2012年数学南通市学科基地密卷(一)

2012年数学南通市学科基地密卷(一)

‎2012届南通市数学学科基地密卷(一)‎ 一、填空题 ‎1、执行以下语句后,打印纸上打印出的结果应是: ▲ ．‎ While <10‎ End While Print “”‎ ‎2、,,若对应点在第二象限,则m的取值范围为 ▲ ．‎ ‎3、已知，若函数的最小正周期是2,‎ ‎ 则 ▲ ．‎ ‎4、函数的定义域为,若满足①在内是单调函数,②存在,使在上的值域为,那么叫做对称函数,现有是对称函数, 那么的取值范围是 ▲ ．‎ ‎5、已知函数，，则的单调减区间是 ▲ ．‎ ‎6、在数轴上区间内，任取三个点，则它们的坐标满足不等式：‎ 的概率为 ▲ ．‎ ‎7、P为抛物线上任意一点，P在轴上的射影为Q，点M（4，5），则PQ与PM 长度之和的最小值为： ▲ ．‎ ‎8、定义在上满足:，当时，=，‎ 则= ▲ ．‎ ‎9、过平面区域内一点作圆的两条切线，切点分别为，‎ 记，则当最小时 ▲ ．‎ ‎10、如图所示的数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，他们是由整数的倒数组成的，第行有个 ‎ 数且两端的数均为，每个数是它下一行左右相邻两数的和，‎ 如：…，则第行第3个数字是 ▲ ．‎ ‎11、已知正方形的坐标分别是,,，，动点M满足： 则 ▲ ．‎ ‎12、“”是“对正实数，”的充要条件，则实数 ▲ ．‎ ‎13、设是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列正确命题序号是 ▲ ．‎ ‎(1)若m∥,n∥,则m∥n， (2)若则 ‎(3)若，且，则；(4)若，，则 ‎14、已知全集，集合，则中最 ‎ 大的元素是 ▲ ．‎ 二、解答题 ‎15、已知数列满足：.‎ ‎（Ⅰ）求证：使；‎ ‎（Ⅱ）求的末位数字.‎ ‎16、‎ 在如图的多面体中，⊥平面，,，，‎ ‎，，，是的中点．‎ ‎(Ⅰ) 求证：平面；‎ ‎(Ⅱ) 求证：；‎ ‎(Ⅲ)求多面体的体积. ‎ ‎17、‎ ‎ 已知双曲线的两焦点为，为动点，若．‎ ‎（Ⅰ）求动点的轨迹方程；‎ ‎（Ⅱ）若，设直线过点，且与轨迹交于、两点，直线与交于点．试问：当直线在变化时，点是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条定直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由．‎ ‎18、‎ ‎ 如图所示：一吊灯的下圆环直径为‎4m，圆心为O，通过细绳悬挂在天花板上，圆环呈水平状态，并且与天花板的距离为‎2m，在圆环上设置三个等分点A1，A2，A3。点C为上一点（不包含端点O、B），同时点C与点A1，A2，A3，B均用细绳相连接，且细绳CA1，CA2，CA3的长度相等。设细绳的总长为 ‎（1）设∠CA1O = (rad)，将y表示成θ的函数关系式；‎ ‎（2）请你设计，当角θ正弦值的大小是多少时，细绳总长y最小，并指明此时 BC应为多长。‎ B A1‎ A2‎ C O A3‎ ‎19、‎ ‎ 已知，数列有（常数），对任意的正整数，并有满足。‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）试确定数列是不是等差数列，若是，求出其通项公式。若不是，说明理由；‎ ‎（3）令，是否存在正整数M，使不等式恒成立，若存在，求出M的最小值，若不存在，说明理由。‎ ‎20、‎ ‎ 已知函数 ‎(1)求的单调区间；‎ ‎(2)若关于的不等式对一切都成立，求范围；‎ ‎(3)某同学发现：总存在正实数使，试问：他的判断是否正确；‎ 若正确，请写出的范围；不正确说明理由．‎ ‎21、如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，⊥AC，M是的中点，N是BC的中点，点P在直线上，且满足.‎ ‎（Ⅰ）当取何值时，直线PN与平面ABC所成的角最大？‎ P N M A B C ‎（Ⅱ）若平面PMN与平面ABC所成的二面角为，试确定点P的位置.‎ ‎22、‎ ‎ 已知二次函数f (x)=x2+mx+n对任意x∈R，都有f (－x) = f (2＋x)成立，设向量 ‎= ( sinx , 2 ) ，= (2sinx , )，= ( cos2x , 1 )，=(1,2)，‎ ‎（Ⅰ）求函数f (x)的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）当x∈[0,π]时，求不等式f (·)＞f (·)的解集.‎ ‎23、（1）（矩阵与变换）求矩阵M=的特征值及其对应的特征向量.‎ ‎（2） （坐标系与参数方程）在平面直角坐标系中，椭圆C的参数方程为，其中为参数.以O为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为.求椭圆C上的点到直线l距离的最大值和最小值.