数学卷·2018届陕西省西安一中高二上学期第二次月考数学试卷（文科） （解析版）

数学卷·2018届陕西省西安一中高二上学期第二次月考数学试卷（文科） （解析版）

‎2016-2017学年陕西省西安一中高二（上）第二次月考数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题：只有一项符合题目要求（共12小题，每小题3分，共36分）‎ ‎1．命题“若α=，则tanα=1”的逆否命题是（　　）‎ A．若α≠，则tanα≠1 B．若α=，则tanα≠1‎ C．若tanα≠1，则α≠ D．若tanα≠1，则α=‎ ‎2．已知椭圆+=1上一点P到椭圆的一个焦点的距离为3，则点P到另一个焦点的距离为（　　）‎ A．2 B．3 C．5 D．7‎ ‎3．命题“对任意的x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是（　　）‎ A．不存在x∈R，x3﹣x2+1≤0 B．存在x∈R，x3﹣x2+1≤0‎ C．存在x∈R，x3﹣x2+1＞0 D．对任意的x∈R，x3﹣x2+1＞0‎ ‎4．下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y=±2x的是（　　）‎ A．x2﹣=1 B．﹣y2=1 C．﹣x2=1 D．y2﹣=1‎ ‎5．抛物线y=4x2的焦点坐标是（　　）‎ A．（0，1） B．（0，） C．（1，0） D．（，0）‎ ‎6．已知双曲线﹣=1的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．曲线在点（1，﹣1）处的切线方程为（　　）‎ A．y=﹣2x+3 B．y=﹣2x﹣3 C．y=﹣2x+1 D．y=2x+1‎ ‎8．下列结论正确的是个数为（　　）‎ ‎①y=ln2 则y′=；‎ ‎②y= 则y′=‎ ‎③y=e﹣x 则y′=﹣e﹣x；‎ ‎④y=cosx 则y′=sinx．‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎9．已知椭圆E：的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为（1，﹣1），则E的方程为（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎10．已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足关系式f（x）=x2+3xf′（1），则f′（1）的值等于（　　）‎ A． B． C．1 D．﹣1‎ ‎11．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，双曲线﹣=1的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆的方程为（　　）‎ A． +=1 B． +=1 C． +=1 D． +=1‎ ‎12．函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）=1，对任意x∈R，f′（x）＞3，则f（x）＞3x+4的解集为（　　）‎ A．（﹣1，1） B．（﹣1，+∞） C．（﹣∞，﹣1） D．（﹣∞，+∞）‎ ‎　‎ 二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题4分，共20分）‎ ‎13．焦点在y轴的椭圆x2+ky2=1的长轴长是短轴长的2倍，那么k等于　　．‎ ‎14．函数f（x）=+lnx的导函数是f′（x），则f′（﹣1）=　　．‎ ‎15．椭圆的左右焦点为F1，F2，b=4，离心率为，过F1的直线交椭圆于A、B两点，则△ABF2的周长为　　．‎ ‎16．函数f（x）=xlnx的减区间是　　．‎ ‎17．设F1、F2是椭圆E： =1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线x=上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则椭圆E的离心率为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎18．设椭圆C： +=1（a＞b＞0）过点（0，4），离心率为．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）求过点（3，0）且斜率为的直线被椭圆所截得线段的中点坐标．‎ ‎19．已知p：∀x∈R，不等式x2﹣mx+＞0恒成立，q：椭圆+=1的焦点在x轴上，若“p或q”为真，“p且q”为假，求实数m的取值范围．‎ ‎20．设函数f（x）=x3﹣3ax+b（a＞0）．‎ ‎（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（2，f（2））处与直线y=8相切，求a，b的值；‎ ‎（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间．‎ ‎21．过点（0，4），斜率为﹣1的直线与抛物线y2=2px（p＞0）交于两点A、B，且弦|AB|的长度为4．‎ ‎（1）求p的值；‎ ‎（2）求证：OA⊥OB（O为原点）．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年陕西省西安一中高二（上）第二次月考数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：只有一项符合题目要求（共12小题，每小题3分，共36分）‎ ‎1．命题“若α=，则tanα=1”的逆否命题是（　　）‎ A．若α≠，则tanα≠1 B．若α=，则tanα≠1‎ C．若tanα≠1，则α≠ D．若tanα≠1，则α=‎ ‎【考点】四种命题间的逆否关系．‎ ‎【分析】原命题为：若a，则b．逆否命题为：若非b，则非a．‎ ‎【解答】解：命题：“若α=，则tanα=1”的逆否命题为：若tanα≠1，则α≠．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎2．已知椭圆+=1上一点P到椭圆的一个焦点的距离为3，则点P到另一个焦点的距离为（　　）‎ A．2 B．3 C．5 D．7‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】先根据条件求出a=5；再根据椭圆定义得到关于所求距离d的等式即可得到结论．