中考数学专题复习 与轴对称相关的线段之和最短问题 有答案

中考数学专题复习 与轴对称相关的线段之和最短问题 有答案

与轴对称相关的线段之和最短问题 我们经常在考试当中看到求线段之和最小的问题，每当我们看到这样的题型，同学们从今往后就要高兴了，因为我把它们出现的模型整理如下。‎ 首先来看下这几个数学模型：‎ 模型1：两点之间线段最短。‎ 要在l找点P，使得PA+PB最短，这模型最简单，两点之间线段最短。‎ 模型2：将军饮马问题。‎ 在l上找一点P，使得PA+PB最短，作对称。其中BA’就是最短的值 模型3：两动点找三角形周长最小 在OA，OB上找点M、N，使得△PMN周长最小，把P关于OA，OB分别作对称，然后连接两个对称点，交点记为所求，然后周长最小值为P’P’’，‎ 模型4：两动点加垂线段最短，‎ 在OA上找一点M，使得M到OB的距离与M到P的距离之和最短。作P关于OA的对称点，然后在对称点P’上作OB的垂线，交点即为所求，P’N就是最短值。‎ 模型4：如图，点P，Q为∠MON内的两点，分别在OM，ON上作点A，B。使四边形PAQB的 周长最小。‎ 总结一句话，要在哪找点，我们就关于谁作对称！是不是很好理解？‎ 好吧！我们看看下面这些例题该怎样套上我们的模型！‎ 题型1：直线类 例题1．如图，A、B两个小集镇在河流CD的同侧，分别到河的距离为AC＝10千米，BD＝30千米，且CD＝30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？‎ 作点B关于直线CD的对称点B'，连接AB'，交CD于点M 则AM+BM = AM+B'M = AB'，水厂建在M点时，费用最小 如右图，在直角△AB'E中，‎ AE = AC+CE = 10+30 = 40‎ EB' = 30‎ 所以：AB' = 50‎ 总费用为：50×3 = 150万 例题2．求代数式（0≤x≤4）的最小值 如右图，AE的长就是这个代数式的最小值 在直角△AEF中 AF = 3 EF = 4‎ 则AE = 5‎ 所以，这个代数式的最小值是5‎ 题型2：角类 例题3．如图∠AOB = 45°，P是∠AOB内一点，PO = 10，Q、P分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值．‎ 分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1P2，‎ 交OA、OB于点Q，R，连接OP1，OP2，‎ 则OP = OP1 = OP2 = 10‎ 且∠P1OP2 = 90°‎ 由勾股定理得P1P2 = 10 题型3：三角形类 例题4．如图，等腰Rt△ABC的直角边长为2，E是斜边AB的中点，P是AC边上的一动点，则PB+PE的最小值为 ‎ 即在AC上作一点P，使PB+PE最小 作点B关于AC的对称点B'，连接B'E，交AC于点P，则B'E = PB'+PE = PB+PE B'E的长就是PB+PE的最小值 在直角△B'EF中，EF = 1，B'F = 3‎ 根据勾股定理，B'E = 例题5．如图，在△ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC＋ED的最小值为_______。‎ 即是在直线AB上作一点E，使EC+ED最小 作点C关于直线AB的对称点C'，连接DC'交AB于点E，则线段DC'的长就是EC+ED的最小值。‎ 在直角△DBC'中 DB=1，BC=2，根据勾股定理可得，DC'= 例题6．如图，在等边△ABC中，AB = 6，AD⊥BC，E是AC上的一点，M是AD上的一点，且AE = 2，求EM+EC的最小值 因为点C关于直线AD的对称点是点B，所以连接BE，交AD于点M，则ME+MD最小，‎ 过点B作BH⊥AC于点H，‎ 则EH = AH – AE = 3 – 2 = 1，BH = = = 3 在直角△BHE中，BE = = = 2 题型4：正方形类 例题7．如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE的和最小，则这个最小值为（ ）‎ A．