‎ 以下是答案 一、填空题 ‎1、28‎ ‎2、 ‎ ‎3、－1 ‎ ‎4、由于在上是减函数，所以关于的方程在上有两个不同实根。通过换元结合图象可得 ‎5、‎ ‎6、的实质是点在点之间，故考虑它们的排列顺序可得答案为 ‎7、解析：焦点=,而的最小值是 ‎8、2 ‎ ‎9、当离圆最远时最小，此时点坐标为：记，‎ 则，计算得= ‎ ‎10、‎ ‎， ‎ ‎11、设点的坐标为，∵，∴． 整理，得（），发现动点M的轨迹方程是椭圆，其焦点恰为两点，所以 ‎12、若则不符合题意，若则于是，亦可转化为二次函数恒成立展开讨论。‎ ‎13、(3) (4) ‎ ‎14、3‎ 二、解答题 ‎15、解：⑴当 假设当 则当时，‎ ‎…‎ ‎ ‎ 其中….‎ 所以 所以；‎ ‎（2），故的末位数字是7.‎ ‎ ‎ ‎16、解：(Ⅰ)证明：∵，∴.‎ ‎ 又∵,是的中点， ∴，‎ ‎ ∴四边形是平行四边形，∴ . ‎ ‎∵平面，平面，∴平面. ‎ ‎(Ⅱ)证明：∵平面，平面，∴， ‎ 又，平面，∴平面. ‎ 过作交于，则平面.‎ ‎∵平面， ∴. ‎ ‎∵，∴四边形平行四边形，∴，‎ ‎∴，又，‎ ‎∴四边形为正方形，∴， ‎ 又平面，平面,∴⊥平面. ‎ ‎∵平面, ∴. ‎ ‎(Ⅲ) ∵平面，，∴平面， ‎ 由（2）知四边形为正方形，∴. ‎ ‎∴， ‎ ‎17、解法一：‎ ‎（Ⅰ）由题意知：，又∵，∴动点必在以为焦点，‎ 长轴长为4的椭圆，∴，又∵，． ‎ ‎∴椭圆的方程为．‎ ‎（Ⅱ）由题意，可设直线为：．‎ 取得，直线的方程是 直线的方程是交点为 ‎ 若，由对称性可知交点为 若点在同一条直线上，则直线只能为．‎ ‎②以下证明对于任意的直线与直线的交点均在直线上．‎ 事实上，由，得即，‎ 记，则．‎ 设与交于点由得 设与交于点由得 ‎， ‎ ‎∴，即与重合，‎ 这说明，当变化时，点恒在定直线上．‎ 解法二：‎ ‎（Ⅰ）同解法一．‎ ‎（Ⅱ）取得，直线的方程是直线的方程是交点为 取得，直线的方程是直线的方程是交点为∴若交点在同一条直线上，则直线只能为．‎ 以下证明对于任意的直线与直线的交点均在直线上．‎ 事实上，由，得即，‎ 记，则．‎ 的方程是的方程是 消去得…………………………………… ①‎ 以下用分析法证明时，①式恒成立。‎ 要证明①式恒成立，只需证明 即证即证……………… ②‎ ‎∵∴②式恒成立．‎ 这说明，当变化时，点恒在定直线上．‎ 解法三：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）由，得 即．‎ 记，则．‎ 的方程是的方程是 ‎ 由得 ‎ 即 ‎ ．‎ 这说明，当变化时，点恒在定直线上．‎ ‎18、 （Ⅰ）解：在△COA1中，‎ ‎，， ‎ ‎=‎ ‎（）‎ ‎（Ⅱ）， ‎ 令，则 ‎ 当时，；时，，‎ ‎∵在上是增函数 ‎∴当角满足时，y最小，最小为；此时BCm ‎ B A1‎ A2‎ C O A3‎ ‎19、 解：（1）由已知，得， ∴ ‎ ‎ （2）由得则，‎ ‎∴，即，‎ 于是有，并且有，‎ ‎∴即，‎ 而是正整数，则对任意都有，‎ ‎∴数列是等差数列，其通项公式是。 ‎ ‎（3）∵‎ ‎∴‎ ‎；‎ 由是正整数可得，故存在最小的正整数M=3，使不等式恒成立。‎ ‎20、（1）定义域 ‎ ∴ ∴在递增，递减 ‎（2）由题 ‎ ‎ ∴时， 时，‎ ‎ 时，‎ ‎21、解：（1）以AB,AC,分别为轴，建立空间直角坐标系，‎ 则，‎ 平面ABC的一个法向量为则 （*）‎ 于是问题转化为二次函数求最值，而当最大时，最大，所以当时，‎ ‎.‎ ‎（3）已知给出了平面PMN与平面ABC所成的二面角为，即可得到平面ABC的一个法向量为 ‎，设平面PMN的一个法向量为，.‎ 由得 ，解得.‎ 令于是由 ‎，‎ 解得的延长线上，且.‎ ‎22、解；（1）设f(x)图象上的两点为A(－x,y1）、B(2＋x, y2），因为=1 ‎ ‎ f (－x) = f (2＋x)，所以y1= y2‎ 由x的任意性得f(x)的图象关于直线x=1对称，‎ ‎∴x≥1时，f(x)是增函数 ；x≤1时，f(x)是减函数。‎ ‎（2）∵·=（sinx，2）·（2sinx, ）=2sin2x＋1≥1，‎ ‎·=（cos2x，1）·(1,2)=cos2x＋2≥1，‎ ‎∵f(x)在是[1，+∞）上为增函数，∴f (·)＞f (·)f(2sin2x＋1)＞ f(cos2x＋2)‎ ‎ 2sin2x＋1＞cos2x＋21－cos2x＋1＞cos2x＋2‎ ‎ cos2x＜02kπ＋＜2x＜2kπ＋,k∈z kπ＋＜x＜kπ＋, k∈z ∵0≤x≤π ∴＜x＜‎ 综上所述，不等式f (·)＞f (·)的解集是：{ x|＜x＜ } 。‎ ‎23、解：矩阵M的特征多项式为=.‎ 令得矩阵M的特征值为－1和3 .‎ 当 所以矩阵M的属于特征值－1的一个特征向量为.‎ 当 所以矩阵M的属于特征值3的一个特征向量为.‎ ‎（2）解：直线l的普通方程为：，设椭圆C上的点到直线l距离为.‎ ‎∴当时，，当时，.‎