河南省洛阳市2019届高三上学期尖子生第一次联考数学（文）试题

河南省洛阳市2019届高三上学期尖子生第一次联考数学（文）试题

洛阳市2018—2019学年上学期尖子生第一次联考 高三数学试题(文科)‎ 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分. 第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共150分，考试时间120分钟. ‎ 第Ⅰ卷(选择题，共60分)‎ 注意事项：‎ ‎1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上. ‎ ‎2. 考试结束，将答题卡交回. ‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. ‎ ‎1. 已知集合，B={x|y=ln(2-x)}，在A∩B=‎ A. (1，3) B. (1，3] C. [-1，2) D. (-1，2)‎ ‎2. 设复数(i为虚数单位)，则z的虚部为 A. -1 B. 1 C. –i D. i ‎3. 为了解学生在课外活动方面的支出情况，抽取了n个同学进行调查，结果显示这些学生的支出金额(单位：元)都在[10，50]，期中支出金额在[30，50]的学生有117人，频率分布直方图如图所示，则n=‎ A. 180 B. 160‎ C. 150 D. 200‎ ‎4. 已知，则 A. B. C. D. ‎ ‎5. 已知实数x，y满足，则的最大值为 A. 3 B. C. 2 D. ‎ ‎6. 已知双曲线(t＞0)的一个焦点与抛物线 的焦点重合，则双曲线的离心率为 A. B. 2 C. 4 D. ‎ ‎7. 已知函数，则的图像大致为 A. B. C. D. ‎ ‎8. 已知菱形ABCD的对角线AC长为2，则 A. 1 B. C. 2 D. ‎ ‎9. 已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎10. 如图，已知边长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1，点E为线段CD1的中点，则直线AE与平面A1BCD1所成角的正切值为 A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎11. 设函数，若方程恰好有三个根，分别为，则的值为 A. B. C. D. ‎ ‎12. 已知函数，则关于x的不等式 的解集为 A. B. ‎ C. D. ‎ 第Ⅱ卷(非选择题，共90分)‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. ‎ ‎13. 已知矩形ABCD的边AB=2， AD=1， 则__________.‎ ‎14. 直线ax-y+3=0与圆相交于A、B两点且， 则a=__________.‎ ‎15. 已知数列的前n项和为，且，则数列的通项公式 ‎__________.‎ ‎16. 已知A，B，C，D四点在半径为的球面上，且AC=BD=4，AD=BC=，AB=CD，则三棱锥D-ABC的体积是__________.‎ 三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17. (本小题满分12分)‎ 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且满足(2a-c)cosB=bcosC，‎ ‎. ‎ ‎(1) 求角B的大小；‎ ‎(2)若△ABC为锐角三角形，求实数的取值范围. ‎ ‎18. (本小题满分12分)‎ 在2018年3月洛阳第二次模拟考试中，某校共有100名文科学生参加考试，其中语文考试成绩低于130的占95%人，数学成绩的频率分布直方图如图:‎ ‎(1)如果成绩不低于130的为特别优秀，这100名学生中本次考试语文、数学成绩特别优秀的大约各多少人？‎ ‎(2)如果语文和数学两科都特别优秀的共有3人. ‎ ‎①从(1)中的这些同学中随机抽取2人，求这两人两科成绩都优秀的概率. ‎ ‎②根据以上数据，完成2×2列联表，并分析是否有99%的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀. ‎ 语文特别优秀 语文不特别优秀 合计 数学特别优秀 数学不特别优秀 合计 参考数据：①；‎ ‎②‎ ‎0.50‎ ‎0.40‎ ‎…‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎0.455‎ ‎0.708‎ ‎…‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎19. (本小题满分12分)‎ 如图，在三棱锥ABC-A1B1C1中，侧面ACC1A1与侧面CBB1C1都是菱形，∠ACC1=∠CC1B1=60°，‎ ‎. ‎ ‎(1)求证：AB1⊥CC1；‎ ‎(2)若，D1为线段A1C1上的点，且三棱锥C-B1C1D1的体积为，求.