数学·山西省三区八所重点中学2017届高三上学期第一次适应性数学试卷（实验班） Word版含解析

数学·山西省三区八所重点中学2017届高三上学期第一次适应性数学试卷（实验班） Word版含解析

‎2016-2017学年山西省三区八所重点中学高三（上）第一次适应性数学试卷（实验班） ‎ ‎　 ‎ 一、单项选择题：本题共12小题，每题5分；共60分． ‎ ‎1．设集合M={x||x|＜1}，N={y|y=2x，x∈M}，则集合∁R（M∩N）等于（　　） ‎ A．（﹣∞，] B．（，1） C．（﹣∞，]∪[1，+∞） D．[1，+∞）‎ ‎2．函数y=+的定义域为（　　） ‎ A．（﹣1，1） B．[﹣1，1） C．（﹣1，1）∪（1，+∞） D．[﹣1，1）∪（1，+∞）‎ ‎3．设a，b，c依次是方程x+sinx=1，x+sinx=2，x+sinx=2的根，并且0＜x＜，则a，b，c的大小关系是（　　） ‎ A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a ‎4．已知a＞0且a≠1，函数y=ax与y=loga（﹣x）的图象可能是（　　） ‎ A． B． C． D．‎ ‎5．已知f（x）是奇函数，当x＜0时，f（x）=x3+x2，则f（2）=（　　） ‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎6．一个圆锥的表面积为π，它的侧面展开图是圆心角为120°的扇形，则该圆锥的高为（　　） ‎ A．1 B． C．2 D．2‎ ‎7．圆C1：x2+y2+2x+2y﹣2=0与圆C2：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0（　　） ‎ A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 ‎8．对于数25，规定第1次操作为23+53=133，第2次操作为13+33+33=55，如此反复操作，则第2011次操作后得到的数是（　　） ‎ A．25 B．250 C．55 D．133‎ ‎9．若向量、、两两所成的角相等，且||=1，||=1，||=3，则|++|等于（　　） ‎ A．2 B．5 C．2或5 D．或 ‎10．已知O、A、M、B为平面上四点，且=λ+（1﹣λ），λ∈（1，2），则（　　） ‎ A．点M在线段AB上 B．点B在线段AM上 ‎ C．点A在线段BM上 D．O、A、M、B四点一定共线 ‎ ‎11．若，α是第三象限的角，则=（　　） ‎ A． B． C．2 D．﹣2‎ ‎12．若f（x）是定义在R上的可导函数，且满足（x﹣1）f′（x）≥0，则必有（　　） ‎ A．f（0）+f（2）＜2f（1） B．f（0）+f（2）＞2f（1） C．f（0）+f（2）≤2f（1） D．f（0）+f（2）≥2f（1）‎ ‎　 ‎ 二、填空题：每题5分，共25分． ‎ ‎13．设p：x＜﹣1或x＞1；q：x＜﹣2或x＞1，则￢p是￢q的　　条件． ‎ ‎14．已知直线l与双曲线x2﹣y2=1交于A、B两点，若线段AB的中点为C（2，1），则直线l的斜率为　　． ‎ ‎15．过三点（3，10），（7，20），（11，24）的线性回归方程是　　． ‎ ‎16．已知函数f（x）=+bx+c在x1处取得极大值，在x2处取得极小值，满足x1∈（﹣1，0），x2∈（0，1），则的取值范围是　　． ‎ ‎　 ‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. ‎ ‎17．在△ABC中，点M是BC的中点，△AMC的三边长是连续的三个正整数，且tan∠C=． ‎ ‎（1）判断△ABC的形状； ‎ ‎（2）求∠BAC的余弦值． ‎ ‎ ‎ ‎18．深圳市某校中学生篮球队假期集训，集训前共有6个篮球，其中3个是新球（即没有用过的球），3个是旧球（即至少用过一次的球）．每次训练，都从中任意取出2个球，用完后放回． ‎ ‎（1）设第一次训练时取到的新球个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望； ‎ ‎（2）求第二次训练时恰好取到一个新球的概率． ‎ ‎19．如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠A1AB=∠A1AC，AB=AC，A1A=A1B=a，侧面B1BCC1与底面ABC所成的二面角为120°，E、F分别是棱B1C1、A1A的中点 ‎ ‎（Ⅰ）求A1A与底面ABC所成的角； ‎ ‎（Ⅱ）证明A1E∥平面B1FC； ‎ ‎（Ⅲ）求经过A1、A、B、C四点的球的体积． ‎ ‎ ‎ ‎20．