高二数学上学期期中试题理(5)

高二数学上学期期中试题理(5)

- 1 - 黑龙江省××市第一高级中学 2018-2019 学年高二数学上学期期中试 题 理 一、选择题 1.如果抛物线的顶点在原点，对称轴为 x 轴，焦点为 (4,0) ，那么抛物线的方程是（ ） A． 2 16y x  B． 2 12y x C． 2 16y x D． 2 12y x  2. 已知圆C 的圆心坐标为(2,-3),且点(-1,-1)在圆上,则圆C 的方程为( ) A. 2 2 4 6 8 0x y x y     B. 2 2 4 6 8 0x y x y     C. 2 2 4 6 0x y x y    D. 2 2 4 6 0x y x y    3．圆的参数方程为 4cos 4sin x y      ，( 为参数， 0 2   )，若 Q(－2，2 3)是圆上一点， 则对应的参数 的值是( ) A. 3  B. 2 3  C. 4 3  D. 5 3  4.以下四个命题中，正确的是（ ） A 若 1 1 2 3OP OA OB    ,则 , ,P A B 三点共线 B 若 , ,a b c    为空间的一个基底，则 , ,a b b c c a        构成空间的另一个基底 C | ( ) | | | | | | |a b c a b c         D ABC 为直角三角形的充要条件是 0AB AC    5．设 1 2,F F 分别是双曲线 2 2 19 yx   的左、右焦点．若点 P 在双曲线上，且 1| | 5PF  ， 2| |PF ＝（ ） A．5 B．3 C．7 D．3 或 7 6．已知椭圆 2 2 125 9 x y  ， 1 2,F F 分别为其左、右焦点，椭圆上一点 M 到 1F 的距离是 2， N 是 1MF 的中点，则| |ON 的长为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．双曲线 2 2 2 2 1x y a b   （ 0, 0a b  ）的焦距为 4，一个顶点是抛物线 2 4y x 的焦点，则双 - 2 - 曲线的离心率 e 等于（ ） A．2 B． 3 C．3 2 D． 2 8．已知点 )0,2(A ， )0,2(B ，直线 PBPA, 相交于点 P ，且它们的斜率之积为 4 3 .则动点 P 的轨迹方程为（ ） A. 2 2 1( 2)4 3 x y x    B. 2 2 1( 3)4 3 x y y    C. 2 2 14 3 x y  D. 2 2 1( 2)3 4 x y y    9.若点 O 和点 F 分别为椭圆 2 2 14 3 x y  的中心和左焦点，点 P 为椭圆上的任意一点，则 OP FP  的最大值为（ ） A． 2 B．3 C．6 D．8 10.若直线 4mx ny  和圆 2 2 4x y  没有交点，则过点 ( , )m n 的直线与椭圆 2 2 19 4 x y  的 交点的个数（ ） A. 至多一个 B. 2 C. 1 D. 0 11. 已知直线 : ( 2) 0l y k x k  ，( )与抛物线 C： 2y 8x 相交于 A、B 两点，F 为 C 的焦点， 若| | 2 | |FA FB ，则 k  ( ) A． 1 3 B． 2 3 C． 2 3 D． 2 2 3 12．双曲线 2 2 2 2 1x y a b   （ 0, 0a b  ）的左、右焦点分别为 1 2,F F ，过 1F 作圆 2 2 2x y a  的 切线交双曲线的左、右支分别于点 B、C，且|BC|=|CF2|，则双曲线的渐近线方程为（ ） A． 3y x  B． 2 2y x  C． (1 3)y x   D. ( 3 1)y x   二、填空题 - 3 - 13.点 C 的极坐标是 (2, )4  ,则点 C 的直角坐标为 14.若 (2, 3,1)a   ， (2,0,3)b  ， (0,2,2)c  ，则 ( )a b c     15.已知| | 1a  ，| | 2b  ， 0, 60a b   ，则 2| ( 2 ) |5a a b     16.已知抛物线 2: 2 ( 0)C x py p  ，作直线 : 6 8l y x  ，与抛物线C 交于 ,A B 两点，O 为 坐标原点且 0OA OB   ，并且已知动圆 P 的圆心在抛物线C 上，且过定点 (0,4)D ，若动圆 P 与 x 轴交于 ,E F 两点，且| | | |DE DF ，则 | | | | DE DF 的最小值为 三、解答题（10 分+12 分+12 分+12 分+12 分+12 分） 17. 