2018届高三数学一轮复习： 第10章 第9节 课时分层训练66

2018届高三数学一轮复习： 第10章 第9节 课时分层训练66

课时分层训练(六十六)　‎ 离散型随机变量的均值与方差 A组　基础达标 ‎(建议用时：30分钟)‎ 一、选择题 ‎1．已知某一随机变量X的分布列如下，且E(X)＝6.3，则a的值为(　　)‎ X ‎4‎ a ‎9‎ P ‎0.5‎ ‎0.1‎ b A.5　　　　　　　　　　 B.6‎ C．7 D.8‎ C　[由分布列性质知：0.5＋0.1＋b＝1，∴b＝0.4，‎ ‎∴E(X)＝4×0.5＋a·0.1＋9×0.4＝6.3，∴a＝7.]‎ ‎2．设样本数据x1，x2，…，x10的均值和方差分别为1和4，若yi＝xi＋a(a为非零常数，i＝1,2，…，10)，则y1，y2，…，y10的均值和方差分别为(　　)‎ A．1＋a,4 B.1＋a,4＋a C．1,4 D.1,4＋a A　[E(y)＝E(x)＋a＝1＋a，D(y)＝D(x)＝4.]‎ ‎3．某班有14名学生数学成绩优秀，如果从该班随机找出5名学生，其中数学成绩优秀的学生数X～B，则E(2X＋1)＝(　　)‎ A. B. C．3 D. D　[因为X～B，所以E(X)＝，则E(2X＋1)＝2E(X)＋1＝2×＋1＝.]‎ ‎4．已知随机变量X服从二项分布，且E(X)＝2.4，D(X ‎)＝1.44，则二项分布的参数n，p的值为(　　)‎ A．n＝4，p＝0.6 B.n＝6，p＝0.4‎ C．n＝8，p＝0.3 D.n＝24，p＝0.1‎ B　[由二项分布X～B(n，p)及E(X)＝np，D(X)＝np·(1－p)得2.4＝np，且1.44＝np(1－p)，‎ 解得n＝6，p＝0.4.]‎ ‎5．罐中有6个红球，4个白球，从中任取1球，记住颜色后再放回，连续摸取4次，设X为取得红球的次数，则X的方差D(X)的值为(　　)‎ A. B. C. D. B　[因为是有放回地摸球，所以每次摸球(试验)摸得红球(成功)的概率均为，连续摸4次(做4次试验)，X为取得红球(成功)的次数，则X～B，‎ ‎∴D(X)＝4××＝.]‎ 二、填空题 ‎6．(2015·广东高考)已知随机变量X服从二项分布B(n，p)．若E(X)＝30，D(X)＝20，则p＝________.‎ 　[由E(X)＝30，D(X)＝20，‎ 可得解得p＝.]‎ ‎7．(2017·唐山调研)某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为社区志愿者，若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则随机变量ξ的均值E(ξ)＝________(结果用最简分数表示)．‎ 　[随机变量ξ只能取0,1,2三个数，‎ 因为P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，‎ P(ξ＝2)＝＝.‎ 故E(ξ)＝1×＋2×＝.]‎ ‎8．设X为随机变量，X～B，若随机变量X的均值E(X)＝2，则P(X＝2)等于________．‎ ‎ 【导学号：01772426】‎ 　[由X～B，E(X)＝2，得 np＝n＝2，∴n＝6，‎ 则P(X＝2)＝C24＝.]‎ 三、解答题 ‎9．一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图1093所示．‎ 图1093‎ 将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立. ‎ ‎【导学号：01772427】‎ ‎(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；‎ ‎(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列、均值E(X)及方差D(X)．