已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点K（﹣1，0）的直线l与C相交于A、B两点，点A关于x轴的对称点为D． ‎ ‎（Ⅰ）证明：点F在直线BD上； ‎ ‎（Ⅱ）设，求△BDK的内切圆M的方程． ‎ ‎21．已知函数f（x）=ax+xlnx的图象在点x=e（e为自然对数的底数）处的切线斜率为3． ‎ ‎（1）求实数a的值； ‎ ‎（2）若k∈Z，且对任意x＞1恒成立，求k的最大值； ‎ ‎（3）当n＞m≥4时，证明（mnn）m＞（nmm）n． ‎ ‎　 ‎ 请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号后方的方框涂黑[选修4-1：几何证明选讲] ‎ ‎22．如图所示，已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C，过点B作两圆的割线，分别交⊙O1、⊙O2于点D、E，DE与AC相交于点P． ‎ ‎（Ⅰ）求证：AD∥EC； ‎ ‎（Ⅱ）若AD是⊙O2的切线，且PA=6，PC=2，BD=9，求AD的长． ‎ ‎ ‎ ‎　 ‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程] ‎ ‎23．在极坐标系中曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣cosθ=0，点．以极点O为原点，以极轴为x轴正半轴建立直角坐标系．斜率为﹣1的直线l过点M，且与曲线C交于A，B两点． ‎ ‎（Ⅰ）求出曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程； ‎ ‎（Ⅱ）求点M到A，B两点的距离之积． ‎ ‎　 ‎ ‎[选修4-5：不等式选讲] ‎ ‎24．选修4﹣5：不等式选讲 ‎ 设不等式|2x﹣1|＜1的解集为M，且a∈M，b∈M． ‎ ‎（Ⅰ） 试比较ab+1与a+b的大小； ‎ ‎（Ⅱ） 设maxA表示数集A中的最大数，且h=max{，， }，求h的范围． ‎ ‎　 ‎ ‎ ‎ ‎2016-2017学年山西省三区八所重点中学高三（上）第一次适应性数学试卷（实验班） ‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎　 ‎ 一、单项选择题：本题共12小题，每题5分；共60分． ‎ ‎1．设集合M={x||x|＜1}，N={y|y=2x，x∈M}，则集合∁R（M∩N）等于（　　） ‎ A．（﹣∞，] B．（，1） C．（﹣∞，]∪[1，+∞） D．[1，+∞）‎ ‎【考点】交、并、补集的混合运算． ‎ ‎【分析】先求出集合M，N，再根据集合的交集个补集计算即可 ‎ ‎【解答】解：∵集合M={x||x|＜1}，N={y|y=2x，x∈M}， ‎ ‎∴M=（﹣1，1），N=（﹣，2）， ‎ ‎∴M∩N=（﹣，1） ‎ ‎∴∁R（M∩N）=（﹣∞，]∪[1，+∞） ‎ 故选：C ‎ ‎【点评】本题考查了集合的交集和补集的运算，属于基础题 ‎ ‎　 ‎ ‎2．函数y=+的定义域为（　　） ‎ A．（﹣1，1） B．[﹣1，1） C．（﹣1，1）∪（1，+∞） D．[﹣1，1）∪（1，+∞）‎ ‎【考点】函数的定义域及其求法． ‎ ‎【分析】由根式内部的代数式大于等于0且分式的分母不等于0联立不等式组求解x的取值集合得答案． ‎ ‎【解答】解：要使函数有意义，则， ‎ 解得x≥﹣1且x≠1， ‎ ‎∴函数的定义域为{x|x≥﹣1且x≠1}，也即[﹣1，1）∪（1，+∞）． ‎ 故答案为：D ‎ ‎【点评】本题考查了函数的定义域及其求法，是基础的计算题． ‎ ‎　 ‎ ‎3．设a，b，c依次是方程x+sinx=1，x+sinx=2，x+sinx=2的根，并且0＜x＜，则a，b，c的大小关系是（　　） ‎ A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a ‎【考点】正弦函数的图象． ‎ ‎【分析】利用三角函数的性质，即可求解． ‎ ‎【解答】解：先比较a，b ‎ ‎∵a=1﹣sina，a∈（0，）， ‎ ‎∴0＜a＜1 ‎ b=2﹣sinb，b∈（0，）， ‎ ‎∴1＜b＜2 ‎ 所以a＜b ‎ 函数y=x+sinx与y=x+sinx都是单调增函数，前者在后者的上方，所以b＜c ‎ 所以a＜b＜c ‎ 故选：A． ‎ ‎【点评】本题考查三角函数的性质，考查学生的计算能力，属于基础题． ‎ ‎　 ‎ ‎4．