数学（理）卷·2018届四川省绵阳市高三第一次诊断性考试（2017

数学（理）卷·2018届四川省绵阳市高三第一次诊断性考试（2017

绵阳市高中2015级第一次诊断性考试 数学（理工类）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．设集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．若，且，则下列不等式成立的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．已知向量，，若，则（ ）‎ A． B．2 C． D． ‎ ‎4．若，则（ ）‎ A． B． C．3 D．‎ ‎5．某单位为鼓励职工节约用水，作出如下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米3元收费；用水超过10立方米的，超过的部分按每立方米5元收费.某职工某月缴水费55元，则该职工这个月实际用水为（ ）立方米.‎ A．13 B．14 C．15 D．16‎ ‎6．已知命题，使得；命题，若，则.下列命题为真命题的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．在中，“”是“”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎8．已知函数图象的最高点与相邻最低点的距离是 ‎，若将的图象向右平移个单位得到的图象，则函数图象的一条对称轴方程是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．已知，给出以下结论：‎ ‎①；②；③；④.‎ 则其中正确的结论个数是（ ）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎10．已知是函数的零点，是函数的零点，且满足，则实数的最小值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．已知，且满足，如果存在两条互相垂直的直线与函数的图象都相切，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．若存在实数，使得关于的不等式（其中为自然对数的底数）成立，则实数的取值集合为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．已知变量满足约束条件，则的最小值是 ．‎ ‎14．已知偶函数在上单调递减，且，若，则的取值范围是 ．‎ ‎15．在中，，，，过点作，垂足为，若点满足，则 ．‎ ‎16．已知数列的首项，其前项和满足，则 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） ‎ ‎17．在中，，是边上一点，且，.‎ ‎（1）求的大小；‎ ‎（2）若，求的面积.‎ ‎18．已知是公差大于0的等差数列的前项和，，且成等比数列，记数列的前项和为.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若对于任意的，恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎19．若函数的部分图象如下图所示.‎ ‎（1）设，且，求的值；‎ ‎（2）若，且的最大值为，求实数的值.‎ ‎20．已知函数恰有三个极值点，且.‎ ‎（1）求的取值范围；‎ ‎（2）求的取值范围.‎ ‎21．已知函数，且.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）求证：当时，.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．‎ ‎22．选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，曲线的参数方程是（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系.‎ ‎（1）求曲线的极坐标方程；‎ ‎（2）设，，若与曲线分别交于异于原点的两点，求的面积.‎ ‎23．选修4-5：不等式选讲 已知函数.‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）记的最小值是，正实数满足，求的最小值.‎ 绵阳市高2015级第一次诊断性考试 数学(理工类)参考解答及评分标准 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．‎ ‎ DCDAC BACBD BC 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．3 14． 15． 16．3935‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分． ‎ ‎17．