2020届艺术生高考数学二轮复习课时训练：第十一章 选修模块 第2节
第十一章 第2节
1．已知函数f(x)＝|x＋1|－|x－2|.
(1)求不等式f(x)≥1的解集；
(2)若不等式f(x)≥x2－x＋m的解集非空，求m的取值范围．
解析：(1)f(x)＝
当x<－1时，f(x)≥1无解；
当－1≤x≤2时，由f(x)≥1得，2x－1≥1，
解得1≤x≤2；
当x>2时，由f(x)≥1解得x>2.
所以f(x)≥1的解集为{x|x≥1}．
(2)由f(x)≥x2－x＋m，
得m≤|x＋1|－|x－2|－x2＋x.
而|x＋1|－|x－2|－x2＋x≤|x|＋1＋|x|－2－x2＋|x|＝－2＋≤，
且当x＝时，|x＋1|－|x－2|－x2＋x＝.
故m的取值范围为.
2．(2018·全国Ⅲ卷)设函数f(x)＝|2x＋1|＋|x－1|.
(1)画出y＝f(x)的图像；
(2)当x∈[0，＋∞)时，f(x)≤ax＋b，求a＋b的最小值．
解：(1)当x≤－时，f(x)＝－2x－1－x＋1＝－3x，
当－
1的解集；
(2)若x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立，求a的取值范围．
解：(1)当a＝1时，f(x)＝|x＋1|－|x－1|，
即f(x)＝
故不等式f(x)＞1的解集为{x|x＞}．
(2)当x∈(0,1)时|x＋1|－|ax－1|＞x成立等价于当x∈(0,1)时|ax－1|＜1成立．
若a≤0，则当x∈(0,1)时|ax－1|≥1；
若a＞0，则|ax－1|＜1的解集为，
所以≥1，故0＜a≤2.
综上，a的取值范围为(0,2]．
4．(2020·新疆适应性检测)设函数f(x)＝|2x＋1|－|2x－4|，g(x)＝9＋2x－x2.
(1)解不等式f(x)>1；
(2)证明：|8x－16|≥g(x)－2f(x)．
解：(1)当x≥2时，f(x)＝2x＋1－(2x－4)＝5>1，∴x≥2.
当－≤x<2时，f(x)＝2x＋1－(4－2x)＝4x－3>1，得x>1，∴11不成立，无解．
综上，f(x)>1的解集为(1，＋∞)．
(2)要证|8x－16|≥g(x)－2f(x)，只需证2f(x)＋|8x－16|≥g(x)．
∵2f(x)＋|8x－16|＝|4x＋2|＋|4x－8|≥|4x＋2－(4x－8)|＝10，
当且仅当－≤x≤2时等号成立，∴2f(x)＋|8x－16|的最小值是10.
又g(x)＝－(x－1)2＋10≤10，∴g(x)的最大值是10，此时x＝1.
∵1∈，∴2f(x)＋|8x－16|≥g(x)，
∴|8x－16|≥g(x)－2f(x)．
5．(2020·石家庄模拟)已知函数f(x)＝|ax－1|－(a－2)x.
(1)当a＝3时，求不等式f(x)>0的解集；
(2)若函数f(x)的图象与x轴没有交点，求实数a的取值范围．
解：(1)当a＝3时，不等式可化为|3x－1|－x>0，
即|3x－1|>x，
∴3x－1<－x或3x－1>x，即x<或x>，
∴不等式f(x)>0的解集为{x|x<或x>}．
(2)当a>0时，f(x)＝
要使函数f(x)的图象与x轴无交点，
只需解得1≤a<2.
当a＝0时，f(x)＝2x＋1，函数f(x)的图象与x轴有交点，不合题意；
当a<0时，f(x)＝
要使函数f(x)的图象与x轴无交点，
只需此时无解．
综上可知，若函数f(x)的图象与x轴无交点，则实数a的取值范围为[1,2)．
6．(2019·长沙、南昌联考)已知函数f(x)＝|x－2|＋|x＋1|.
(1)解不等式f(x)≥5；
(2)若不等式f(x)<3x＋a在(0,3)上恒成立，求实数a的取值范围．
解：(1)∴f(x)≥5可化为|x－2|＋|x＋1|≥5，
则，或，或.
解得x≥3或x≤－2.
所以原不等式的解集为(－∞，－2]∪[3，＋∞)．
(2)不等式f(x)≤3x＋a在(0,3)上恒成立，
即|x－2|＋|x＋1|<3x＋a在(0,3)上恒成立，
即|x－2|<2x＋a－1在(0,3)恒成立．
亦即－2x－a＋1
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