已知a＞0且a≠1，函数y=ax与y=loga（﹣x）的图象可能是（　　） ‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】函数的图象． ‎ ‎【分析】根据a的取值分两种情况考虑：当0＜a＜1时，根据指数函数的图象与性质得到y=ax为减函数，即图象下降，且恒过（0，1），而对数函数为增函数，即图象上升，且恒过（﹣1，0），但是四个选项中的图象没有符合这些条件；当a＞1时，同理判断发现只有选项B的图象满足题意，进而得到正确的选项为B． ‎ ‎【解答】解：若0＜a＜1，曲线y=ax函数图象下降，即为减函数，且函数图象过（0，1）， ‎ 而曲线y=loga﹣x函数图象上升，即为增函数，且函数图象过（﹣1，0）， ‎ 以上图象均不符号这些条件； ‎ 若a＞1，则曲线y=ax上升，即为增函数，且函数图象过（0，1）， ‎ 而函数y=loga﹣x下降，即为减函数，且函数图象过（﹣1，0），只有选项B满足条件． ‎ 故选B ‎ ‎【点评】此题考查了指数函数及对数函数的图象与性质．这类题的做法一般是根据底数a的取值分情况，根据函数图象与性质分别讨论，采用数形结合的数学思想，得到正确的选项．学生做题时注意对数函数y=loga﹣x的图象与对数函数y=logax的图象关于y轴对称． ‎ ‎　 ‎ ‎5．已知f（x）是奇函数，当x＜0时，f（x）=x3+x2，则f（2）=（　　） ‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎【考点】函数奇偶性的性质． ‎ ‎【分析】由奇函数性质得：当x＞0时，f（x）=x3﹣x2，由此能求出f（2）的值． ‎ ‎【解答】解：∵f（x）是奇函数，当x＜0时，f（x）=x3+x2， ‎ ‎∴当x＞0时，f（x）=x3﹣x2， ‎ ‎∴f（2）=23﹣22=4． ‎ 故选：C． ‎ ‎【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用． ‎ ‎　 ‎ ‎6．一个圆锥的表面积为π，它的侧面展开图是圆心角为120°的扇形，则该圆锥的高为（　　） ‎ A．1 B． C．2 D．2‎ ‎【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）． ‎ ‎【分析】设圆锥的底面半径为r，结合圆锥的表面积为π，它的侧面展开图是圆心角为120°的扇形，求出圆锥和母线，进而根据勾股定理可得圆锥的高． ‎ ‎【解答】解：设圆锥的底面半径为r， ‎ ‎∵它的侧面展开图是圆心角为120°的扇形， ‎ ‎∴圆锥的母线长为3r， ‎ 又∵圆锥的表面积为π， ‎ ‎∴πr（r+3r）=π， ‎ 解得：r=，l=， ‎ 故圆锥的高h==， ‎ 故选：B ‎ ‎【点评】本题考查的知识点是旋转体，熟练掌握圆锥的几何特征是解答的关键． ‎ ‎　 ‎ ‎7．圆C1：x2+y2+2x+2y﹣2=0与圆C2：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0（　　） ‎ A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 ‎【考点】圆与圆的位置关系及其判定． ‎ ‎【分析】求出圆心距与半径和与差的关系，判断即可． ‎ ‎【解答】解：圆的圆心（﹣1，﹣1），半径为：2； ‎ 圆的圆心（2，1），半径为2， ‎ 圆心距为： =∈（0，4）． ‎ 所以两个圆的位置关系是相交． ‎ 故选：C． ‎ ‎【点评】本题考查两个圆的位置关系的判断，是基础题． ‎ ‎　 ‎ ‎8．对于数25，规定第1次操作为23+53=133，第2次操作为13+33+33=55，如此反复操作，则第2011次操作后得到的数是（　　） ‎ A．25 B．250 C．55 D．133‎ ‎【考点】归纳推理． ‎ ‎【分析】第1次操作为23+53=133，第2次操作为13+33+33=55，第3次操作为53+53=250，第4次操作为23+53+03=133，所以操作结果，以3为周期，循环出现，由此可得第2011次操作后得到的数． ‎ ‎【解答】解：第1次操作为23+53=133，第2次操作为13+33+33=55，第3次操作为53+53=250，第4次操作为23+53+03=133， ‎ ‎∴操作结果，以3为周期，循环出现， ‎ ‎∵2011=3×670+1， ‎ ‎∴第2011次操作后得到的数与第1次操作后得到的数相同， ‎ ‎∴第2011次操作后得到的数是133， ‎ 故选D． ‎ ‎【点评】本题考查合情推理，考查学生的阅读能力，解题的关键是得出操作结果，以3为周期，循环出现． ‎ ‎　 ‎ ‎9．若向量、、两两所成的角相等，且||=1，||=1，||=3，则|++|等于（　　） ‎ A．2 B．5 C．2或5 D．