2018-2019学年四川省成都外国语学校高二12月月考数学（文）试题 解析版

2018-2019学年四川省成都外国语学校高二12月月考数学（文）试题 解析版

绝密★启用前 四川省成都外国语学校2018-2019学年高二12月月考数学（文）试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．设 ，则“”是“”的 ‎ A． 必要但不充分条件 B． 充分但不必要条件 C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：根据 由a＞1，一定能得到＜1．但当＜1时，不能推出a＞1 （如 a=﹣1时），从而得到结论．‎ 解：由a＞1，一定能得到＜1．但当＜1时，不能推出a＞1 （如 a=﹣1时），‎ 故a＞1是＜1 的充分不必要条件，‎ 故选 B．‎ 考点：不等关系与不等式；充要条件．‎ ‎2．过点 且平行于直线 的直线方程为 ‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设要求的直线的方程为x﹣2y+m=0，再根据所求的直线过点P（﹣1，3），代入求得m的值，可得结论．‎ ‎【详解】‎ 解：设平行于直线x﹣2y+3=0的直线方程为x﹣2y+m=0，再根据所求的直线过点P（﹣1，3），可得﹣1﹣6+m=0，求得m=7，故要求的直线的方程为 x﹣2y+7=0.‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查用待定系数法求直线的方程，属于基础题．‎ ‎3．命题：“若，则”的逆否命题是 A． 若，则 B． 若，则 C． 若且，则 D． 若或，则 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 根据逆否命题的写法得到，逆否命题是将原命题的条件和结论互换位置，并且都进行否定，故得到逆否命题是若，则.‎ 故答案为：D。‎ ‎4．某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为 ，， 人，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为 的样本，则应从高三年级抽取的学生人数为 ‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：三个年级的学生人数比例为，按分层抽样方法，在高三年级应该抽取人数为人，故选.‎ 考点：分层抽样.‎ ‎5．若直线 与直线 互相垂直，则实数 的值等于 ‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：当a="0" 时，其中有一条直线的斜率不存在，经检验不满足条件，当a≠0 时，两直线的斜率都存在，由斜率之积等于﹣1，可求a．‎ 解：当a="0" 时，两直线分别为 x+2y=0，和x=1，显然不满足垂直条件；‎ 当a≠0 时，两直线的斜率分别为﹣和，由斜率之积等于﹣1得：﹣•=﹣1‎ 解得a=1‎ 故选：C．‎ 点评：本题考查两条直线垂直的条件，注意当直线的斜率不存在时，要单独检验，体现了分类讨论的数学思想．‎ ‎6．阅读上图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（ ）.‎ A． 123 B． 38 C． 11 D． 3‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：根据程序框图，第一圈，是，；第二圈，是，；第三圈，否，输出，选C.‎ 考点：算法程序框图的功能识别 ‎7．已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，则双曲线的离心率为 ‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，由双曲线的标准方程可得其渐近线方程为y=±x，结合题意可得=，即b=a，由双曲线的几何性质可得c=a，进而由离心率公式计算可得答案．‎ ‎【详解】‎ 解：根据题意，双曲线的标准方程为，则其焦点在x轴上，那么其渐近线方程为y=±x，又由该双曲线的一条渐近线方程为y=x，则有=，即b=a，则c=,其离心率e=；‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线的简单几何性质，解决问题的关键是由双曲线的标准方程分析出其焦点的位置．‎ ‎8．若一个样本容量为 的样本的平均数为 ，方差为 ．现样本中又加入一个新数据 ，此时样本容量为 ，平均数为 ，方差为 ，则 ‎ A． ， B． ， C． ， D． ，‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题设条件，利用平均数和方差的计算公式进行求解．‎ ‎【详解】‎ 解：∵某8个数的平均数为5，方差为2，现又加入一个新数据5，此时这9个数的平均数为，方差为s2，.‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查平均数和方差的计算公式的应用，是基础题．‎ ‎9．已知与之间的一组数据：‎ 已求得关于与的线性回归方程为，则的值为（ ）‎ A． 