北京市朝阳区2013届高三4月第一次综合练习数学理试题

北京市朝阳区2013届高三4月第一次综合练习数学理试题

北京市朝阳区高三年级第一次综合练习 数学学科测试（理工类）‎ ‎ 2013.4‎ ‎（考试时间120分钟 满分150分）‎ 本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分 第一部分（选择题 共40分）‎ 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.‎ ‎（1）为虚数单位，复数的虚部是 A． B． C． D . ‎ ‎（2）已知集合，，则 A. B. C. D. ‎ ‎（3）已知向量，.若，则实数的值为 ‎ A． B． C． D．‎ ‎（4）在极坐标系中，直线与曲线相交于两点, 为极点，则的 大小为 A． B． C． D．‎ ‎（5）在下列命题中， ‎ ‎１‎ ‎１‎ ‎１‎ 正视图 侧视图 俯视图 ‎①“”是“”的充要条件；‎ ‎②的展开式中的常数项为；‎ ‎③设随机变量～,若 ‎，则．‎ 其中所有正确命题的序号是 A．② B．③‎ ‎ C．②③ D．①③‎ ‎（6）某个长方体被一个平面所截，得到的几何体的三 ‎ 视图如图所示，则这个几何体的体积为 ‎ A. B. C. D. 8‎ ‎（7）抛物线（＞）的焦点为，已知点，为抛物线上的两个动点，且满足.过弦的中点作抛物线准线的垂线，垂足为，则的最大值为 A. B. ‎1 C. D. 2‎ ‎（8）已知函数.若，使成立，则称为函数的一个“生成点”.函数的“生成点”共有 A. 1个 B .2个 C .3个 D .4个 第二部分（非选择题 共110分）‎ 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上. ‎ ‎（9）在等比数列中，，则 ，为等差数列，且，则 数列的前5项和等于 . ‎ ‎（10）在中， ，，分别为角， ，C所对的边.已知角为锐角，且,‎ 开始 i=0‎ S=0‎ S=S+2i-1‎ i≥6‎ 输出S 结束 是 i=i+2‎ 否 则 .‎ ‎（11）执行如图所示的程序框图，输出的结果S= .‎ ‎（12）如图，圆是的外接圆，过点C作圆的切 线交的延长线于点.若，‎ ‎ ，则线段的长是 ；圆的 半径是 .‎ ‎（13）函数是定义在上的偶函数，且满足 ‎.当时，.若在区间上方程恰有 四个不相等的实数根，则实数的取值范围是 .‎ ‎（14）在平面直角坐标系中，已知点是半圆（≤≤）上的一个动点，点在线段的延长线上．当时，则点的纵坐标的取值范围是 ．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.‎ ‎（15）（本小题满分13分）‎ 已知函数（）的最小正周期为.‎ ‎（Ⅰ）求的值及函数的单调递增区间；‎ ‎（Ⅱ）当时，求函数的取值范围.‎ ‎（16）（本小题满分13分）‎ 盒子中装有四张大小形状均相同的卡片，卡片上分别标有数字．称“从盒中随机抽取一张，记下卡片上的数字后并放回”为一次试验（设每次试验的结果互不影响）． ‎ ‎（Ⅰ）在一次试验中，求卡片上的数字为正数的概率；‎ ‎（Ⅱ）在四次试验中，求至少有两次卡片上的数字都为正数的概率；‎ ‎（Ⅲ）在两次试验中，记卡片上的数字分别为，试求随机变量的分布列与数学期望．‎ ‎（17）（本小题满分14分）‎ P D A B C F E 如图，在四棱锥中，平面平面，且， ．四边形满足，，．点分别为侧棱上的点，且．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）当时，求异面直线与所成角的余弦值； ‎ ‎（Ⅲ）是否存在实数，使得平面平面？若存在，‎ 试求出的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎（18）（本小题满分13分）‎ 已知函数，其中．‎ ‎（Ⅰ）求函数的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若函数在上有且只有一个零点，求实数的取值范围.‎ ‎（19）（本小题满分14分）‎ 已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆过点,离心率为，点为其右顶点.过点作直线与椭圆相交于两点，直线，与直线分别交于点，.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）求的取值范围.‎ ‎（20）（本小题满分13分）‎ 设是数的任意一个全排列，定义，其中.‎ ‎（Ⅰ）若，求的值；‎ ‎（Ⅱ）求的最大值；‎ ‎（Ⅲ）求使达到最大值的所有排列的个数.