‎ ‎[解]　(1)设A1表示事件“日销售量不低于100个”，A2表示事件“日销售量低于50个”，B表示事件“在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个”，因此 P(A1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6，‎ P(A2)＝0.003×50＝0.15，‎ P(B)＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108.5分 ‎(2)X可能取的值为0,1,2,3，相应的概率为 P(X＝0)＝C·(1－0.6)3＝0.064，‎ P(X＝1)＝C·0.6(1－0.6)2＝0.288，‎ P(X＝2)＝C·0.62(1－0.6)＝0.432，‎ P(X＝3)＝C·0.63＝0.216.8分 因此随机变量X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎0.064‎ ‎0.288‎ ‎0.432‎ ‎0.216‎ 因为X～B(3,0.6)，所以均值E(X)＝3×0.6＝1.8，‎ 方差D(X)＝3×0.6×(1－0.6)＝0.72.12分 ‎10．(2017·广东深圳质检)某校高二年级开设a，b，c，d，e五门选修课，每位同学须彼此独立地选三门课程，其中甲同学必选a课程，不选b课程，另从其余课程中随机任选两门课程．乙、丙两名同学从五门课程中随机任选三门课程．‎ ‎(1)求甲同学选中c课程且乙同学未选中c课程的概率；‎ ‎(2)用X表示甲、乙、丙选中c课程的人数之和，求X的分布列和数学期望. ‎ ‎【导学号：01772428】‎ ‎[解]　(1)设“甲同学选中c课程”为事件A，“乙同学选中c课程”为事件B，依题意P(A)＝＝，P(B)＝＝.2分 ‎(1)因为事件A与B相互独立，所以甲同学选中c课程且乙同学未选中c课程的概率为 P(A)＝P(A)P()＝P(A)[1－P(B)]＝×＝.4分 ‎(2)设事件C为“丙同学选中c课程”．‎ 则P(C)＝＝.5分 X的可能取值为0,1,2,3.‎ P(X＝0)＝P()＝××＝，‎ P(X＝1)＝P(A)＋P(B)＋P(C)‎ ‎＝××＋××＋××＝＝，‎ P(X＝2)＝P(AB)＋P(AC)＋P(BC)‎ ‎＝××＋××＋××＝＝，‎ P(X＝3)＝P(ABC)＝××＝＝，8分 随机变量X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.12分 B组　能力提升 ‎(建议用时：15分钟)‎ ‎1．从装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取5次，设摸得白球数为X，已知E(X)＝3，则D(X)＝(　　)‎ A.　　　　　　　　　　 B. C. D. B　[由题意，X～B.‎ 又E(X)＝＝3，∴m＝2.‎ 则X～B，故D(X)＝5××＝.]‎ ‎2．随机变量ξ的取值为0,1,2.若P(ξ＝0)＝，E(ξ)＝1，则D(ξ)＝________. ‎ ‎【导学号：01772429】‎ 　[设P(ξ＝1)＝a，P(ξ＝2)＝b，‎ 则解得 所以D(ξ)＝＋×0＋×1＝.]‎ ‎3．(2017·泉州模拟)某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．‎ ‎(1)若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X，求X≤3的概率；‎ ‎(2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？‎ ‎[解]　(1)由已知得，小明中奖的概率为，小红中奖的概率为，且两人中奖与否互不影响．‎ 记“这2人的累计得分X≤3”为事件A，‎ 则事件A的对立事件为“X＝5”.2分 因为P(X＝5)＝×＝，‎ 所以P(A)＝1－P(X＝5)＝，‎ 即这2人的累计得分X≤3的概率为.5分 ‎(2)法一：设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为X1，得分为Y1，都选择方案乙抽奖中奖次数为X2，累计得分为Y2，则Y1＝2X1，Y2＝3X2.‎ 由已知可得，X1～B，X2～B，6分 所以E(X1)＝2×＝，‎ E(X2)＝2×＝，‎ 因此E(Y1)＝2E(X1)＝，‎ E(Y2)＝3E(X2)＝.8分 因为E(2X1)＞E(3X2)，即E(Y1)>E(Y2)，‎ 所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的均值较大.12分 法二：依题意，累计得分Y1，Y2的分布列为：‎ Y1‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎4‎ P ‎　‎ Y2‎ ‎0‎ ‎3‎ ‎6‎ P 所以E(Y1)＝0×＋2×＋4×＝，‎ E(Y2)＝0×＋3×＋6×＝.8分 因为E(Y1)>E(Y2)，‎ 所以二人都选择方案甲抽奖，累计得分的均值较大.12分