数学(理)卷·2019届广西南宁市第三中学、柳州铁一中学高二上学期第三次月考(2017-12)

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数学(理)卷·2019届广西南宁市第三中学、柳州铁一中学高二上学期第三次月考(2017-12)

柳州铁一中学、南宁三中高二上学期联考理科数学试卷 ‎ ‎ 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1.已知等差数列的公差为2,且,则( )‎ ‎ A.12 B.13 C.14 D.15‎ ‎2.已知集合,,若是的充分不必要条件,则实数的取值范围为( )‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎3.下列函数中,既是偶函数又在区间上单调递减的是( )‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎4.向量满足,则与的夹角为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎5.以下茎叶图记录了甲,乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位:分)‎ 甲组 乙组 ‎9‎ ‎0‎ ‎9‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎5‎ ‎8‎ ‎7‎ ‎4‎ ‎2‎ ‎4‎ 已知甲组数据的中位数为,乙组数据的平均数为,则的值分别为( )‎ A.2,5 B.5,5 C.5,8 D.8,8‎ ‎6.已知角的终边过点,且,则的值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎7.已知抛物线上一点到焦点的距离为5,则的面积为( )‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 ‎ ‎8.已知实数满足,如果目标函数的最小值为,则实数等于(  )‎ A.﹣4 B.﹣2 C.0 D.1‎ ‎9.已知若,则直线的倾斜角为( )‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎10.某四面体的三视图如右图所示,正视图、俯视图都是腰长为2的等腰 直角三角形,侧视图是边长为2的正方形,则此四面体的体积是( )‎ ‎ A. B. ‎ ‎ C. D.‎ ‎11.已知点分别为椭圆与双曲线的公共焦点,分别是和的离心率,若 是和在第一象限内交点,,则的值可能在下列哪个区间( )‎ A. B. C. D.‎ ‎12.若实数满足,且,则的最小值为( )‎ A. B. C. D.‎ 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.只填结果)‎ ‎13.曲线在点处的切线方程为________.‎ ‎14 设正四面体的棱长为,则它的外接球的体积为 .‎ ‎15.直线与双曲线交于两点,则的中点坐标为 .‎ ‎16.已知椭圆方程为,M是椭圆上一动点,和是左、右两焦点,由向的外角平分线作垂线,垂足为N,则N点的轨迹方程为 .‎ 三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤).‎ ‎17.(本题满分10分)已知数列是递增的等比数列,且 ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)设为数列的前项和,,求数列的前项和。‎ ‎18.(本题满分12分)在中,角的对边分别为,已知向量 ‎,,且.‎ ‎(1)求角的大小;‎ ‎(2)若点为上一点,且满足,求的面积.‎ ‎19.(本题满分12分)某校100名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图:‎ ‎(1)求图中的值;‎ ‎(2)根据频率分布直方图,估计这100名学生期中考试数学成绩的平均分;‎ ‎(3)现用分层抽样的方法从第3、4、5组中随机抽取6名学生,将该样本看成一个总体,从中随机抽取2名,求其中恰有1人的分数不低于90分的概率?‎ ‎20.(本题满分12分)已知直线与双曲线有两个不同的交点,‎ 求双曲线离心率的范围. ‎ ‎21.(本题满分12分)如右下图,在四棱锥中,直线平面,,,‎ ‎(I)求证:直线平面. ‎ ‎(II)若直线与平面所成的角的正弦值为,求二面角的平面角的余弦值.‎ ‎22.(本题满分12分)设椭圆的离心率,右焦点到直线的距离为坐标原点.