1 B． 0.85 C． 0.7 D． 0.5‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由表格数据计算样本中心，再代入线性回归直线方程即可得解.‎ ‎【详解】‎ 通过数据计算得：，.‎ 得到样本中心，‎ 由线性回归方程为经过样本中心，可得.‎ 解得.‎ 故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了数据的平均数的计算公式，回归直线方程的特点基础知识的应用，其中熟记回归分析的基本知识点是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.‎ ‎10．已知一圆的圆心为点 ，一条直径的两个端点分别在 轴和 轴上，则此圆的方程是 ‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由于圆心(2,-3)是直径的中点，所以此直径的两个端点坐标分别为(4,0),(0,-6),‎ 所以半径为,所以所求圆的方程为.‎ ‎11．已知抛物线 ，过其焦点且斜率为 的直线交抛物线与 ， 两点，若线段 的中点的纵坐标为 ，则该抛物线的准线方程为 ‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎∵y2=2px的焦点坐标为,‎ ‎∴过焦点且斜率为1的直线方程为y=x-,即x=y+,将其代入y2=2px得y2=2py+p2,即y2-2py-p2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=2p,∴=p=2,∴抛物线的方程为y2=4x,其准线方程为x=-1.故选B.‎ ‎12．已知点是双曲线的右焦点，点是该双曲线的左顶点，过且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，若是钝角，则该双曲线的离心率的取值范围是 ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由题意，得为双曲线的通径，其长度为，因为,所以；‎ 则,即，即，即，解得.‎ 考点：双曲线的几何性质.‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．甲乙两台机床同时生产一种零件，10天中，两台机床每天出的次品数分别如下图所示。‎ 从数据上看， ________________机床的性能较好（填“甲”或者“乙”）.‎ ‎【答案】乙 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据表中数据计算得到数据的均值和方差，进而得到结果.‎ ‎【详解】‎ 乙床的平均数为：1.2，方差为：；甲床的平均数为1.5，方差为：，由此看出乙机床的平均数小且方差也比较小。故乙的性能较好.‎ 故答案为：乙 ‎【点睛】‎ 本题考查了平均数与方差的计算问题，是基础题目．方差能够说明整体数据的波动性，反映出数据的稳定性.‎ ‎14．已知函数 ，若命题“，”是假命题，则实数 的取值范围为________________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用全称命题的否定是特称命题，通过特称命题是真命题，求出a的范围.‎ ‎【详解】‎ 解：∵函数f（x）=a2x﹣2a+1，若命题“∀x∈[0，1]，f（x）＞0”是假命题，∴“∃x∈[0，1]，f（x）≤0”是真命题，所以f（0）≤0或f（1）≥0，解得：a≥．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查命题的真假的应用，根据命题成立的条件，先求出命题为真命题时的取值范围是解决本题的关键.‎ ‎15．直线 与圆 相交于 ， 两点，若 ，则 的取值范围是________________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 圆心到直线 的距离 ,由勾股定理得到，解出k的范围即可.‎ ‎【详解】‎ 由圆的方程得：圆心 ，半径 ，因为圆心到直线 的距离 ，，所以 ，变形得：，即 ，解得：，则 的取值范围是 ．‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 这个题目考查的是直线和圆的位置关系，一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；涉及到圆的弦长或者切线长时，经常用到垂径定理。‎ ‎16．已知抛物线C：的焦点为F，过点F倾斜角为的直线与抛物线C在第一、四象限分别交于A、B两点，则的值等于 ．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】试题分析：设直线与联立可得,设,则,故,所以,即,解之得或（舍）,所以,应填.‎ 考点：直线与抛物线的位置关系及运用．‎ ‎【易错点晴】抛物线是圆锥曲线的重要代表曲线之一,也高考和各级各类考试的重要内容和考点.