高中数学讲义微专题01 命题形式变化及真假判定

高中数学讲义微专题01 命题形式变化及真假判定

- 1 - 微专题 1 命题形式变化及真假判定 一、基础知识： （一）命题结构变换 1、四类命题间的互化：设原命题为“若 ，则 ”的形式，则 （1）否命题：“若 ，则 ” （2）逆命题：“若 ，则 ” （3）逆否命题：“若 ，则 ” 2、 ， （1）用“或”字连接的两个命题（或条件），表示两个命题（或条件）中至少有一个成立即 可，记为 （2）用“且”字连接的两个命题（或条件），表示两个命题（或条件）要同时成立，记为 3、命题的否定 ：命题的否定并不是简单地在某个地方加一个“不”字，对于不同形式的 命题也有不同的方法 （1）一些常用词的“否定”：是→不是 全是→不全是 至少一个→都没有 至多 个→至少 个 小于→大于等于 （2）含有逻辑联结词的否定：逻辑联接词对应改变，同时 均变为 ： 或 → 且 且 → 或 （3）全称命题与存在性命题的否定 全称命题： 存在性命题： 规律为：两变一不变 ① 两变：量词对应发生变化（ ），条件 要进行否定 ② 一不变： 所属的原集合 的不变化 （二）命题真假的判断：判断命题真假需要借助所学过的数学知识，但在一组有关系的命题 中，真假性也存在一定的关联。 p q p q q p q p p q p q p q p q p n 1n  ,p q ,p q  p q p q p q p q  : , : , ( )p x M p x p x M p x        : , : , ( )p x M p x p x M p x           p x  p x  x M - 2 - 1、四类命题：原命题与逆否命题真假性相同，同理，逆命题与否命题互为逆否命题，所以真 假性也相同。而原命题与逆命题，原命题与否命题真假没有关联 2、 ， ，如下列真值表所示： 或 真 真 真 真 假 真 假 真 真 假 假 假 简而言之“一真则真” 简而言之“一假则假” 3、 ：与命题 真假相反。 4、全称命题： 真：要证明每一个 中的元素均可使命题成立 假：只需举出一个反例即可 5、存在性命题： 真：只需在 举出一个使命题成立的元素即可 假：要证明 中所有的元素均不能使命题成立 二、典型例题 例 1：命题“若方程 的两根均大于 ，则 ”的逆否命题是（ ） A. “若 ，则方程 的两根均大于 ” B. “若方程 的两根均不大于 ，则 ” C. “若 ，则方程 的两根均不大于 ” D. “若 ，则方程 的两根不全大于 ” 思路：所谓逆否命题是要将原命题的条件与结论否定后并进行调换，“ ”的对立面是 “ ”，“均大于 ”的对立面是“不全大于 0”（注意不是：都不大于 0），再调换顺序即 可，D 选项正确 且 真 真 真 真 假 假 假 真 假 假 假 假 p q p q p q p q p p M M M 2 0ax bx c   0 0ac  0ac  2 0ax bx c   0 2 0ax bx c   0 0ac  0ac  2 0ax bx c   0 0ac  2 0ax bx c   0 0ac  0ac  0 p q p q - 3 - 答案：D 例 2：命题“存在 ”的否定是（ ） A． 存在 B．不存在 C． 对任意 D．对任意 思 路 ： 存 在 性 命 题 的 否 定 ： 要 将 量 词 变 为 “ 任 意 ”， 语 句 对 应 变 化 ，但 所在集合不变。所以变化后的命题为：“对任意 ” 答案：D 例 3：给出下列三个结论 （1）若命题 为假命题，命题 为假命题，则命题“ ”为假命题 （2）命题“若 ，则 或 ”的否命题为“若 ，则 或 ” （3）命题“ ”的否定是“ ”，则以上结论正确的个数为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 思路：（1）中要判断 的真假，则需要判断 各自的真值情况， 为假命题，则 为真命题，所以 一假一真， 为真命题，（1）错误 （2）“若……，则……”命题的否命题要将条件和结论均要否定，而（2）中对“ 或 ”的否定应该为“ 且 ”，所以（2）错误 （3）全称命题的否定，要改变量词和语句，且 的范围不变。