经过点 M（2,1）作直线 l 交椭圆 1416 22  yx 于 A,B 两点，且 M 为 AB 的中点，求直线 l 的方程。 18.已知直线l 的参数方程为 13 2 32 2 x t y t       (t 为参数)，曲线 C 的参数方程为 4cos 4sin x y      ( 为参数)． (1)将曲线 C 的参数方程化为普通方程； (2)若直线l 与曲线 C 交于 ,A B 两点，求线段 AB 的长． 19.如图，已知直三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， AC BC ，D 为 AB 的中点， 1AC BC BB  ，求证： (1) 1 1BC AB ； (2) 1BC ∥平面 1CA D 。 20.在极坐标系中，曲线 1C 的方程为 2 2 3 1 2sin    ，以极点为原点，极轴为 x 轴的正半轴 - 4 - 建立平面直角坐标系，曲线 2C 的方程为         ty tx 2 1 2 32 （t 为参数）. （1）求曲线 1C 的参数方程和曲线 2C 的普通方程； （2）求曲线 1C 上的点到曲线 2C 的距离的最大值. 21.已知抛物线 C ： )0(22  ppxy 的焦点 (1,0)F ， O 为坐标原点， ,A B 是抛物线C 上异 于O 的两点。 （1）求抛物线 C 的方程； （2）若 OBOA  ,求证：直线 AB 过定点。 22.已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b     的离心率为 6 3 ，短轴长为 2 2 ，右焦点为 F (1) 求 椭圆C 的标准方程；(2) 若直线l 经过点 (3, )M t 且与椭圆C 有且仅有一个公共点 P ，过点 P 作直线 PF 交椭圆于另一点Q ①证明：当直线OM 与直线 PQ 的斜率 OMk ， PQk 均存在时， OMk . PQk 为定值；②求 PQM 面积的最小值。 - 5 - 理科数学试题答案 一、选择题 CDBBD DAACB DC 二、填空题 13. 14. 3 15. 16. 三、解答题 17. 18.解：(1)由曲线 C： x＝4cos θ， y＝4sin θ 得 x2＋y2＝16， 所以曲线 C 的普通方程为 x2＋y2＝16. (2)将 3 代入 x2＋y2＝16， 整理，得 t2＋3t－9＝0. 设 A，B 对应的参数为 t1，t2，则 t1＋t2＝－3，t1t2＝－9. |AB|＝|t1－t2|＝＝3. 19.证明：如图，以 C1 点为原点，C1A1，C1B1，C1C 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直 角坐标系。设 AC＝BC＝BB1＝2，则 A(2,0,2)，B(0,2,2)，C(0,0,2)，A1(2,0,0)，B1(0,2,0)， C1(0,0,0)，D(1,1,2)。 (1)由于 BC1 → ＝(0，－2，－2)， AB1 → ＝(－2,2，－2)， 所以 BC1 → · AB1 → ＝0－4＋4＝0， 因此 BC1 → ⊥ AB1 → ，故 BC1⊥AB1。 (2)连接 A1C，取 A1C 的中点 E，连接 DE，由于 E(1,0,1)，所以 ED →＝(0,1, 1)，又 BC1 → ＝(0， －2，－2)， 所以 ED →＝－ 1 2 BC1 → ，又 ED 和 BC1 不共线， 所以 ED∥BC1，又 DE⊂平面 CA1D， BC1⊄ 平面 CA1D，故 BC1∥平面 CA1D。 - 6 - 20. （1）曲线 的参数方程为 （ 为参数） 曲线 的普通方程为 （2）设曲线 上任意一点 ，点 到 的距离 ∵ ∴ 所以曲线 上的点到曲线 的距离的最大值为 21.（1）依题意知 ， （2） ， 由 ，则 ， 22、解：（1） （2）①证明：由题意知直线 的斜率存在，设直线 的方程为 ，因为点 在 - 7 - 直 线 上 ， 则 ， 联 立 直 线 与 椭 圆 可 得 因 为 直 线 与 椭 圆 只 有 一 个 交 点 ， 所 以 ， 即 ， 由 韦 达 定 理 得 ，又因为 过右焦点 ，则 ,而 ，所以 ② ， ，所以 ，即 ,所以 三 角 形 的 面 积 , ， ， 可 得 方 程 为 ， 与 椭 圆 方 程 联 立 得 ， 则 ， ， ， ，当 时， 面积的最小值 。