或 ‎【考点】平面向量数量积的运算． ‎ ‎【分析】设向量所成的角为α，则先求出的值即可求出， ‎ ‎【解答】解：由向量、、两两所成的角相等，设向量所成的角为α，由题意可知α=0°或α=120° ‎ 则=+++2（++）=11+2（||||cosα+||||cosα+||||cosα）=11+14cosα ‎ 所以当α=0°时，原式=5； ‎ 当α=120°时，原式=2． ‎ 故选C ‎ ‎【点评】考查学生会计算平面向量的数量积，灵活运用=||||cosα的公式． ‎ ‎　 ‎ ‎10．已知O、A、M、B为平面上四点，且=λ+（1﹣λ），λ∈（1，2），则（　　） ‎ A．点M在线段AB上 B．点B在线段AM上 ‎ C．点A在线段BM上 D．O、A、M、B四点一定共线 ‎ ‎【考点】平行向量与共线向量；向量的线性运算性质及几何意义． ‎ ‎【分析】将已知等式变形，利用向量的运算法则得到，利用向量共线的充要条件得到两个向量共线，得到三点共线，据λ∈（1，2），得到点B在线段AM上． ‎ ‎【解答】解：∵ ‎ ‎∴ ‎ 即 ‎ ‎∴ ‎ ‎∴A，M，B共线 ‎ ‎∵λ∈（1，2） ‎ ‎∴点B在线段AM上 ‎ 故选B ‎ ‎【点评】本题考查向量的运算法则、向量共线的充要条件、利用向量共线解决三点共线． ‎ ‎　 ‎ ‎11．若，α是第三象限的角，则=（　　） ‎ A． B． C．2 D．﹣2‎ ‎【考点】半角的三角函数；弦切互化． ‎ ‎【分析】将欲求式中的正切化成正余弦，还要注意条件中的角α与待求式中角的差别，注意消除它们之间的不同． ‎ ‎【解答】解：由，α是第三象限的角， ‎ ‎∴可得， ‎ 则， ‎ 应选A． ‎ ‎【点评】本题主要考查三角恒等变换中的倍角公式的灵活运用、同角的三角函数关系等知识以及相应的运算能力． ‎ ‎　 ‎ ‎12．若f（x）是定义在R上的可导函数，且满足（x﹣1）f′（x）≥0，则必有（　　） ‎ A．f（0）+f（2）＜2f（1） B．f（0）+f（2）＞2f（1） C．f（0）+f（2）≤2f（1） D．f（0）+f（2）≥2f（1）‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性． ‎ ‎【分析】对x分段讨论，解不等式求出f′（x）的符号，判断出f（x）的单调性，利用函数的单调性比较出函数值f（0），f（2）与f（1）的大小关系，利用不等式的性质得到选项． ‎ ‎【解答】解：∵（x﹣1）f'（x）≥0 ‎ ‎∴x＞1时，f′（x）≥0；x＜1时，f′（x）≤0 ‎ ‎∴f（x）在（1，+∞）为增函数；在（﹣∞，1）上为减函数 ‎ ‎∴f（2）≥f（1） ‎ ‎ f（0）≥f（1） ‎ ‎∴f（0）+f（2）≥2f（1） ‎ 故选D． ‎ ‎【点评】利用导函数的符号能判断函数的单调性，当导函数大于0则函数递增；当导函数小于0则函数单调递减． ‎ ‎　 ‎ 二、填空题：每题5分，共25分． ‎ ‎13．设p：x＜﹣1或x＞1；q：x＜﹣2或x＞1，则￢p是￢q的　充分不必要　条件． ‎ ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断． ‎ ‎【分析】求出￢p：﹣1≤x≤1，￢q：﹣2≤x≤1，根据充分必要条件的定义可判断． ‎ ‎【解答】解：∵p：x＜﹣1或x＞1；q：x＜﹣2或x＞1， ‎ ‎∴￢p：﹣1≤x≤1，￢q：﹣2≤x≤1， ‎ 根据充分必要条件的定义可判断： ‎ ‎￢p是￢q的充分不必要条件， ‎ 故答案为：充分不必要． ‎ ‎【点评】本题考察了命题的否定，充分必要条件的定义，属于容易题． ‎ ‎　 ‎ ‎14．已知直线l与双曲线x2﹣y2=1交于A、B两点，若线段AB的中点为C（2，1），则直线l的斜率为　2　． ‎ ‎【考点】双曲线的简单性质． ‎ ‎【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），代入双曲线的方程，运用点差法，结合中点坐标公式和直线的斜率公式，即可得到直线l的斜率． ‎ ‎【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2）， ‎ 可得x12﹣y12=1，x22﹣y22=1， ‎ 两式相减可得，（x1﹣x2）（x1+x2）﹣（y1+y2）（y1﹣y2）=0， ‎ C为AB的中点，即有x1+x2=4，y1+y2=2， ‎ 可得直线AB的斜率为k=2． ‎ 故答案为：2． ‎ ‎【点评】本题考查双曲线的中点弦所在直线的斜率，注意运用点差法，考查运算能力，属于中档题． ‎ ‎　 ‎ ‎15．过三点（3，10），（7，20），（11，24）的线性回归方程是　　． ‎ ‎【考点】线性回归方程． ‎ ‎【分析】根据所给的三对数据，做出y与x的平均数，把所求的平均数代入求 b的公式，做出它的值，再把它代入求a的式子，求出a的值，根据做出的结果，写出线性回归方程． ‎ ‎【解答】解：将给出的数据代入公式求解，可求得： =（3+7+11）=7， ==18， ‎ b==1.75，a=18﹣1.75×7=5.75， ‎ ‎∴所求回归直线方程为． ‎ 故答案为：． ‎ ‎【点评】本题考查线性回归方程的求法，在一组具有相关关系的变量的数据间，利用最小二乘法做出线性回归方程的系数，再代入样本中心点求出a的值，本题是一个基础题． ‎ ‎　 ‎ ‎16．