而（3）的改写符合要求，所以 （3）正确 综上只有（3）是正确的 答案：C 例 4 ：有下列四个命题 ① “若 ，则 互为相反数”的逆命题 ② “全等三角形的面积相等”的否命题 ③ “若 ，则 有实根”的逆否命题 2, 2 0x Z x x m    2, 2 0x Z x x m    2, 2 0x Z x x m    2, 2 0x Z x x m    2, 2 0x Z x x m    2 22 0 2 0x x m x x m       x 2, 2 0x Z x x m    p q p q 0xy  0x  0y  0xy  0x  0y  ,2 0xx R   ,2 0xx R   p q ,p q q q ,p q p q 0x  0y  0x  0y  x 0x y  ,x y 1q  2 2 0x x q   - 4 - ④ “不等边三角形的三个内角相等”的逆命题 其中真命题为（ ） A. ①② B.②③ C. ①③ D. ③④ 思路：①中的逆命题为“若 互为相反数，则 ”，为真命题。②中的否命题为“如 果两个三角形不是全等三角形，则它们的面积不相等”，为假命题（同底等高即可）。③中若 要判断逆否命题的真假，则只需判断原命题即可。 时，判别式 ，故方程 有实根。所以原命题为真命题，进而其逆否命题也为真命题。④中的逆命题为“如果一个三 角形三个内角相等，则它为不等边三角形”显然是假命题。综上，①③正确 答案：C 小炼有话说：在判断四类命题的真假时，如果在写命题或判断真假上不好处理，则可以考虑 其对应的逆否命题，然后利用原命题与逆否命题同真同假的特点进行求解 例 5：下列命题中正确的是（ ） A. 命题“ ，使得 ”的否定是“ ，均有 ” B. 命题“若 ，则 ”的否命题是“若 ，则 ” C. 命题“存在四边相等的四边形不是正方形”，该命题是假命题 D. 命题“若 ，则 ”的逆否命题是真命题 思路：分别判断 4 个选项的情况，A 选项命题的否定应为“ ，均有 ”，B 选 型否命题的形式是正确的，即条件结论均否定。C 选项的命题是正确的，菱形即满足条件，D 选项由原命题与逆否命题真假相同，从而可判断原命题的真假，原命题是假的，例如终边相 同的角余弦值相同，所以逆否命题也为假命题。D 错误 答案：B 例 6：如果命题“ 且 ”是假命题，“ ”也是假命题，则（ ） A. 命题“ 或 ”是假命题 B. 命题“ 或 ”是假命题 C. 命题“ 且 ”是真命题 D. 命题“ 且 ”是真命题 思路：涉及到“或”命题与“且”命题的真假，在判断或利用条件时通常先判断每个命题的 真假，再根据真值表进行判断。题目中以 为入手点，可得 是真命题，而因为 且 是假 ,x y 0x y  1q  4 4 0q    x R  2 1 0x   x R  2 1 0x   3x  2 2 3 0x x   3x  2 2 3 0x x   cos cosx y x y x R  2 1 0x   p q q p q p q p q p q q q p q - 5 - 命题，所以 只能是假命题。进而 是真命题。由此可判断出各个选项的真假：只有 C 的判 断是正确的 答案：C 例 7 ：已知命题 ：若 ，则 ；命题 ：若 ，则 ，在命题① ；② ；③ ；④ 中，真命题是（ ） A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 思路：可先判断出 的真假，从而确定出复合命题的情况。命题 符合不等式性质，正确， 而 命题是错的。所以①是假的，②是真的，③④中，因为 为假， 为真，所以③正确，④ 不正确。综上可确定选项 D 正确 答案：D 例 8：下列 4 个命题中，其中的真命题是（ ） A. B. C. D. 思 路 ： 为 存 在 性 命 题 ， 所 以 只 要 找 到 符 合 条 件 的 即 可 。 可 作 出 的 图 像 ， 通 过 观 察 发 现 找 不 到 符 合 条 件 的 ； 同 样 作 图 可 得 ， 所 以 正 确 ； 通 过 作 图 可 发 现 图 像 中 有 一 部 分 ， 所 以 错 误 ； 在 中 ， 可 得 当 时 ， ， 所 以 ， 正 确 。 