【数学】2020届一轮复习人教版（理）第8章第1讲直线的倾斜角、斜率与直线的方程学案

【数学】2020届一轮复习人教版（理）第8章第1讲直线的倾斜角、斜率与直线的方程学案

第八章　平面解析几何 第1讲　直线的倾斜角、斜率与直线的方程 ‎[考纲解读]　1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式，并能根据两条直线的斜率判断这两条直线的平行或垂直关系．(重点)‎ ‎2.掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式等)，并了解斜截式与一次函数的关系．(难点)‎ ‎[考向预测]　从近三年高考情况来看，本讲是命题的热点，但很少独立命题．预测2020年高考对本讲内容的考查：①考查直线倾斜角与斜率的关系、斜率公式；②直线平行与垂直的判定或应用，求直线的方程．试题常以客观题形式考查，难度不大.‎ ‎1．直线的斜率 ‎(1)当α≠90°时，tanα表示直线l的斜率，用k表示，即k＝tanα.当α＝90°时，直线l的斜率k不存在．‎ ‎(2)斜率公式 给定两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，经过P1，P2两点的直线的斜率公式为k＝.‎ ‎2．直线方程的五种形式 ‎1．概念辨析 ‎(1)直线的斜率为tanα，则其倾斜角为α.(　　)‎ ‎(2)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．(　　)‎ ‎(3)经过点P(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示．(　　)‎ ‎(4)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．(　　)‎ 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√‎ ‎2．小题热身 ‎(1)已知直线l过点(0,0)和(3,1)，则直线l的斜率为(　　)‎ A．3 B． C．－ D．－3‎ 答案　B 解析　直线l的斜率为k＝＝.‎ ‎(2)在平面直角坐标系中，直线x＋y－3＝0的倾斜角是(　　)‎ A. B． C． D． 答案　D 解析　直线x＋y－3＝0的斜率为－，所以倾斜角为.‎ ‎(3)已知直线l经过点P(－2,5)，且斜率为－，则直线l的方程为(　　)‎ A．3x＋4y－14＝0 B．3x－4y＋14＝0‎ C．4x＋3y－14＝0 D．4x－3y＋14＝0‎ 答案　A 解析　由题意得直线l的点斜式方程为y－5＝－[x－(－2)]，整理得3x＋4y－14＝0.‎ ‎(4)已知直线l的斜率为k(k≠0)，它在x轴，y轴上的截距分别为k,2k，则直线l的方程为(　　)‎ A．2x－y－4＝0 B．2x－y＋4＝0‎ C．2x＋y－4＝0 D．2x＋y＋4＝0‎ 答案　D 解析　由题意得，直线l的截距式方程为＋＝1，又因为直线l过(k,0)，(0,2k)两点，所以＝k，解得k＝－2，所以直线l的方程为＋＝1，即2x＋y＋4＝0.‎ 题型 　直线的倾斜角与斜率 ‎1．直线xsinα＋y＋2＝0的倾斜角的范围是(　　)‎ A．[0，π) B．∪ C. D．∪ 答案　B 解析　设直线的倾斜角为θ，则有tanθ＝－sinα，又sinα∈[－1,1]，θ∈[0，π)，所以0≤θ≤或≤θ＜π.‎ ‎2．(2018·安阳模拟)若平面内三点A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，则a＝(　　)‎ A．1±或0 B．或0‎ C. D．或0‎ 答案　A 解析　若A，B，C三点共线，则有kAB＝kAC，即＝，‎ 整理得a(a2－2a－1)＝0，解得a＝0或a＝1±.‎ ‎3．直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为________．‎ 答案　(－∞，－]∪[1，＋∞)‎ 解析　如图，∵kAP＝＝1，‎ kBP＝＝－，‎ ‎∴k∈(－∞，－]∪[1，＋∞)．‎ ‎1．直线的倾斜角与其斜率的关系 斜率k k＝tanα>0‎ k＝0‎ k＝tanα<0‎ 不存在 倾斜角α 锐角 ‎0°‎ 钝角 ‎90°‎ ‎2．