解答本题时要充分利用题设中提供的有关信息,先建立过点的直线方程,再与抛物线的方程联立求得坐标之间的关系为,运用抛物线的定义与几何性质将其转化为求的值的问题,然后借助和完全平方公式求出.‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．已知圆 ：，直线 被圆所截得的弦的中点为 ．‎ ‎（1）求直线 的方程；‎ ‎（2）若直线 与圆 相交，求 的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设直线l1的斜率为则k，由题意可得圆心C（3，2），又弦的中点为P（5，3），可求得kPC=，由k•kPC=﹣1可求k，从而可求直线l1的方程；‎ ‎（2）若直线l2：x+y+b=0与圆C相交，圆心到直线l2的距离小于半径，从而可求得b的取值范围．‎ ‎【详解】‎ ‎（1） 因为圆 的方程化标准方程为：，所以圆心 ，半径 ．设直线 的斜率为 ，则 ．所以直线 的方程为： 即 ．‎ ‎（2） 因为圆的半径 ，所以要使直线 与圆 相交则须有：，所以 于是 的取值范围是：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线和圆的方程的应用，着重考查通过圆心到直线间的距离与圆的半径的大小判断二者的位置关系，属于中档题．‎ ‎18．已知命题 方程 有两个不相等的负实根，‎ 命题 不等式 的解集为 ，‎ ‎（1）若为真命题，求 的取值范围．‎ ‎（2）若 为真命题， 为假命题，求 的取值范围．‎ ‎【答案】（1）或；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 若命题p为真命题，可得，解得m．若命题q为真命题，m>0时△＜0，解得m．若 为真命题， 为假命题，可得p与q必然一真一假，解出即可．‎ ‎【详解】‎ 若为真命题，即 不等式 的解集非空，故 或，取并集即或.‎ ‎（2）令 ，若命题 真，则有 , 解得 ．若命题 真，由（1）得 ．‎ 根据 为真命题， 为假命题，可得命题 和命题 一个为真，另一个为假．当命题 为真、命题 为假时，．当命题 为假、命题 为真时，．‎ 综上可得， 的取值范围为 ．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了一元二次不等式的解集与判别式的关系、简易逻辑的判定，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎19．第 届夏季奥林匹克运动会将于2016年8月5日 21日在巴西里约热内卢举行．下表是近五届奥运会中国代表团和俄罗斯代表团获得的金牌数的统计数据（单位：枚）．‎ ‎　‎ 第31届里约 第30届伦敦 第29届北京 第28届雅典 第27届悉尼 中国 ‎26‎ ‎38‎ ‎51‎ ‎32‎ ‎28‎ 俄罗斯 ‎19‎ ‎24‎ ‎24‎ ‎27‎ ‎32‎ ‎（1）根据表格中两组数据完成近五届奥运会两国代表团获得的金牌数的茎叶图，并通过茎叶图比较两国代表团获得的金牌数的平均值及分散程度（不要求计算出具体数值，给出结论即可）；‎ ‎（2）下表是近五届奥运会中国代表团获得的金牌数之和 （从第 届算起，不包括之前已获得的金牌数）随时间 （时间代号）变化的数据：‎ 届 ‎27‎ ‎28‎ ‎29‎ ‎30‎ ‎31‎ 时间代号(x)‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 金牌数之和(y枚)‎ ‎28‎ ‎60‎ ‎111‎ ‎149‎ ‎175‎ 作出散点图如下：‎ ‎ ‎ ‎ ①由图中可以看出，金牌数之和 与时间代号 之间存在线性相关关系，请求出 关于 的线性回归方程；‎ ‎ ②利用①中的回归方程，预测2020年第32届奥林匹克运动会中国代表团获得的金牌数．‎ ‎ 参考数据：，，．‎ ‎ 附：对于一组数据 ，，，，其回归直线 的斜率的最小二乘估计为．‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）①.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意，画出茎叶图，通过茎叶图得出概率结论；‎ ‎（2）①计算线性回归方程的系数、，写出线性回归方程，‎ ‎②利用回归方程计算x=6时的值再减去175即可．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）两国代表团获得的金牌数的茎叶图如下,‎ 通过茎叶图可以看出，中国代表团获得的金牌数的平均值高于俄罗斯代表团获得的金牌数的平均值；俄罗斯代表团获得的金牌数比较集中，中国代表团获得的金牌数比较分散； ‎ ‎（2）①计算===38.3，‎ 所以=﹣=104.6﹣38.3×3=﹣10.3；‎ 所以金牌数之和y关于时间x的线性回归方程为=38.3x﹣10.3‎ ‎②由①知，当x=6时，中国代表团获得的金牌数之和的预报值=38.3×6﹣10.3=219.5，故预测 ‎2020年第32届奥林匹克运动会中国代表团获得的金牌数219.5﹣175=44.5≈45枚．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了线性回归方程的应用问题，也考查了茎叶图的应用问题，是基础题目．‎ ‎20．