2 B．2 C．3 D． 即在AC上求一点P，使PE+PD的值最小 点D关于直线AC的对称点是点B，连接BE交AC于点P，则BE = PB+PE = PD+PE，BE的长就是PD+PE的最小值 BE = AB = 2 例题8．在边长为2㎝的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为____________㎝（结果不取近似值）.‎ 即在AC上求一点P，使PB+PQ的值最小 因为点B关于AC的对称点是D点，所以连接DQ，与AC的交点P就是满足条件的点 DQ = PD+PQ = PB+PQ 故DQ的长就是PB+PQ的最小值 在直角△CDQ中，CQ = 1 ，CD = 2‎ 根据勾股定理，得，DQ = 题型5：矩形类 例题9．如图，若四边形ABCD是矩形， AB = 10cm，BC = 20cm，E为边BC上的一个动点，P为BD上的一个动点，求PC+PD的最小值；‎ 作点C关于BD的对称点C'，过点C'，作C'B⊥BC，交BD于点P，则C'E就是PE+PC的最小值 直角△BCD中，CH = 错误！未定义书签。‎ 直角△BCH中，BH = 8 ‎△BCC'的面积为：BH×CH = 160‎ 所以 C'E×BC = 2×160 则CE' = 16‎ 题型6：菱形类 例题10．如图，若四边形ABCD是菱形， AB=10cm，∠ABC=45°，E为边BC上的一个动点，P为BD上的一个动点，求PC+PE的最小值；‎ 点C关于BD的对称点是点A，过点A作AE⊥BC，交BD于点P，则AE就是PE+PC的最小值 在等腰△EAB中，求得AE的长为5 题型7：直角梯形类 例题11．已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=DC=5，点P在BC上移动，则当PA+PD取最小值时，△APD中边AP上的高为（ ）‎ A、 B、 C、 D、3‎ 作点A关于BC的对称点A'，连接A'D，交BC于点P 则A'D = PA'+PD = PA+PD A'D的长就是PA+PD的最小值 S△APD = 4‎ 在直角△ABP中，AB = 4，BP = 1‎ 根据勾股定理，得AP = 所以AP上的高为：2×= 题型8：圆类 例题12．已知⊙O的直径CD为4，∠AOD的度数为60°，点B是的中点，在直径CD上找一点P，使BP+AP的值最小，并求BP+AP的最小值．‎ 即是在直线CD上作一点P，使PA+PB的值最小 作点A关于CD的对称点A'，连接A'B，交CD于点P，则A'B的长就是PA+PB的最小值 连接OA'，OB，则∠A'OB=90°，‎ OA' = OB = 4‎ 根据勾股定理，A'B = 4 例题13．如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值为(    )‎ A  2   B     C  1   D  2‎ 即在MN上求一点P，使PA+PB的值最小 作点A关于MN的对称点A'，连接A'B，交MN于点P，‎ 则点P就是所要作的点 A'B的长就是PA+PB的最小值 连接OA'、OB，则△OA'B是等腰直角三角形 所以 A'B = 题型9：一次函数类 例题14．在平面直角坐标系中，有A（3，－2），B（4，2）两点，现另取一点C（1，n），当n =______时，AC + BC的值最小．‎ 点C（1，n），说明点C在直线x=1上，所以作点A关于直线x=1的对称点A'，连接A'B，交直线x=1于点C，则AC+BC的值最小 设直线A'B的解析式为y=kx+b，则 ‎-2=-k+b ‎2=4k+b 解得：k = (4/5) b = - (6/5)‎ 所以：y = (4/5)x-(6/5)‎ 当x = 1时，y = -(2/5)‎ 故当n = -(2/5)时，AC+BC的值最小 例题15．一次函数y=kx+b的图象与x、y轴分别交于点A（2，0），B（0，4）．‎ ‎（1）求该函数的解析式；‎ ‎（2）O为坐标原点，设OA、AB的中点分别为C、D，P为OB上一动点，求PC＋PD的最小值，并求取得最小值时P点坐标．