倾斜角变化时斜率的变化规律 根据正切函数k＝tanα的单调性，如图所示：‎ ‎(1)当α取值在内，由0增大到时，k由0增大并趋向于正无穷大；‎ ‎(2)当α取值在内，由增大到π(α≠π)时，k由负无穷大增大并趋近于0.‎ ‎3．三点共线问题 若已知三个点中的两个坐标，可以先通过这两个已知点求出直线方程，然后将第三个点代入求解；也可利用斜率相等或向量共线的条件解决．　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎1．设直线l的倾斜角为α，且≤α≤，则直线l的斜率k的取值范围是________．‎ 答案　∪[1，＋∞)‎ 解析　当≤α<时，k＝tanα∈[1，＋∞)；当<α≤时，k＝tanα∈，‎ 所以斜率k的取值范围是∪[1，＋∞)．‎ ‎2．(2018·广州质检)若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率为(　　)‎ A. B．－ C．－ D． 答案　B 解析　依题意，设点P(a,1)，Q(7，b)，则有 解得 从而可知直线l的斜率为＝－.‎ 题型 　直线方程的求法 ‎1．已知三角形的三个顶点A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，则BC边上中线所在的直线方程为________．‎ 答案　x＋13y＋5＝0‎ 解析　BC的中点坐标为，∴BC边上中线所在直线方程为＝，即x＋13y＋5＝0.‎ ‎2．(1)求过点A(1,3)，斜率是直线y＝－4x的斜率的的直线方程；‎ ‎(2)求经过点A(－5,2)，且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍的直线方程．‎ 解　(1)设所求直线的斜率为k，‎ 依题意k＝－4×＝－.‎ 又直线经过点A(1,3)，‎ 因此所求直线方程为y－3＝－(x－1)，‎ 即4x＋3y－13＝0.‎ ‎(2)当直线不过原点时，设所求直线方程为＋＝1，将(－5,2)代入所设方程，解得a＝－，所以直线方程为x＋2y＋1＝0；当直线过原点时，设直线方程为y＝kx ‎，则－5k＝2，解得k＝－，所以直线方程为y＝－x，即2x＋5y＝0.‎ 故所求直线方程为2x＋5y＝0或x＋2y＋1＝0.‎ 条件探究　把举例说明2(1)中所求直线绕点A(1,3)，顺时针旋转45°，求所得直线的方程．‎ 解　设举例说明2(1)中所求直线的倾斜角为α，‎ 则由举例说明2(1)解析知tanα＝－，‎ 所以90°<α<180°，‎ 此直线绕点A(1,3)顺时针旋转45°，所得直线的倾斜角为α－45°，‎ 斜率k′＝tan(α－45°)＝＝＝7，‎ 点斜式方程为y－3＝7(x－1)，‎ 整理得7x－y－4＝0.‎ 给定条件求直线方程的思路 ‎(1)求直线方程常用的两种方法 ‎①直接法：根据已知条件，直接写出直线的方程，如举例说明2(1)求直线方程，则直接利用斜截式即可．‎ ‎②待定系数法：即设定含有参数的直线方程，结合条件列出方程(组)，求出参数，再代入直线方程即可．必要时要注意分类讨论，如举例说明2(2)中不要忽略过原点的情况，否则会造成漏解．‎ ‎(2)设直线方程的常用技巧 ‎①已知直线纵截距b时，常设其方程为y＝kx＋b.‎ ‎②已知直线横截距a时，常设其方程为x＝my＋a.‎ ‎③已知直线过点(x0，y0)，且k存在时，常设y－y0＝k(x－x0)．　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎1．在等腰三角形AOB中，AO＝AB，点O(0,0)，A(1,3)，点B在x轴的正半轴上，则直线AB的方程为(　　)‎ A．y－1＝3(x－3) B．y－1＝－3(x－3)‎ C．y－3＝3(x－1) D．y－3＝－3(x－1)‎ 答案　D 解析　因为AO＝AB，所以直线AB的斜率与直线AO 的斜率互为相反数，所以kAB＝－kOA＝－3，所以直线AB的点斜式方程为y－3＝－3(x－1)．故选D.‎ ‎2．已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l的方程：‎ ‎(1)过定点A(－3,4)；(2)斜率为.‎ 解　(1)由题意知，直线l存在斜率．‎ 设直线l的方程为y＝k(x＋3)＋4，‎ 它在x轴、y轴上的截距分别为－－3,3k＋4，‎ 由已知，得(3k＋4)＝±6，‎ 解得k1＝－或k2＝－.