某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A，B，C三种主要原料．生产 车皮甲种肥料和生产 车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：‎ ‎ 现有A种原料 吨，B种原料 吨，C种原料 吨，在此基础上生产甲、乙两种肥料．已知生产 车皮甲种肥料，产生的利润为 万元；生产 车皮乙种肥料，产生的利润为 万元．分别用 ， 表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．‎ ‎（1）用 ， 列出满足生产条件的数学关系式，并在答题卷相应位置画出相应的平面区域；‎ ‎（2）问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮能够产生最大的利润?并求出最大利润．‎ ‎ ‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）生产甲种肥料 车皮、乙种肥料 车皮时利润最大，且最大利润为 万元.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）设出变量，建立不等式关系，即可作出可行域．‎ ‎（Ⅱ）设出目标函数，利用平移直线法进行求解即可．‎ ‎【详解】‎ ‎（1） 由已知，， 满足的数学关系式为 ‎ 该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分：‎ ‎（2） 设利润为 万元，则目标函数为 ．‎ 考虑 ，将它变形为 ，这是斜率为 ，随 变化的一族平行直线． 为直线在 轴上的截距，当 取最大值时， 的值最大．又因为 ， 满足约束条件，所以由图2可知，当直线 经过可行域上的点 时，截距 最大，即 最大．‎ 解方程组 得点 的坐标为 ．‎ 所以 ．‎ 答：生产甲种肥料 车皮、乙种肥料 车皮时利润最大，且最大利润为 ‎ 万元．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查线性规划的应用，根据条件建立约束条件，作出可行域，利用平移法是解决本题的关键．‎ ‎21．已知椭圆 的焦距为 ，且过点 ，设 ， 是 上的两个动点，线段 的中点 的横坐标为 ，线段 的中垂线交椭圆 于 ， 两点．‎ ‎（1）求椭圆 的方程；‎ ‎（2）设点纵坐标为m，求直线的方程，并求出 的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据题意得到,.所以，于是 ，，进而得到方程；（2）分情况讨论，当直线 垂直于 轴时，直线 方程为 ，此时 ，，得 ；当直线 不垂直于 轴时，设直线 的斜率为 ，，，，由线段 的中点 的横坐标为 ，得 ，得到直线 斜率为 ‎ 联立直线和椭圆得二次方程，，根据点在椭圆内得到，进而求得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1） 因为椭圆 的焦距为 ，且过点K ，所以,.所以，于是 ，，所以椭圆 的方程为 ．‎ ‎（2） 由题意，当直线 垂直于 轴时，直线 方程为 ，此时 ，，得 ．当直线 不垂直于 轴时，设直线 的斜率为 ，，，，由线段 的中点 的横坐标为 ，得 ，‎ 则 ，故 ．此时，直线 斜率为 ， 的直线方程为 ，即 ．‎ 联立 消去 ，整理得 ．‎ 设 ，，所以，于是 ‎ ‎ 由于 在椭圆的内部，故 ，‎ 所以 ．‎ 综上， 的取值范围为 ．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．‎ ‎22．如图，设抛物线 ： 的准线 与 轴交于椭圆 ： 的右焦点 ， 为 的左焦点．椭圆的离心率为 ，抛物线 与椭圆 交于 轴上方一点 ，连接 并延长交 于点 ， 为 上一动点，且在 ， 之间移动．‎ ‎（1）当 时，求 的方程；‎ ‎（2）若 的边长恰好是三个连续的自然数。求到直线距离的最大值以及此时 的坐标．‎ ‎【答案】（1）；（2）最大值为，此时.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据题意得到，，则 ，，因为 ,从而求出参数值，进而得到方程；（2）联立椭圆和抛物线得到点P的坐标，由椭圆定义得到，，，又 的边长恰好是三个连续的自然数，所以 ，此时联立直线PQ和抛物线方程求得点Q的坐标，，设出点M的坐标得到直线 的距离为 ，则 ‎ ‎，结合二次函数的特点得到最值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1） 因为 ，，则 ，，因为 ，所以，，‎ 所以椭圆 的方程为 ．‎ ‎（2） 因为 ，，则 ，，设椭圆的标准方程为 ，，，由 得 ，‎ 所以 或 （舍去），代入抛物线方程得 ，‎ 即 ，于是 ，，，‎ 又 的边长恰好是三个连续的自然数，所以 ．‎ 此时抛物线方程为 ，，，‎ 则直线 的方程为 ，‎ 联立 ‎ 得 或 （舍去），‎ 于是 ，‎ 所以 ，‎ 设 到直线 的距离为 ，则 ，‎ 当 时，，此时 ‎【点睛】‎ 本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．‎