‎ ‎(1)由题意得：‎ ‎0 = 2x+b ‎4 = b 解得 k = -2，b= 4，所以 y = -2x+4‎ ‎(2)‎ 作点C关于y轴的对称点C'，连接C'D，交y轴于点P 则C'D = C'P+PD = PC+PD C'D就是PC+PD的最小值 连接CD，则CD = 2，CC' = 2‎ 在直角△C'CD中，根据勾股定理 C'D = 2 求直线C'D的解析式，由C'(-1，0)，D(1，2)‎ 所以，有 ‎0 = -k+b ‎2 = k+b 解得 k = 1，b = 1，所以 y = x+1‎ 当x = 0时，y =1，则P(0，1)‎ 题型10：二次函数类 例题16．如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（-2，0），连结0A，将线段OA绕原点O顺时针旋转120。，得到线段OB.‎ ‎（1）求点B的坐标；‎ ‎（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；‎ ‎（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由.（注意：本题中的结果均保留根号）‎ ‎(1)B(1，)‎ ‎(2) ‎(3)因为点O关于对称轴的对称点是点A，则连接AB，‎ 交对称轴于点C，则△BOC的周长最小 ，当x=-1时，y = ‎ 所以C(-1，)‎ 例题17．如图，抛物线y＝x2＋bx－2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A(－1，0)．‎ ‎（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；‎ ‎（2）判断△ABC的形状，证明你的结论；‎ ‎（3）点M(m,0)是x轴上的一个动点，当MC＋MD的值最小时，求m的值．‎ ‎(1) y = ‎ (3)作点C关于x轴的对称点C’，连接C’D，交x轴于点M，则MC+MD的值最小，求出直线C’D的解析式，即可得到M点的坐标 方法点拨：此类试题往往以角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等为背景，但都有一个“轴对称性”的图形共同点，解题时只有从变化的背景中提取出“建泵站问题”的数学模型，再通过找定直线的对称点把同侧线段和转换为异侧线段和，利用“两点之间线段最短”，实现“折”转“直”即可解决。有时问题是求三角形周长或四边形周长的最小值，一般此时会含有定长的线段，依然可以转化为“建泵站问题”。‎ 例题18．如图，在直角坐标系中，A，B，C的坐标分别为（-1，0），（3，0），（0，3），过A，B，C三点的抛物线的对称轴为直线l，D为直线l上的一个动点，‎ ‎(1)求抛物线的解析式；‎ ‎(2)求当AD+CD最小时点D的坐标；‎ ‎(3)以点A为圆心，以AD为半径作圆A；‎ ‎①证明：当AD+CD最小时，直线BD与圆A相切；‎ ‎②写出直线BD与圆A相切时，点D的另一个坐标。‎ ‎(2)‎ 连接BC，交直线l于点D，则DA+DC = DB+DC = BC，‎ BC的长就是AD+DC的最小值 BC：y = -x + 3‎ 则直线BC与直线x = 1的交点D(1，2)，‎ 例题19．如图，已知二次函数的图象与坐标轴交于点A（-1， 0）和点B（0，-5）．‎ ‎（1）求该二次函数的解析式；‎ ‎（2）已知该函数图象的对称轴上存在一点P，使得△ABP的周长最小．请求出点P的坐标．‎ ‎(1) y = x2 – 4x - 5‎ ‎(2)BC：y = x - 5‎ P(2，-3)‎ 例题20．已知等腰三角形ABC的两个顶点分别是A(0，1)、B(0，3)，第三个顶点C在x轴的正半轴上．关于y轴对称的抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A、D(3，－2)、P三点，且点P关于直线AC的对称点在x轴上．