综 上 可 得 ： 正确 答案：D 小炼有话说：（1）在判断存在性命题与全称命题的真假，可通过找例子（正例或反例）来进 p p p x y x y   q x y 2 2x y p q p q  p q   p q  ,p q p q p q  1 1 1: 0, , 2 3 x x p x               2 1 1 2 3 : 0,1 ,log logp x x x    3 1 2 1: 0, , log2 x p x x       4 1 3 1 1: 0, , log3 2 x p x x            1 3,p p 1 4,p p 2 3,p p 2 4,p p 1 2,p p x 1p 1 1,2 3 x x y y           x 2p   1 1 2 3 0,1 ,log logx x x   2p 3p 1 2 1 log2 x x     3p 4p 10, 3x     0 1 1 3 3 1 1 11,log log 12 2 3 x x                   1 3 1 1 log2 x x      4p 2 4,p p - 6 - 行简单的判断，如果找不到合适的例子，则要尝试利用常规方法证明或判定 （2）本题考察了指对数比较大小，要选择正确的方法（中间桥梁，函数性质，数形结合）进 行处理，例如本题中 运用的数形结合，而 通过选择中间量判断。 例 9：已知命题 ，命题 ，若 为假命 题，则实数 的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 思 路 ： 因 为 为 假 命 题 ， 所 以 可 得 均 为 假 命 题 。 则 为 真 命 题 。 。解决这两个不等式能成立与恒成立问 题即可。 解： 为假命题 均为假命题 为真命题 对于 当 时， 对于 ，设 ，由图像可知：若 成立，则 ，解得： 或 所以综上所述： 小炼有话说：因为我们平日做题都是以真命题为前提处理，所以在逻辑中遇到已知条件是假 命题时，可以考虑先写出命题的否定，根据真值表得到命题的否定为真，从而就转化为熟悉 的形式以便于求解 例 10：设命题 函数 的定义域为 ；命题 ，不等 式 恒成立，如果命题“ ”为真命题，且“ ”为假命题，求 实数 的取值范围 思路：由“ ”为真命题可得 至少有一个为真，由“ ”为假命题可得 至少 1 2 3, ,p p p 4p 2 0 0: , 1 0p x R mx    2: , 1 0q x R x mx     p q m 2 2m   2m   2m  2m   2m  p q ,p q ,p q  2 2: , 1 0; : , 1 0p x R mx q x R x mx           p q ,p q 2 2: , 1 0; : , 1 0p x R mx q x R x mx           ,p q  2: , 1 0p x R mx     2 2 11 0mx m x     x R 2 1 0x  0m  2: , 1 0q x R x mx        2 1f x x mx   q 2 4 0m    2m  2m   2m  :p    2 2lg 4f x x x a   R  : 1,1q m   2 25 3 8a a m    p q p q a p q ,p q p q ,p q - 7 - 有一个为假。两种情况同时存在时，只能说明 是一真一假。所以分为 假 真与 真 假进行讨论即可 解： 命题“ ”为真命题，且“ ”为假命题 一真一假 若 假 真，则 函数 的定义域不为 恒成立 或 若 真 假，则 函数 的定义域为 或 ，不等式 解得 综上所述： 三、近年模拟题题目精选： 1、（2014 河南高三模拟，9）已知命题 ，命题 ， 则下列命题中为真命题的是（ ） A. B. C. D. 2、（2014，岳阳一中，3）下列有关命题的叙述: ① 若 为真命题，则 为真命题 ② “ ”是“ ”的充分不必要条件 ③ 命题 ，使得 ，则 ，使得 ,p q p q p q  p q p q ,p q p q :p    2 2lg 4f x x x a   R 216 4 