‎ ‎ (1)求椭圆的方程;‎ ‎ (2)过点作两条互相垂直的射线,与椭圆分别交于、两点,证明点到直线的 距离为定值,并求弦长度的最小值.‎ ‎柳州铁一中学、南宁三中高二上学期联考理科数学试卷答案 ‎1.C ‎2.A 解析:,,且是的充分不必要条件,,则;故选A.‎ ‎3.D 解析: 是奇函数,是偶函数,且在区间上单 调递增,是偶函数,且在单调递减,在单调递增,‎ 是偶函数,且;故选D.‎ ‎4.A ‎ ‎5.C 解析:由茎叶图,得甲组数据共5个,且中位数为15,所以,乙组数据的平均值 ‎ ,解得,故选C。‎ 6. A 解析:点 , ,,‎ 即.解得 . ,.所以 ‎7.B 8.C ‎9. D 解析:令,则,即,则直线的斜率为,其倾斜角为;故选D.‎ ‎10.A ‎ 11. ‎ A 设椭圆的长半轴长为,双曲线的实半轴长为,焦点坐标为,由椭圆与双曲线的定义得,,由勾股定理得 ‎ 联立方程得,即 ‎ 由均值不等式得,由于,则 11. D 解:令,则,,则 ‎ 当且仅当取等号 ‎13. ‎ ‎14. 解析:设四面体为ABCD,过点A作平面,则为的中心 ‎ ,设四面体外接球的半径为,由勾股定理得,解得,‎ ‎15. 解析:设,的中点坐标为,代入双曲线方程化简得,则,又,联立方程即可得。[来源]‎ ‎16. 解析:延长交直线于A点,则是的垂直平分线,则 ‎ ,由椭圆的定义得,又是的中位线,则 ‎17 解:(Ⅰ)由题设知 ……1分 又,可解得或(舍去) ……3分 由得公比 ……4分 故, ……6分.‎ ‎(Ⅱ) ……8分,‎ 又 ……10分,‎ 所以 ‎ ……12分 ‎18 解(1)由,得,‎ 由正弦定理可得, ……2分 ‎∴, ……4分 ‎∵,∴,∵,∴ ……6分 ‎(2)∵,∴,‎ 又,两边平方: ①‎ ‎∵ ② ……8分 由①②可得 ……10分,‎ ‎∴. ……12分 ‎19解:(1)由题意得10a+0.01×10+0.02×10+0.03×10+0.035×10=1,所以a=0.005. ……2分 ‎(2)由直方图分数在[50,60]的频率为0.05,[60,70]的频率为0.35,[70,80]的频率为0.30,‎ ‎[80,90]的频率为0.20,[90,100]的频率为0.10,所以这100名学生期中考试数学成绩的平均分的估计值为:55×0.05+65×0.35+75×0.30+85×0.20+95×0.10=74.5 ……6分 ‎(3)由直方图,得:第3组人数为0.3×100=30。第4组人数为0.2×100=20人,第5组人数为0.1×100=10人.所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生,第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人.设第3组的3位同学为A1,A2,A3,第4组的2位同学为B1,B2,第5组的1位同学为C1,则从六位同学中抽两位同学有15种可能如下:‎ ‎(A1,A2),(A1,A3),(B1,B2),(A2,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(A1,C1),(A2,C1),(A3,C1),(B1,C1),(B2,C1), ……9分 其中恰有1人的分数不低于90(分)的情形有:(A1,C1),(A2,C1),(A3,C1),(B1,C1),(B2,C1),共5种.……11分 所以其中第4组的2位同学至少有一位同学入选的概率为 ……12分 20. 解:联立消去得 ……3分 由于直线与双曲线有两个不同的交点,则且 ……6分 解得或 ……8分 ‎, ……10分 ‎ ……12分 ‎21.解:(Ⅰ)∵平面∴ 又∵,‎ 故可建立建立如图所示坐标系 ……1分.‎ 由已知,,,()‎ ‎∴,,‎ ‎∴,. ……4分,‎ ‎∴,,∴平面 ……6分 ‎(Ⅱ)由(Ⅰ),平面的一个法向量是,‎ 设直线与平面所成的角为,‎ ‎∴,‎ ‎∵ ∴,即 ……8分 设平面的一个法向量为,,‎ 由,∴,令,则 …10分 ‎∴, ………11分 ‎ 二面角的平面角是锐角,∴二面角的余弦值为 …12分 21. 解:(I)由 ……1分 由右焦点到直线的距离为 得: 解得 ……3分 所以椭圆C的方程为 …………4分 ‎ (II)设,‎ ‎①当直线的斜率不存在时,设直线AB的方程为 与椭圆联立消去y得…………5分 由韦达定理得 …………6分 ‎ ‎ ‎ 即 ‎ 整理得 …………8分 所以O到直线AB的距离 …………9分 ‎ 当直线的斜率不存在时,其方程为,‎ 点O到直线AB的距离为 …………10分 ‎,‎ 当且仅当OA=OB时取“=”号。由 ‎ 即弦AB的长度的最小值是 …………12分
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