已知函数f（x）=+bx+c在x1处取得极大值，在x2处取得极小值，满足x1∈（﹣1，0），x2∈（0，1），则的取值范围是　（1，3）　． ‎ ‎【考点】利用导数研究函数的极值． ‎ ‎【分析】先求f′（x）=x2+ax+b，这样即可得到x1，x2是方程f′（x）=0的两个实数根，由韦达定理及已知的x1，x2的范围即可求出a，b的范围．而，所以分别求出的范围，这样即可求出的范围，从而求得的取值范围． ‎ ‎【解答】解：f′（x）=x2+ax+b； ‎ 根据极值的概念知，x1，x2是方程f′（x）=0的两个实数根； ‎ ‎∴根据韦达定理得x1+x2=﹣a，x1x2=b； ‎ ‎∵x1∈（﹣1，0），x2∈（0，1）； ‎ ‎∴﹣1＜a＜1，﹣1＜b＜0； ‎ ‎∴1＜a+2＜3，，0＜2b+2＜2； ‎ ‎∴； ‎ ‎∴； ‎ ‎∴； ‎ ‎∴的取值范围是（1，3）． ‎ 故答案为：（1，3）． ‎ ‎【点评】考查极值点的定义，函数在极值点处的导数为0，以及韦达定理，不等式的运算． ‎ ‎　 ‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. ‎ ‎17．在△ABC中，点M是BC的中点，△AMC的三边长是连续的三个正整数，且tan∠C=． ‎ ‎（1）判断△ABC的形状； ‎ ‎（2）求∠BAC的余弦值． ‎ ‎ ‎ ‎【考点】余弦定理；正弦定理． ‎ ‎【分析】（1）假设∠BAM=α，∠MAC=β，根据正弦定理可找到α，β与B，C的正弦之间的关系，进而再由诱导公式可确定α与β的关系． ‎ ‎（2）先设出3个连续的整数，再由勾股定理确定关系，根据余弦定理和二倍角公式可求出角BAC的余弦值． ‎ ‎【解答】（本题满分为12分） ‎ 解：（1）设∠BAM=α，∠MAC=β，则由tanC=cotα，可得α+C=90°， ‎ ‎∴β+B=90°．… ‎ ‎△ABM中，由正弦定理得，即，同理得，… ‎ ‎∵MB=MC， ‎ ‎∴=， ‎ ‎∴sinαsinC=sinβsinB， ‎ ‎∵α+C=90°，β+B=90°， ‎ ‎∴sinαcosα=sinβcosβ，… ‎ 即sin2α=sin2β， ‎ ‎∴α=β，或α+β=90°， ‎ 当α+β=900时，AM=BC=MC，与△AMC的三边长是连续三个正整数矛盾， ‎ ‎∴α=β，∴∠B=∠C， ‎ ‎∴△ABC是等腰三角形．… ‎ ‎（2）在直角三角形AMC中，设两直角边分别为n，n﹣1，斜边为n+1， ‎ 由（n+1）2=n2+（n﹣1）2，得n=4，… ‎ 由余弦定理或二倍角公式得cos∠BAC=，或cos∠BAC=﹣．… ‎ ‎ ‎ ‎【点评】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用．三角函数部分公式比较多，一定要强化记忆，属于中档题． ‎ ‎　 ‎ ‎18．深圳市某校中学生篮球队假期集训，集训前共有6个篮球，其中3个是新球（即没有用过的球），3个是旧球（即至少用过一次的球）．每次训练，都从中任意取出2个球，用完后放回． ‎ ‎（1）设第一次训练时取到的新球个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望； ‎ ‎（2）求第二次训练时恰好取到一个新球的概率． ‎ ‎【考点】离散型随机变量的期望与方差． ‎ ‎【分析】（1）ξ的所有可能取值为0，1，2，设“第一次训练时取到i个新球（即ξ=i）”为事件Ai（i=0，1，2），求出相应的概率，可得ξ的分布列与数学期望； ‎ ‎（2）设“从6个球中任意取出2个球，恰好取到一个新球”为事件B，则“第二次训练时恰好取到一个新球”就是事件A0B+A1B+A2B．而事件A0B、A1B、A2B互斥，由此可得结论． ‎ ‎【解答】解：（1）ξ的所有可能取值为0，1，2 ‎ 设“第一次训练时取到i个新球（即ξ=i）”为事件Ai（i=0，1，2）． ‎ 因为集训前共有6个篮球，其中3个是新球，3个是旧球，所以 ‎ P（A0）=P（ξ=0）==；P（A1）=P（ξ=1）==；P（A2）=P（ξ=2）==， ‎ 所以ξ的分布列为 ‎ ξ 0 1 2‎ P ‎ ξ的数学期望为Eξ=0×+1×+2×=1 ‎ ‎（2）设“从6个球中任意取出2个球，恰好取到一个新球”为事件B， ‎ 则“第二次训练时恰好取到一个新球”就是事件A0B+A1B+A2B，而事件A0B、A1B、A2B互斥， ‎ 所以P（A0B+A1B+A2B）=P（A0B）+P（A1B）+P（A2B）=++==． ‎ ‎【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列与数学期望，确定变量的取值，求出概率是关键． ‎ ‎　 ‎ ‎19．