‎ 北京市朝阳区高三年级第一次综合练习 数学学科测试答案（理工类）‎ ‎ 2013.4‎ 一、选择题：‎ 题号 ‎（1）‎ ‎（2）‎ ‎（3）‎ ‎（4）‎ ‎（5）‎ ‎（6）‎ ‎（7）‎ ‎（8）‎ 答案 A D A C C D ‎ A B 二、填空题： ‎ 题号 ‎（9）‎ ‎（10）‎ ‎（11）‎ ‎（12）‎ ‎（13）‎ ‎（14）‎ 答案 ‎，‎ ‎1,‎ ‎（注：两空的填空，第一空3分，第二空2分）‎ 三、解答题：‎ ‎（15）（本小题满分13分）‎ 解：（Ⅰ） ‎ ‎ ‎ ‎ . …………………………………………4分 因为最小正周期为，所以. ………………………………6分 所以.‎ 由，，得.‎ 所以函数的单调递增区间为[]，. ………………8分 ‎（Ⅱ）因为，所以， …………………………………10分 所以. ………………………………………12分 所以函数在上的取值范围是[]. ……………………………13分 ‎（16）（本小题满分13分）‎ 解：（Ⅰ）设事件A：在一次试验中，卡片上的数字为正数，则 ‎ ．‎ ‎ 答：在一次试验中，卡片上的数字为正数的概率是．…………………………3分 ‎（Ⅱ）设事件B：在四次试验中，至少有两次卡片上的数字都为正数．‎ 由（Ⅰ）可知在一次试验中，卡片上的数字为正数的概率是．‎ ‎ 所以． ‎ ‎ 答：在四次试验中，至少有两次卡片上的数字都为正数的概率为．……………7分 ‎（Ⅲ）由题意可知，的可能取值为，所以随机变量的可能取值为．‎ ‎ ； ；‎ ‎ ； ；‎ ‎ ； ．‎ 所以随机变量的分布列为 所以．……………………13分 ‎（17）（本小题满分14分）‎ 证明：（Ⅰ）由已知，，‎ 所以 ． ‎ 因为，所以．‎ 而平面，平面，‎ 所以平面． ……………………………………………………4分 ‎（Ⅱ）因为平面平面， ‎ 平面平面，且，‎ 所以平面.‎ 所以，．‎ 又因为，‎ 所以两两垂直． ……………………………………………………5分 如图所示，建立空间直角坐标系，‎P D A B C F E x yx zx 因为，，‎ 所以 ‎．‎ 当时，为中点，‎ 所以,‎ 所以． ‎ 设异面直线与所成的角为，‎ 所以，‎ 所以异面直线与所成角的余弦值为．…………………………………9分 ‎（Ⅲ）设，则．‎ ‎ 由已知，所以，‎ ‎ 所以 所以．‎ 设平面的一个法向量为，因为,‎ 所以 即 ‎ 令，得．‎ 设平面的一个法向量为，因为,‎ 所以 即 ‎ 令，则．‎ 若平面平面，则，所以，解得．‎ 所以当时，平面平面．…………………………………………14分 ‎（18）（本小题满分1 3分）‎ 解：函数定义域为， 且…………2分 ‎①当，即时，令，得，函数的单调递减区间为，‎ 令，得，函数的单调递增区间为.‎ ‎②当，即时，令，得或，‎ 函数的单调递增区间为，.‎ 令，得，函数的单调递减区间为.‎ ‎③当，即时，恒成立，函数的单调递增区间为. …7分 ‎(Ⅱ)①当时，由(Ⅰ)可知，函数的单调递减区间为，在单调递增.‎ 所以在上的最小值为，‎ 由于，‎ 要使在上有且只有一个零点，‎ 需满足或解得或.‎ ‎②当时，由(Ⅰ)可知，‎ ‎（ⅰ）当时，函数在上单调递增；‎ 且，所以在上有且只有一个零点.‎ ‎（ⅱ）当时，函数在上单调递减，在上单调递增；‎ 又因为，所以当时，总有. ‎ ‎ 因为，‎ 所以.‎ 所以在区间内必有零点.又因为在内单调递增，‎ 从而当时，在上有且只有一个零点. ‎ 综上所述，或或时，在上有且只有一个零点. …………………………………………………………………………………………13分 ‎（19）（本小题满分14分）‎ 解：（Ⅰ）设椭圆的方程为，‎ 依题意得解得，. ‎ 所以椭圆的方程为. ………………………………………………4分 ‎（Ⅱ）显然点.‎ ‎（1）当直线的斜率不存在时，不妨设点在轴上方，易得，，所以. …………………………………………6分 ‎（2）当直线的斜率存在时，由题意可设直线的方程为，显然时，不符合题意.‎ 由得. ‎ 设,则. ‎ 直线，的方程分别为：，‎ 令，则. ‎ 所以，. ……………………10分 所以 ‎ ‎. ……………………………………………12分 ‎ 因为，所以，所以，即.‎ ‎ 综上所述，的取值范围是. ……………………………………14分 ‎（20）（本小题满分13分）‎ 解：（Ⅰ）. ……3分 ‎（Ⅱ）数的倍与倍分别如下：‎ 其中较大的十个数之和与较小的十个数之和的差为，所以.‎ 对于排列，此时，‎ 所以的最大值为. ……………………………………………………………8分 ‎（Ⅲ）由于数所产生的个数都是较小的数，而数所产生的个数都是较大的数，所以使取最大值的排列中，必须保证数互不相邻，数也互不相邻；而数和既不能排在之一的后面，又不能排在之一的前面.设，并参照下面的符号排列△○□△○□△○□△○‎ 其中任意填入个□中，有种不同的填法；任意填入个圆圈○中，共有种不同的填法；填入个△之一中，有种不同的填法；填入个△中，且当与在同一个△时，既可以在之前又可在之后，共有种不同的填法，所以当时，使达到最大值的所有排列的个数为，由轮换性知，使达到最大值的所有排列的个数为. ……………………………13分