‎ ‎20. (本小题满分12分)‎ 已知椭圆的左右焦点分别为F1、F2，上顶点为M，若直线MF1的斜率为1，且与椭圆的另一个焦点为N，△F2MN的周长为. ‎ ‎(1)求椭圆的标准方程；‎ ‎(2)过点F1的直线l(直线l的斜率不为1)与椭圆交于P、Q两点，点P在点Q的上方，若，求直线l的斜率. ‎ ‎21. (本小题满分12分)‎ 已知函数. ‎ ‎(1)当a=4时，求曲线在(1，f(1))处的切线方程；‎ ‎(2)若时，，求a的取值范围. ‎ 选考部分：请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号后的方框涂黑. ‎ ‎22. 选修4-4：坐标系与参数方程(10分)‎ 以直角坐标系的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位. 曲线C1的极坐标方程为，曲线C2的参数方程是 ‎（为参数）. ‎ ‎(1)求曲线C1的直角坐标方程及C2的普通方程；‎ ‎(2)已知点，直线l的参数方程为 （t为参数），设直线l与曲线C1相交于M，N两点，求的值. ‎ ‎23. 选修4-5：不等式选讲(10分)‎ 已知函数. ‎ ‎(1)求函数的最小值k；‎ ‎(2)在(1)的结论下，若正实数a，b满足，求证：. ‎ 洛阳市2017—2018学年上学期尖子生第一次联考 高三数学试题(文科)参考答案 一、选择题 ‎1-5 CBABD 6-10 BBCBA 11-12CC 二、填空题 ‎13. 4 14. 1 15. 16. ‎ 三、解答题 ‎17. (1)因为(2a-c)cosB=bcosC，由正弦定理得：(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC，……1分 所以2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC，2sinAcosB=sin(B+C)=sinA， ……3分 因为sinA≠0，所以. ……4分 因为，所以. ……6分 ‎(2)因为，‎ 由正弦定理得：，所以， ……8分 因为，且三角形为锐角三角形， ……10分 所以，所以. ……12分 ‎18. 解：(1)我校共有100名文科学生参加考试，其中语文考试成绩低于130的占95%人，‎ 语文成绩特别优秀的概率为P1=1-0.95=0.05，语文特别优秀的同学有100×0.05=5人，数学成绩特别优秀的概率为P2=0.002×20=0.04，数学成绩特别优秀的同学有100×0.04=4人；‎ ‎……2分 ‎(2)①语文数学两科都优秀的有3人，单科优秀的有3人， ……3分 记两科都优秀的3人分别为A1，A2，A3，单科优秀的3人分别为B1，B2，B3，从中随机抽取2人，共有(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，共15种，其中这两人两科成绩都优秀的有(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3) 3种，则这两人两科成绩邰优秀的概率为： ……7分 ‎②2×2列联表:‎ 语文特别优秀 语文不特别优秀 合计 数学特别优秀 ‎3‎ ‎1‎ ‎4‎ 数学不特别优秀 ‎2‎ ‎94‎ ‎96‎ 合计 ‎5‎ ‎95‎ ‎100‎ ‎ ……10分 ‎∴‎ ‎∴有95%的把握认为语文特别优秀的同学，数学页特别优秀. ……12分 ‎19. 证明：(1)连AC1，CB1，‎ ‎∵在三棱锥ABC-A1B1C1中，侧面ACC1A1与侧面CBB1C1都是菱形，∠ACC1=∠CC1B1=60°，‎ ‎∴△ACC1和△B1CC1皆为正三角形. ……2分 取CC1的中点O，连OA，OB1，则CC1⊥OA，CC1⊥OB1，‎ ‎∵OA∩OB1=O，∴CC1⊥平面OAB1，‎ ‎∵平面OAB1，∴CC1⊥AB1. ……5分 ‎(2)解：∵，‎ ‎∴又(1)知，OA=OB1=3，∴，‎ ‎∴OA⊥OB1，∴OA⊥平面B1C1C， ……8分 ‎，‎ ‎∴， ……10分 ‎∵D1为线段A1C1上的点，且三棱锥C-B1C1D1的体积为，‎ ‎∴， ……11分 ‎∴. ……12分 ‎ ‎20. 解：(1)因为△F1MN的周长为，所以即， ……1分 由直线MF1的斜率1，得，因为，所以b=1，c=1， ……2分 所以椭圆的标准方程为. ……3分 ‎(2)由题意可得直线MF1方程为y=x+1，联立得 解得，所以，因为，即 所以，所以 ……7分 当直线l的斜率为0时，不符合题意. ……8分 故设直线l的方程为x=my-1，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由点P在点Q的上方，‎ 则， ……9分 联立 所以，所以，……10分 消去y1得，，所以，‎ 得，， ……11分 又点P在点Q的上方不符合题意，所以，‎ 故直线l的斜率为. ……12分 ‎21. 解：(1)的定义域为，当a=4时，‎ ‎，， ……1分 ‎∴‎ 曲线在(1，f(1))处的切线方程为 2x+y-2=0 ……3分 ‎(2)当时，等价于 ……4分 设，则，‎ ‎①当a≤2，时，，‎ 故，在上单调递增，因此； ……8分 ‎②当a＞2时，令，得，，‎ 由，和得，‎ 故当时，，在单调递减，‎ 此时，综上a的取值范围是. ……12分 ‎22. 解：(1)因为，所以，‎ 所以 ……2分 因为，所以 ……4分 ‎(2)将直线l的参数方程代入得，‎ 设M，N两点对应的参数为t1，t2，则 ……6分 所以 ‎ ……10分 ‎23. 解：(1)因为 所以函数的最小值为3. ……5分 ‎(2)由(1)知，‎ 因为 所以 所以. ……10分