‎ ‎(1)求直线BC的解析式；‎ ‎(2)求抛物线y＝ax2＋bx＋c的解析式及点P的坐标；‎ ‎(3)设M是y轴上的一个动点，求PM＋CM的取值范围．‎ ‎(1)以点A为圆心，AB为半径作圆，交x轴的正半轴于点C，‎ 在直角△ACO中 OA = 1，AC = 2‎ 根据勾股定理，得 OC = 故C(，0)‎ 设直线BC的解析式为y = kx+b，则 ‎3 = b ‎0 = +b 解得 k = - ，b = 3‎ ‎(2)因为抛物线关于y轴对称，所以设抛物线的解析式为y = ax2+c，则 ‎1 = c ‎-2 = 9a+c 解得 a = - ， c = 1‎ 在直角△ACO中 AC= 2 ，OA = 1，则 ∠ACO = 30°‎ 在直角△BCO中 OC = ，OB = 3，则∠BCO = 60°‎ 所以CA是∠BCO的角平分线 即直线BC和x轴关于直线AC对称 因为点P关于直线AC的对称点在ｘ轴上 故点P应在直线BC和抛物线上，则有方程组 y = -+ 3‎ y = - + 1‎ 解得 x1 = y1= 0 x2 =2 y2 = -3‎ 所以 P(，0)，或(2，-3)‎ ‎ (3)当点M在y轴上运动时，PM+CM没有最大值，只有最小值，所以 求PM+CM的取值范围，就是要求PM+CM的最小值 当点P与点C重合时，即Ｐ（，０）‎ 点M在原点，PM+CM的值最小，PM+CM = 2 所以 PM+CM ≥ 2 当点P(2，-3)时 作点C关于y 轴的对称点E，过点P作x轴的垂线，垂足为F 在直角△EFP中，EF = 3，PF = 3‎ 根据勾股定理，得EP = 6‎ 所以PM+CM的最小值是6，则 PM+CM ≥ 6‎ 题型11：建桥选址类 例题21．如图，村庄A、B位于一条小河的两侧，若河岸a、b彼此平行，现在要建设一座与河岸垂直的桥CD，问桥址应如何选择，才能使A村到B村的路程最近？‎ ‎ 作法：设a、b的距离为r。‎ ‎ ①把点B竖直向上平移r个单位得到点B'；‎ ‎ ②连接AB'，交a于C；‎ ‎③过C作CDb于D；‎ ‎ ④连接AC、BD。‎ ‎ 证明：∵BB'∥CD且BB'＝CD，‎ ‎ ∴四边形BB'CD是平行四边形，∴CB'＝BD ‎ ∴AC＋CD＋DB＝AC＋CB'＋B'B＝AB'＋B'B ‎ 在a上任取一点C'，作C'D'，连接AC'、D'B，C'B'‎ ‎ 同理可得AC'＋C'D'＋D'B＝AC'＋C'B'＋B'B ‎ 而AC'＋C'B'>A B'‎ ‎∴AC＋CD＋DB最短。‎ 本题是研究AC＋CD＋DB最短时的C、D的取法，而ＣＤ是定值，所以问题集中在研究AC＋DB最小上。但AC、DB不能衔接，可将BD平移B1C处，则AC＋DB可转化为AC＋CB'，要使AC＋CB'最短，显然，A、C、B'三点要在同一条直线上。‎ 题型12：立体图形 例题22．桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖），高为12厘米，底面周长18厘米，在杯口内壁离杯口3厘米的A处有一滴蜜糖，一只小虫从桌上爬至杯子外壁，当它正好爬至蜜糖相对方向离桌面3厘米的B处时，突然发现了蜜糖。问小虫至少爬多少厘米才能到达蜜糖所在的位置。‎ 析：展开图如图所示，作A点关于杯口的对称点A’。则BA’==15厘米 例题23．一只蚂蚁欲从圆柱形桶外的A点爬到桶内的B点处寻找食物，已知点A到桶口的距离AC为12cm，点B到桶口的距离BD为8cm，CD的长为15cm，那么蚂蚁爬行的最短路程是多少？‎ 展开图如右图所示，作点B关于CD的对称点B’，连接AB’，交CD于点P，则蚂蚁爬行路线A→P→B为最短，且AP+PB = AB+PB’，‎ 在直角△AEB’中，AE = CD = 12，EB’ = ED + DB’ = AC + BD = 12 + 8 = 20‎ 由勾股定理知，AB’ = 25‎ 所以，蚂蚁爬行的最短路程是25cm ‎:例题24．如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM ‎⑴ 求证：△AMB≌△ENB；‎ ‎⑵ ①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；‎ ‎②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；‎ ‎⑶ 当AM＋BM＋CM的最小值为时，求正方形的边长.