‎ 故直线l的方程为2x＋3y－6＝0或8x＋3y＋12＝0.‎ ‎(2)设直线l在y轴上的截距为b，则直线l的方程是y＝x＋b，则它在x轴上的截距是－6b，‎ 由已知，得|－6b·b|＝6，∴b＝±1.‎ ‎∴直线l的方程为x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0.‎ 题型 　直线方程的综合应用 角度1　由直线方程求参数问题 ‎1．若直线x－2y＋b＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b的取值范围是(　　)‎ A．[－2,2] B．(－∞，－2]∪[2，＋∞)‎ C．[－2,0)∪(0,2] D．(－∞，＋∞)‎ 答案　C 解析　令x＝0，得y＝，令y＝0，得x＝－b，所以所求三角形面积为|－b|＝b2，且b≠0，因为b2≤1，所以b2≤4，所以b的取值范围是[－2,0)∪(0,2]．‎ 角度2　与直线方程有关的最值问题 ‎2．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．‎ ‎(1)证明：直线l过定点；‎ ‎(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；‎ ‎(3)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程．‎ 解　(1)证明：直线l的方程可化为k(x＋2)＋(1－y)＝0，‎ 令解得 ‎∴无论k取何值，直线总经过定点(－2,1)．‎ ‎(2)由方程知，当k≠0时，直线在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为1＋2k，要使直线不经过第四象限，则必须有解得k＞0；当k＝0时，直线为y＝1，符合题意，故k的取值范围为[0，＋∞)．‎ ‎(3)由题意可知k≠0，再由l的方程，‎ 得A，B(0,1＋2k)．‎ 依题意得解得k＞0.‎ ‎∵S＝·|OA|·|OB|＝··|1＋2k|‎ ‎＝·＝ ‎≥×(2×2＋4)＝4，‎ ‎“＝”成立的条件是k＞0且4k＝，即k＝，‎ ‎∴Smin＝4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0.‎ 与直线方程有关问题的常见类型及解题策略 ‎(1)求解与直线方程有关的最值问题，先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值或用函数的单调性解决．‎ ‎(2)求参数值或范围．注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解．　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎1．若方程(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y－4m＋1＝0表示一条直线，则参数m满足的条件是(　　)‎ A．m≠－ B．m≠0‎ C．m≠0且m≠1 D．m≠1‎ 答案　D 解析　由解得m＝1，故m≠1时方程表示一条直线．‎ ‎2．过点P(4,1)作直线l分别交x轴、y轴正半轴于A，B两点，O为坐标原点．‎ ‎(1)当△AOB面积最小时，求直线l的方程；‎ ‎(2)当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线l的方程．‎ 解　设直线l：＋＝1(a>0，b>0)，‎ 因为直线l经过点P(4,1)，所以＋＝1.‎ ‎(1)＋＝1≥2＝，所以ab≥16，‎ 当且仅当a＝8，b＝2时等号成立，‎ 所以当a＝8，b＝2时，△AOB的面积最小，‎ 此时直线l的方程为＋＝1，即x＋4y－8＝0.‎ ‎(2)因为＋＝1，a>0，b>0，‎ 所以|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)·＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当a＝6，b＝3时等号成立，所以当|OA|＋|OB|取最小值时，直线l的方程为＋＝1，即x＋2y－6＝0.‎