0 2 2a a        2 2: 5 3 8q a a m     2 2 max 5 3 8 3a a m      2 5 6 0 1a a a       6a  2 1a    p q :p    2 2lg 4f x x x a   R 216 4 0 2a a       2a   : 1,1q m    2 25 3 8a a m     2 2 max 5 3 8 3a a m      1 6a   2 6a      2, 1 2,6a     : ,ln 2 0p x R x x     2: ,2xq x R x   p q p q  p q  p q   p q p q 5x  2 4 5 0x x   :p x R  2 1 0x x   :p x R   2 1 0x x   - 8 - ④ 命题：“若 ，则 或 ”的逆否命题为：“若 或 ，则 ” 其中错误命题的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 　 D．4 3 、（ 2014 成 都 七 中 三 月 模 拟 ， 4 ） 已 知 命 题 ， 命 题 ，则（ ） A. 命题 是假命题 B. 命题 是真命题 C. 命题 是假命题 D. 命题 是真命题 4、（2014 新津中学三月月考，6）已知命题“ ，使得 ”是假命 题，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5、（2014 新课标全国卷 I）不等式组： 的解集记为 ，有下面四个命题： 其中真命题是（ ） A. B. C. D. 2 3 2 0x x   1x  2x  1x  2x  2 3 2 0x x   : ,2 xp x R x e    2: ,log ( 1) 0aq a R a    p q  p q  p q p q x R   2 12 1 02x a x    a  , 1   3,   1,3  3,1 1 2 4 x y x y      D  1 : , , 2 2p x y D x y      2 : , , 2 2p x y D x y     3 : , , 2 3p x y D x y     4 : , , 2 1p x y D x y     2 3,p p 1 2,p p 1 4,p p 1 3,p p - 9 - 习题答案： 1、答案：C 解析：分别判断 真假，令 ，可得 由零点存在性定理 可知 ，使得 ， 为真；通过作图可判断出当 时， ，故 为假；结合选项可得： 为真 2、答案：B 解析：判断每个命题：①若 真 假，则 为真命题， 为假命题，故①错误；② 不等式 的解为 或 ，由命题所对应的集合关系可判断出②正确；③ 存在性命题的否定，形式上更改符合“两变一不变”，故③正确；④ “ 或 ”的否 定应为“ 且 ”，故④错误，所以选择 B 3、答案：B 解析：对于 ：当 时， ，故 正确；对于 ：因为 ，所以当 时， ，故 错误，结合选项可知 是真命题 4、答案：C 解析：命题的否定为：“ ，使得 ”，此为真命题，所以转为恒 成立问题，利用二次函数图像可得： ，解得 5、答案：C ,p q   ln 2f x x x      1 2 0f f   1,2x    ln 2 0f x x x    p  2,4x  22x x q p q  p q p q p q 2 4 5 0x x   5x  1x   1x  2x  1x  2x  p 0x  2 xx e  p q 2 1 0a    0,1a   2log 1 0a a   q p q  x R   2 12 1 02x a x     21 4 0a      1,3a   - 10 - 解 析 ： 由 已 知 条 件 作 出 可 行 域 ， 并 根 据 选 项 分 别 作 出 相 应 直 线 ，观察图像可知：阴影部分恒在 的上方，所以 成立；且阴影区域中有在 中的点，所以 成立，综上可得： 正 确 2 2, 2 2, 2 3, 2 1x y x y x y x y          2 2x y   1p 2 1x y   4p 1 4,p p