是指由企业在校园、公交站点、商业区、公共服务区等场所提供的自行车单车共享服务,由于其依托“互联网+”,符合“低碳出行”的理念,已越来越多地引起了人们的关注.某部门为了对该城市共享单车加强监管,随机选取了50人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查,并将问卷中的这50人根据其满意度评分值(百分制)按照
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[50,60),[60,70),…,[90,100]分成5组,请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图(如图所示)来解决下列问题:
频率分布表
组别
分组
频数
频率
第1组
[50,60)
8
0.16
第2组
[60,70)
a
■
第3组
[70,80)
20
0.40
第4组
[80,90)
■
0.08
第5组
[90,100]
2
b
合计
■
■
(1)求出a,b,x的值.
(2)若在满意度评分值为[80,100]的人中随机抽取2人进行座谈,设所抽取的2人中来自第5组的人数记为ξ,求ξ的分布列和数学期望.
【解析】(1)由题意可知,=,解得b=0.04;所以[80,90)内的频数为2×2=4,所以样本容量n==50,a=50-8-20-4-2=16;
又[60,70)内的频率为=0.32,
所以x==0.032.
(2)由题意可知,第4组共有4人,第5组共有2人,所以随机变量ξ的可能取值为0,1,2,
P(ξ=0)==,P(ξ=1)==,
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P(ξ=2)==.
所以ξ的分布列为:
ξ
0
1
2
P
所以E(ξ)=0×+1×+2×=.
3.2018年2月22日上午,山东省省委、省政府在济南召开山东省全面展开新旧动能转换重大工程动员大会,会议动员各方力量,迅速全面展开新旧动能转换重大工程.某企业响应号召,对现有设备进行改造,为了分析设备改造前、后的效果,现从设备改造前、后生产的大量产品中各抽取了200件产品作为样本,检测一项质量指标值,若该项质量指标值落在[20,40)内,则产品视为合格品,否则视为不合格品.如图是设备改造前样本的频率分布直方图,如表是设备改造后样本的频数分布表.
设备改造前样本频率分布直方图
设备改造后样本的频数分布表
质量
指标值
[15,
20)
[20,
25)
[25,
30)
[30,
35)
[35,
40)
[40,
45]
频数
4
36
96
28
32
4
(1)完成下面的2×2列联表,并判断能否有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关.
设备改造前
设备改造后
总计
合格品
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不合格品
总计
(2)根据频率分布直方图和频数分布表提供的数据,试从产品合格率的角度对改造前、后设备的优劣进行比较.
(3)企业将不合格品全部销毁后,根据客户需求对合格品进行等级细分,质量指标值落在[25,30)内的定为一等品,每件售价240元;质量指标值落在[20,25)或[30,35)内的定为二等品,每件售价180元;其他的合格品定为三等品,每件售价120元,根据频数分布表,用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频率代替从所有产品中抽到一件相应等级产品的概率.现有一名顾客随机购买两件产品,设其支付的费用为X(单位:元),求X的分布列和数学期望.
【解析】(1)2×2列联表如下:
设备改造前
设备改造后
合计
合格品
172
192
364
不合格品
28
8
36
合计
200
200
400
将2×2列联表中的数据代入公式计算,得
χ2=≈12.210.
因为12.210>6.635.
所以有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关.
(2)根据频率分布直方图可知,设备改造前产品为合格品的概率约为=,
根据频数分布表可知,设备改造后产品为合格品的概率约为=.
显然设备改造后产品合格率更高,
因此,设备改造后性能更优.
(3)由频数分布表知,一等品的频率为,
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即从所有产品中随机抽到一件一等品的概率为;
二等品的频率为,即从所有产品中随机抽到一件二等品的概率为;
三等品的频率为,即从所有产品中随机抽到一件三等品的概率为.
由已知,得随机变量X所有可能的取值为240,300,360,420,480.
P(X=240)=×=,
P(X=300)=××=,
P(X=360)=××+×=,
P(X=420)=××=,
P(X=480)=×=.
所以,随机变量X的分布列为
X
240
300
360
420
480
P
故随机变量X的数学期望E(X)=240×+300×+360×+420×+480×=400.
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