数学（理）卷·2018届湖南省长沙市长郡中学高三上学期第四次月考（2017

数学（理）卷·2018届湖南省长沙市长郡中学高三上学期第四次月考（2017

长郡中学2018届高三月考试卷（四）‎ 数学（理科）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．若复数满足（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3．已知向量，，则“”是“与夹角为锐角”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4．在展开式中，二项式系数的最大值为，含项的系数为，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”.经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是（ ）‎ A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 ‎6．一个三棱锥的三视图如下图所示，则该几何体的体积为（ ）‎ A．1 B． C．2 D．‎ ‎7．已知是平面内夹角为90°的两个单位向量，若向量满足，则的最大值为（ ）‎ A．1 B． C． D．2‎ ‎8．执行如图所示的程序框图，则输出的值为（ ）‎ A．1009 B．-1009 C．-1007 D．1008‎ ‎9．已知斜率为3的直线与双曲线交于两点，若点是的中点，则双曲线的离心率等于（ ）‎ A． B． C．2 D．‎ ‎10．若一个四位数的各位数字相加和为10，则称该数为“完美四位数”，如数字“2017”.试问用数字0,1,2,3,4,5,6,7组成的无重复数字且大于2017的“完美四位数”有（ ）个.‎ A．53 B．59 C．66 D．71‎ ‎11．椭圆的左焦点为，上顶点为，右顶点为，若的外接圆圆心在直线的左下方，则该椭圆离心率的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知函数，若有两个零点，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．已知双曲线经过点，其一条渐近线方程为，则该双曲线的标准方程为 ．‎ ‎14．已知函数，若正实数满足，则的最小值为 ．‎ ‎15．已知球是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）的外接球，，，点在线段上，且，过点作圆的截面，则所得截面圆面积的取值范围是 ．‎ ‎16．已知为坐标原点，为抛物线的焦点，若抛物线与直线在第一、四象限分别交于两点，则的值为 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） ‎ ‎17．如图，在中，，为边上的点，为上的点，且，，.‎ ‎（1）求的长；‎ ‎（2）若，求的值.‎ ‎18．现有4名学生参加演讲比赛，有两个题目可供选择，组委会决定让选手通过掷一枚质地均匀的骰子选择演讲的题目，规则如下：选手掷出能被3整除的数则选择题目，掷出其他的数则选择题目.‎ ‎（1）求这4个人中恰好有1个人选择题目的概率；‎ ‎（2）用分别表示这4个人中选择题目的人数，记，求随机变量的分布列与数学期望.‎ ‎19．如图1，在矩形中，，，点分别在边上，且，，交于点，交于.现将沿折起，使得平面平面，得到图2.‎ ‎（1）在图2中，求证：；‎ ‎（2）在图2中，若点是线段上的一动点，问点在什么位置时，二面角的余弦值为.‎ ‎20．已知椭圆的两个焦点分别为，，点与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）过点的直线与椭圆相交于两点，设点，记直线 的斜率分别为，求证：为定值.‎ ‎21．已知函数，.‎ ‎（1）若函数存在与直线垂直的切线，求实数的取值范围；‎ ‎（2）设，若有极大值点，求证：.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．‎ ‎22．选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆的方程为.‎ ‎（1）写出直线的普通方程和圆的直角坐标方程；‎ ‎（2）设点，直线与圆相交于两点，求的值.‎ ‎23．选修4-5：不等式选讲 已知函数.‎ ‎（1）求函数的值域；‎ ‎（2）若试比较，，的大小.‎ 炎德·英才大联考长郡中学2018届高三月考试卷（四）‎ 数学（理科）参考答案 一、选择题 ‎1-5:BCCBB 6-10:CBBAD 11、12：AD 二、填空题 ‎13． 14．1 15． 16．‎ 三、解答题 ‎17．解：（1）由题意可得，‎ 在中，由余弦定理得 ‎，‎ 所以，‎ 整理得，‎ 解得：.‎ 故的长为.‎ ‎（2）在中，由正弦定理得，‎ 即，‎ 所以，‎ 所以.‎ 因为点在边上，所以，‎ 而，‎ 所以只能为钝角，‎ 所以，‎ 所以 ‎.‎ ‎18．解：由题意知，这4个人中每个人选择题目的概率为，选择题目的概率为，‎ 记“这4个人中恰有人选择题目”为事件，‎ ‎∴，‎ ‎（1）这4人中恰有一人选择题目的概率为.‎ ‎（2）的所有可能取值为0，3，4，且 ‎，‎ ‎，‎ ‎.‎ ‎∴的分布列是 所以.‎ ‎19．解：（1）∵在矩形中，，，，，‎ ‎∴，∴即.‎ ‎∴在图2中，，.‎ 又∵平面平面，平面平面，‎ ‎∴平面，∴.‎ 依题意，且，∴四边形为平行四边形.‎ ‎∴，∴，又∵，‎ ‎∴平面，又∵平面，∴.‎ ‎（2）如图1，在中，，，，‎ ‎∵，，∴.‎ 如图，以点为原点建立平面直角坐标系，则 ‎，，，，‎ ‎∴，，，‎ ‎∵，∴平面，‎ ‎∴为平面的法向量.‎ 设，则，‎ 设为平面的法向量，则 即，可取.‎ 依题意，有，‎ 整理得，即，∴.‎ ‎∴当点在线段的四等分点且时，满足题意.‎ ‎20．解：（1）依题意，，.‎ ‎∵点与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直，‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ ‎∴椭圆的方程为.‎ ‎（2）①当直线的斜率不存在时，由解得，.‎ 设，，则为定值.‎ ‎②当直线的斜率存在时，设直线的方程为：.‎ 将代入整理化简，得.‎ 依题意，直线与椭圆必相交于两点，设，，‎ 则，.‎ 又，，‎ 所以 ‎.‎ 综上得为常数2.‎ ‎21．解：（1）因为，，‎ 因为函数存在与直线垂直的切线，‎ 所以在上有解，‎ 即在上有解，‎ 也即在上有解，‎ 所以，得，‎ 故所求实数的取值范围是.‎ ‎（2）证明：因为，‎ 因为，‎ ‎①当时，单调递增无极值点，不符合题意，‎ ‎②当或时，令，设的两根为和，‎ 因为为函数的极大值点，所以，‎ 又，，所以，，‎ 所以，则，‎ 要证明，只需要证明，‎ 因为，.‎ 令，，‎ 所以，记，，‎ 则，‎ 当时，，当时，，‎ 所以，所以.‎ 所以在上单调递减，‎ 所以，原题得证.‎ ‎22．解：（1）由直线的参数方程为（为参数），‎ 得直线的普通方程为.‎ 又由得圆的直角坐标方程为.‎ ‎（2）把直线的参数方程（为参数），代入圆的直角坐标方程，‎ 得，‎ 设是上述方程的两实数根，‎ 所以，，‎ ‎∴，‎ 所以.‎ ‎23．解：（1）‎ 根据函数的单调性可知，当时，.‎ 所以函数的值域.‎ ‎（2）因为，所以，所以.‎ 又，‎ 由，知，，‎ 所以，所以.‎ 所以.‎