解：（Ⅰ）△ABD中，由正弦定理，‎ 得， …………………………………………4分 ‎∴ ，‎ ‎∴ ． ……………………………………………………6分 ‎(Ⅱ)由（Ⅰ）知，∠BAD=∠BDA=，故AB=BD=2．‎ 在△ACD中，由余弦定理：，‎ 即， ……………………………………8分 整理得CD2+6CD-40=0，解得CD=-10（舍去），CD=4，………………10分 ‎∴ BC=BD+CD=4+2=6．‎ ‎∴ S△ABC=．……………………12分 ‎18．解：（Ⅰ）设{an}的公差为d(d>0)，‎ 由S3=15有‎3a1+=15，化简得a1+d=5，① ………………………2分 又∵ a1，a4，a13成等比数列，‎ ‎∴ a42=a‎1a13，即(a1+3d)2=a1(a1+12d)，化简得3d=‎2a1，② ……………4分 联立①②解得a1=3，d=2，‎ ‎∴ an=3+2(n-1)=2n+1． ……………………………………………………5分 ‎∴ ，‎ ‎∴ ．‎ ‎ ……………………………………………………7分 ‎(Ⅱ) ∵ +11，即，‎ ‎∴ ，………………9分 又≥6 ，当且仅当n=3时，等号成立，‎ ‎∴ ≥162， ……………………………………………………11分 ‎∴ ． ……………………………………………………………………12分 ‎19． 解 ：（Ⅰ）由图得，． …………………………………………………1分 ‎，解得，‎ 于是由T=，得．…………………………………………………2分 ‎∵ ，即，‎ ‎∴ ，即，k∈Z，又，故，‎ ‎∴ ． ……………………………………………………3分 由已知，即，‎ 因为，所以，‎ ‎∴ ． ‎ ‎∴‎ ‎=‎ ‎=． ………………………………………………………6分 ‎(Ⅱ)由（Ⅰ）知，‎ ‎ =‎ ‎ =‎ ‎  =，…………………8分 ‎∵ x∈，于是0≤≤，‎ ‎∴ 0≤≤1．………………………………………………………9分 ‎①当时，当且仅当=0时，取得最大值1，与已知不符．‎ ‎②当0≤≤1时，当且仅当=时，取得最大值，‎ 由已知得=，解得．‎ ‎③当>1时，当且仅当=1时，取得最大值4-1，‎ 由已知得4-1=，解得=，矛盾．‎ 综上所述，．……………………………………………………………12分 ‎20．解：（Ⅰ）．‎ 由题知方程=0恰有三个实数根，‎ 整理得．………………………………………………………………1分 令，则，‎ 由解得，由解得或，‎ ‎∴ 在上单调递增，在上单调递减．………3分 于是当x=0时，取得极小值，‎ 当x=2时，取得极大值． ………………………………5分 且当时，；当时，，‎ ‎∴ ．…………………………………………………………………6分 ‎(Ⅱ)由题意，=0的三个根为，且，‎ ‎∴ 00，对求导可得．‎ 由解得，由解得0<，‎ ‎∴ 在(0， )上单调递减，在(，+∞)上单调递增，‎ ‎∴ min==1-a． ………………………………………………4分 ‎∴ 要使≥0恒成立，则须使1-a≥0成立，即≤恒成立．‎ 两边取对数得，≤ln，整理得lna+-1≤0，即须此式成立．‎ 令lna+-1，则，‎ 显然当01时，>0，‎ 于是函数在(0，1)上单调递减，在(1，+∞)单调递增，‎ ‎∴ min=0，‎ 即当且仅当a=1时，min==0，≥0恒成立，‎ ‎∴ 满足条件．‎ 综上，a=1．……………………………………………………………………6分 ‎(Ⅱ)由（Ⅰ）知x>1时，>0，即>恒成立． ‎ 令(n∈N)，即>，‎ 即， …………………………………………………8分 同理，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎， …………………………………………………10分 将上式左右相加得： ‎ ‎ ‎ ‎．‎ ‎……………………………………12分 ‎22．解：（Ⅰ）将C的参数方程化为普通方程为(x-3)2+(y-4)2=25，‎ 即x2+y2-6x-8y=0． ……………………………………………………………2分 ‎∴ C的极坐标方程为． …………………………………4分 ‎（Ⅱ）把代入，得，‎ ‎∴ ． ……………………………………………………………6分 把代入，得，‎ ‎∴ ． ……………………………………………………………8分 ‎∴ S△AOB ‎． ……………………………………………………10分 ‎23．解：（Ⅰ）当x≤时，f(x)=-2-4x，‎ 由f(x)≥6解得x≤-2，综合得x≤-2，………………………………………2分 ‎ 当时，f(x)=4，显然f(x)≥6不成立，……………………………3分 ‎ 当x≥时，f(x)=4x+2，由f(x)≥6解得x≥1，综合得x≥1， ……………4分 所以f(x)≥6的解集是．…………………………………5分 ‎（Ⅱ）=|2x-1|+|2x+3|≥，‎ 即的最小值m=4． ………………………………………………………7分 ‎∵ ≤， …………………………………………………………8分 由可得≤， ‎ 解得≥，‎ ‎∴ 的最小值为．………………………………………………10分