‎ ‎(2)‎ ‎①连接AC，交BD于点M，则AM+CM的值最小 ‎②连接CE交BD于点M，则AM+BM+CM的值最小 ‎∵AM=EN，BM=NM，‎ ‎∴AM+BM+CM=EN+NM+MC=EC 根据“两点之间，线段最短”，可知EN+NM+MC=EC最短 ‎(3)‎ 过点E作CB的延长线的垂线，垂足为F 设正方形ABCD的边长为2x 则在直角△BEF中，∠EBF=30°，所以，EF=x，根据勾股定理：BF= 在直角△CEF中，根据勾股定理： CE2 = EF2 + FC2‎ 得方程： 解得：x = 所以：2x = 分析：本题在最短矩离这一问题中，利用了数形结合的思想，综合考查学生几何、代数知识的运用能力。整个过程充分显示了学生学习数学新知的一般过程：认知——论证——应用。本题的难点在距离最小。第一小问设计由简单的三角形全等的证明让学生得出边之间的相等关系，这里隐藏着由旋转角60°得出的等边三角形，从而得出BM=MN；第二小问设计的是一个探究过程，让学生综合学习过的基本数学知识进行探索，看学生对“两点之间，线段最短”的掌握，要求学生具备转化能力，建模能力等；第三小问的设计主要是将所探究的结论进行运用，拓展，体现了数形结合的思想理念。整个过程体现了特殊问题中的一般规律，是数学知识和问题解决方法的一种自然回归。是近几年中考压轴题的基本模型。‎ 五.垂线段最短型 例题25．如图，在锐角△ABC中，AB = ，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是____．‎ 作点B关于AD的对称点B'，过点B'作B'E⊥AB于点E，交AD于点F，则线段B'E的长就是BM＋ＭＮ的最小值 在等腰Rt△AEB'中，根据勾股定理得到，B'E = 4‎ 例题26．如图，△ABC中，AB=2，∠BAC=30°，若在AC、AB上各取一点M、N，使BM+MN的值最小，则这个最小值 ‎ 作AB关于AC的对称线段AB'，过点B'作B'N⊥AB，垂足为N，交AC于点M，则B'N = MB'+MN = MB+MN B'N的长就是MB+MN的最小值 则∠B'AN = 2∠BAC= 60°，AB' = AB = 2，∠ANB'= 90°，∠B' = 30°。所以AN = 1‎ 在直角△AB'N中，根据勾股定理 B'N = 例题27．某县社会主义新农村建设办公室，为了解决该县甲、乙两村和一所中学长期存在的饮水困难问题，想在这三个地方的其中一处建一所供水站，由供水站直接铺设管道到另外两处。‎ 如图，甲、乙两村坐落在夹角为30°的两条公路的AB段和CD段（村子和公路的宽均不计），点M表示这所中学。点B在点M的北偏西30°的3km处，点A在点M的正西方向，点D在点M的南偏西60°的km处。‎ 为使供水站铺设到另两处的管道长度之和最短，现有如下三种方案：‎ 方案一：供水站建在点M处，请你求出铺设到甲村某处和乙村某处的管道长度之和的最小值；‎ 方案二：供水站建在乙村（线段CD某处），甲村要求管道铺设到A处，请你在图①中，画出铺设到点A和点M处的管道长度之和最小的线路图，并求其最小值；‎ 方案三：供水站建在甲村（线段AB某处），请你在图②中，画出铺设到乙村某处和点M处的管道长度之和最小的线路图，并求其最小值。‎ 综上，你认为把供水站建在何处，所需铺设的管道最短？‎ 方案一 点M到甲村的最小距离是MB，MB=3，点M到乙村的最小距离是MD，MD=2，‎ 所以，最小值是3+2 方案二 作点M关于OE的对称点M'，连接AM'，交CD于点P，则PA+PM = PA+PM' = AM'，‎ AM'的长就是点P到A点和M点的距离之和的最小值.‎ 在Rt△AMM'中，用勾股定理求得AM' = 4 方案三 作点M关于OF的对称点M'，过点M'作M'H⊥OE于点H，交OF于点P、交AM于点G ‎∵GM = 3，∴HE = 3，∵DE = 3，∴H与D重合 在Rt△HM'M中，M'H = 2DH = 4