如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠A1AB=∠A1AC，AB=AC，A1A=A1B=a，侧面B1BCC1与底面ABC所成的二面角为120°，E、F分别是棱B1C1、A1A的中点 ‎ ‎（Ⅰ）求A1A与底面ABC所成的角； ‎ ‎（Ⅱ）证明A1E∥平面B1FC； ‎ ‎（Ⅲ）求经过A1、A、B、C四点的球的体积． ‎ ‎ ‎ ‎【考点】棱柱的结构特征． ‎ ‎【分析】（Ⅰ）要求A1A与底面ABC所成的角，先作出直线与平面所成的角，通过解三角形即可． ‎ ‎（Ⅱ）要证明A1E∥平面B1FC，可以在平面B1FC中作出直线FP（P为CB1的中点），证明A1E∥FP即可． ‎ ‎（Ⅲ）求经过A1、A、B、C四点的球的体积，找到球心H，求出球的半径，即可． ‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）过A1作A1H⊥平面ABC，垂足为H． ‎ 连接AH，并延长交BC于G，于是∠A1AH为A1A与底面ABC所成的角． ‎ ‎∵∠A1AB=∠A1AC，∴AG为∠BAC的平分线． ‎ 又∵AB=AC，∴AG⊥BC，且G为BC的中点． ‎ 因此，由三垂线定理A1A⊥BC． ‎ ‎∵A1A∥B1B，且EG∥B1B，∴EG⊥BC． ‎ 于是∠AGE为二面角A﹣BC﹣E的平面角， ‎ 即∠AGE． ‎ 由于四边形A1AGE为平行四边形，得∠A1AG=60°． ‎ ‎ ‎ ‎（Ⅱ）证明：设EG与B1C的交点为P，则点P为EG的中点．连接PF． ‎ 在平行四边形AGEA1中，因F为A1A的中点，故A1E∥FP． ‎ 而FP⊂平面B1FC，A1E⊄平面B1FC，所以A1E∥平面B1FC． ‎ ‎（Ⅲ）连接A1C．在△A1AC和△A1AB中，由于AC=AB，∠A1AB=∠A1AC，A1A=A1A， ‎ 则△A1AC≌△A1AB，故A1C=A1B．由已知得A1A=A1B=A1C=a． ‎ 又∵A1H⊥平面ABC，∴H为△ABC的外心． ‎ 设所求球的球心为O，则O∈A1H，且球心O与A1A中点的连线OF⊥A1A． ‎ 在Rt△A1FO中，A1O===． ‎ 故所求球的半径R=a，球的体积V=πR3=πa3． ‎ ‎ ‎ ‎【点评】本题考查棱柱的结构特征，考查空间想象能力和逻辑思维能力，直线与平面所成的角等有关知识，是难题． ‎ ‎　 ‎ ‎20．已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点K（﹣1，0）的直线l与C相交于A、B两点，点A关于x轴的对称点为D． ‎ ‎（Ⅰ）证明：点F在直线BD上； ‎ ‎（Ⅱ）设，求△BDK的内切圆M的方程． ‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；向量在几何中的应用；恒过定点的直线；圆的标准方程；抛物线的简单性质． ‎ ‎【分析】（Ⅰ）先根据抛物线方程求得焦点坐标，设出过点K的直线L方程代入抛物线方程消去x，设L与C 的交点A（x1，y1），B（x2，y2），根据韦达定理求得y1+y2和y1y2的表达式，进而根据点A求得点D的坐标，进而表示出直线BD和BF的斜率，进而问题转化两斜率相等，进而转化为4x2=y22，依题意可知等式成立进而推断出k1=k2原式得证． ‎ ‎（Ⅱ）首先表示出结果为求得m，进而求得y2﹣y1的值，推知BD的斜率，则BD方程可知，设M为（a，0），M到x=y﹣1和到BD的距离相等，进而求得a和圆的半径，则圆的方程可得． ‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）抛物线C：y2=4x①的焦点为F（1，0）， ‎ 设过点K（﹣1，0）的直线L：x=my﹣1， ‎ 代入①，整理得 ‎ y2﹣4my+4=0， ‎ 设L与C 的交点A（x1，y1），B（x2，y2），则 ‎ y1+y2=4m，y1y2=4， ‎ 点A关于X轴的对称点D为（x1，﹣y1）． ‎ BD的斜率k1===， ‎ BF的斜率k2=． ‎ 要使点F在直线BD上 ‎ 需k1=k2 ‎ 需4（x2﹣1）=y2（y2﹣y1）， ‎ 需4x2=y22， ‎ 上式成立，∴k1=k2， ‎ ‎∴点F在直线BD上． ‎ ‎（Ⅱ）=（x1﹣1，y1）（x2﹣1，y2）=（x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2=（my1﹣2）（my2﹣2）+y1y2=4（m2+1）﹣8m2+4=8﹣4m2=， ‎ ‎∴m2=，m=±． ‎ y2﹣y1==4=， ‎ ‎∴k1=，BD：y=（x﹣1）． ‎ 易知圆心M在x轴上，设为（a，0），M到x=y﹣1和到BD的距离相等，即 ‎ ‎|a+1|×=|（（a﹣1）|×， ‎ ‎∴4|a+1|=5|a﹣1|，﹣1＜a＜1， ‎ 解得a=． ‎ ‎∴半径r=， ‎ ‎∴△BDK的内切圆M的方程为（x﹣）2+y2=． ‎ ‎【点评】本小题为解析几何与平面向量综合的问题，主要考查抛物线的性质、直线与圆的位置关系，直线与抛物线的位置关系、圆的几何性质与圆的方程的求解、平面向量的数量积等知识，考查考生综合运用数学知识进行推理论证的能力、运算能力和解决问题的能力，同时考查了数形结合思想、设而不求思想． ‎ ‎　 ‎ ‎21．已知函数f（x）=ax+xlnx的图象在点x=e（e为自然对数的底数）处的切线斜率为3． ‎ ‎（1）求实数a的值； ‎ ‎（2）若k∈Z，且对任意x＞1恒成立，求k的最大值； ‎ ‎（3）当n＞m≥4时，证明（mnn）m＞（nmm）n． ‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值． ‎ ‎【分析】（1）求出f（x）的导函数，把x=e代入导函数中求出的导函数值即为切线方程的斜率，根据切线斜率为3列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值； ‎ ‎（2）将原来的恒成立问题转化为研究函数的最值问题，研究区间（1，+∞）上的最值问题，先求出函数的极值，研究极值点左右的单调性，最后确定出最小值，从而得出k的最大值． ‎ ‎（3）由（2）知，是[4，+∞）上的增函数，从而有当n＞m≥4时，由此式即可化简得到ln（nmnmm）＞ln（mmnnn． ‎ ‎【解答】（1）解：因为f（x）=ax+xlnx，所以f'（x）=a+lnx+1． ‎ 因为函数f（x）=ax+xlnx的图象在点x=e处的切线斜率为3， ‎ 所以f'（e）=3，即a+lne+1=3． ‎ 所以a=1． ‎ ‎（2）解：由（1）知，f（x）=x+xlnx， ‎ 所以对任意x＞1恒成立，即对任意x＞1恒成立． ‎ 令， ‎ 则， ‎ 令h（x）=x﹣lnx﹣2（x＞1）， ‎ 则， ‎ 所以函数h（x）在（1，+∞）上单调递增． ‎ 因为h（3）=1﹣ln3＜0，h（4）=2﹣2ln2＞0， ‎ 所以方程h（x）=0在（1，+∞）上存在唯一实根x0，且满足x0∈（3，4）． ‎ 当1＜x＜x0时，h（x）＜0，即g'（x）＜0，当x＞x0时，h（x）＞0，即g'（x）＞0， ‎ 所以函数在（1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增． ‎ 所以． ‎ 所以k＜[g（x）]min=x0∈（3，4）． ‎ 故整数k的最大值是3． ‎ ‎（3）证明：由（2）知，是[4，+∞）上的增函数， ‎ 所以当n＞m≥4时，． ‎ 即n（m﹣1）（1+lnn）＞m（n﹣1）（1+lnm）． ‎ 整理，得mnlnn+mlnm＞mnlnm+nlnn+（n﹣m）． ‎ 因为n＞m，所以mnlnn+mlnm＞mnlnm+nlnn． ‎ 即lnnmn+lnmm＞lnmmn+lnnn． ‎ 即ln（nmnmm）＞ln（mmnnn）． ‎ 所以（mnn）m＞（nmm）n． ‎ 证明2：构造函数f（x）=mxlnx+mlnm﹣mxlnm﹣xlnx， ‎ 则f'（x）=（m﹣1）lnx+m﹣1﹣mlnm． ‎ 因为x＞m≥4，所以f'（x）＞（m﹣1）lnm+m﹣1﹣mlnm=m﹣1﹣lnm＞0． ‎ 所以函数f（x）在[m，+∞）上单调递增． ‎ 因为n＞m，所以f（n）＞f（m）． ‎ 所以mnlnn+mlnm﹣mnlnm﹣nlnn＞m2lnm+mlnm﹣m2lnm﹣mlnm=0． ‎ 即mnlnn+mlnm＞mnlnm+nlnn． ‎ 即lnnmn+lnmm＞lnmmn+lnnn． ‎ 即ln（nmnmm）＞ln（mmnnn）． ‎ 所以（mnn）m＞（nmm）n． ‎ ‎【点评】此题考查学生会利用导数求切线上过某点切线方程的斜率，会利用导函数的正负确定函数的单调区间，会利用导数研究函数的极值，掌握导数在最大值、最小值问题中的应用，是一道中档题． ‎ ‎　 ‎ 请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号后方的方框涂黑[选修4-1：几何证明选讲] ‎ ‎22．如图所示，已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C，过点B作两圆的割线，分别交⊙O1、⊙O2于点D、E，DE与AC相交于点P． ‎ ‎（Ⅰ）求证：AD∥EC； ‎ ‎（Ⅱ）若AD是⊙O2的切线，且PA=6，PC=2，BD=9，求AD的长． ‎ ‎ ‎ ‎【考点】圆的切线的性质定理的证明；直线与圆相交的性质；直线与圆的位置关系；与圆有关的比例线段． ‎ ‎【分析】（I）连接AB，根据弦切角等于所夹弧所对的圆周角得到∠BAC=∠D，又根据同弧所对的圆周角相等得到∠BAC=∠E，等量代换得到∠D=∠E，根据内错角相等得到两直线平行即可； ‎ ‎（II）根据切割线定理得到PA2=PBPD，求出PB的长，然后再根据相交弦定理得PAPC=BPPE，求出PE，再根据切割线定理得AD2=DBDE=DB（PB+PE），代入求出即可． ‎ ‎【解答】解：（I）证明：连接AB， ‎ ‎∵AC是⊙O1的切线， ‎ ‎∴∠BAC=∠D， ‎ 又∵∠BAC=∠E， ‎ ‎∴∠D=∠E， ‎ ‎∴AD∥EC． ‎ ‎（II）∵PA是⊙O1的切线，PD是⊙O1的割线， ‎ ‎∴PA2=PBPD， ‎ ‎∴62=PB（PB+9） ‎ ‎∴PB=3， ‎ 在⊙O2中由相交弦定理，得PAPC=BPPE， ‎ ‎∴PE=4， ‎ ‎∵AD是⊙O2的切线，DE是⊙O2的割线， ‎ ‎∴AD2=DBDE=9×16， ‎ ‎∴AD=12 ‎ ‎【点评】此题是一道综合题，要求学生灵活运用直线与圆相切和相交时的性质解决实际问题．本题的突破点是辅助线的连接． ‎ ‎　 ‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程] ‎ ‎23．（2016大东区一模）在极坐标系中曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣cosθ=0，点．以极点O为原点，以极轴为x轴正半轴建立直角坐标系．斜率为﹣1的直线l过点M，且与曲线C交于A，B两点． ‎ ‎（Ⅰ）求出曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程； ‎ ‎（Ⅱ）求点M到A，B两点的距离之积． ‎ ‎【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程． ‎ ‎【分析】（Ⅰ）利用x=ρcosθ，y=ρsinθ，即可得出曲线C的直角坐标方程；直线l的倾斜角为，故直线l的参数方程为（t为参数0． ‎ ‎（Ⅱ）把直线l的参数方程（t为参数）代入曲线C的方程可得，可得点M到A，B两点的距离之积|MA||MB|=|t1||t2|=|t1t2|． ‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）x=ρcosθ，y=ρsinθ， ‎ 由ρsin2θ﹣cosθ=0得ρ2sin2θ=ρcosθ． ‎ ‎∴y2=x即为曲线C的直角坐标方程； ‎ 点M的直角坐标为（0，1）， ‎ 直线l的倾斜角为，故直线l的参数方程为（t为参数）即（t为参数）． ‎ ‎ ‎ ‎（Ⅱ）把直线l的参数方程（t为参数）代入曲线C的方程得，即， ‎ ‎， ‎ 设A、B对应的参数分别为t1、t2，则， ‎ ‎ 又直线l经过点M，故由t的几何意义得 ‎ 点M到A，B两点的距离之积|MA||MB|=|t1||t2|=|t1t2|=2． ‎ ‎【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、直线参数方程的应用、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． ‎ ‎　 ‎ ‎[选修4-5：不等式选讲] ‎ ‎24．（2013春衡水校级月考）选修4﹣5：不等式选讲 ‎ 设不等式|2x﹣1|＜1的解集为M，且a∈M，b∈M． ‎ ‎（Ⅰ） 试比较ab+1与a+b的大小； ‎ ‎（Ⅱ） 设maxA表示数集A中的最大数，且h=max{，， }，求h的范围． ‎ ‎【考点】绝对值不等式的解法；不等式比较大小． ‎ ‎【分析】（1）先解不等式得出其解集M，再利用作差法比较大小即可； ‎ ‎（2）不妨设0＜a≤b＜1，先找出其最大值，进而即可求出其范围． ‎ ‎【解答】解：由不等式|2x﹣1|＜1化为﹣1＜2x﹣1＜1解得0＜x＜1， ‎ ‎∴原不等式的解集M={x|0＜x＜1}， ‎ ‎（Ⅰ）∵a，b∈M，∴0＜a＜1，0＜b＜1． ‎ ‎∴（ab+1）﹣（a+b）=（1﹣a）（1﹣b）＞0， ‎ ‎∴ab+1＞a+b． ‎ ‎（Ⅱ）∵a，b∈M，∴0＜a＜1，0＜b＜1． ‎ 不妨设0＜a≤b＜1，则，∴； ‎ ‎． ‎ 故最大，即＞2． ‎ ‎∴h∈（2，+∞）． ‎ ‎【点评】熟练掌握绝对值不等式的解法、作差法比较数的大小及不等式的基本性质是解题的关键． ‎ ‎　 ‎