‎ ‎【解答】解：设所求距离为d，由题得：a=5．‎ 根据椭圆的定义得：2a=3+d⇒d=2a﹣3=7．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎3．命题“对任意的x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是（　　）‎ A．不存在x∈R，x3﹣x2+1≤0 B．存在x∈R，x3﹣x2+1≤0‎ C．存在x∈R，x3﹣x2+1＞0 D．对任意的x∈R，x3﹣x2+1＞0‎ ‎【考点】命题的否定．‎ ‎【分析】根据命题“对任意的x∈R，x3﹣x2+1≤0”是全称命题，其否定是对应的特称命题，从而得出答案．‎ ‎【解答】解：∵命题“对任意的x∈R，x3﹣x2+1≤0”是全称命题 ‎∴否定命题为：存在x∈R，x3﹣x2+1＞0‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎4．下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y=±2x的是（　　）‎ A．x2﹣=1 B．﹣y2=1 C．﹣x2=1 D．y2﹣=1‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】对选项首先判定焦点的位置，再求渐近线方程，即可得到答案．‎ ‎【解答】解：由A可得焦点在x轴上，不符合条件；‎ 由B可得焦点在x轴上，不符合条件；‎ 由C可得焦点在y轴上，渐近线方程为y=±2x，符合条件；‎ 由D可得焦点在y轴上，渐近线方程为y=x，不符合条件．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎5．抛物线y=4x2的焦点坐标是（　　）‎ A．（0，1） B．（0，） C．（1，0） D．（，0）‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】把抛物线y=4x2的方程化为标准形式，确定开口方向和p值，即可得到焦点坐标．‎ ‎【解答】解：抛物线y=4x2的标准方程为 x2=y，p=，开口向上，焦点在y轴的正半轴上，‎ 故焦点坐标为（0，），‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎6．已知双曲线﹣=1的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】双曲线的标准方程；抛物线的简单性质；双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】先根据抛物线方程求得焦点坐标，进而确定双曲线的焦点，求得双曲线中的c，根据离心率进而求得长半轴，最后根据b2=c2﹣a2求得b，则双曲线的方程可得．‎ ‎【解答】解：抛物线y2=4x的焦点F（1，0），‎ 双曲线的方程为 故选D ‎　‎ ‎7．曲线在点（1，﹣1）处的切线方程为（　　）‎ A．y=﹣2x+3 B．y=﹣2x﹣3 C．y=﹣2x+1 D．y=2x+1‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】对函数求导，由导数的几何意义可求曲线在点（1，﹣1）处的切线斜率k，进而可求切线方程 ‎【解答】解：对函数求导可得，‎ 由导数的几何意义可知，曲线在点（1，﹣1）处的切线斜率k=﹣2‎ 曲线在点（1，﹣1）处的切线方程为y+1=﹣2（x﹣1）即y=﹣2x+1‎ 故选C ‎　‎ ‎8．下列结论正确的是个数为（　　）‎ ‎①y=ln2 则y′=；‎ ‎②y= 则y′=‎ ‎③y=e﹣x 则y′=﹣e﹣x；‎ ‎④y=cosx 则y′=sinx．‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【考点】导数的运算．‎ ‎【分析】根据导数的公式进行判断即可．‎ ‎【解答】解：①y=ln2 则y′=0，故①错误；‎ ‎②y= 则y′=，正确，故②正确，‎ ‎③y=e﹣x 则y′=﹣e﹣x；正确，故③正确，‎ ‎④y=cosx 则y′=﹣sinx．故④错误，‎ 故正确的有2个，‎ 故选：B ‎　‎ ‎9．已知椭圆E：的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为（1，﹣1），则E的方程为（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【考点】椭圆的标准方程．‎ ‎【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程得，利用“点差法”可得．利用中点坐标公式可得x1+x2=2，y1+y2=﹣2，利用斜率计算公式可得==．于是得到，化为a2=2b2，再利用c=3=，即可解得a2，b2．进而得到椭圆的方程．‎ ‎【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 代入椭圆方程得，‎ 相减得，‎ ‎∴．‎ ‎∵x1+x2=2，y1+y2=﹣2， ==．‎ ‎∴，‎ 化为a2=2b2，又c=3=，解得a2=18，b2=9．‎ ‎∴椭圆E的方程为．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎10．已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足关系式f（x）=x2+3xf′（1），则f′（1）的值等于（　　）‎ A． B． C．1 D．﹣1‎ ‎【考点】导数的运算．‎ ‎【分析】对f（x）求导，将x=1代入导函数求出．‎ ‎【解答】解：∵f（x）=x2+3xf′（1），∴f′（x）=2x+3f′（1）．‎ ‎∴当x=1时有f′（1）=2+3f′（1）．解得f′（1）=﹣1．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎11．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，双曲线﹣=1的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆的方程为（　　）‎ A． +=1 B． +=1 C． +=1 D． +=1‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】由题意，双曲线﹣=1的渐近线方程为y=±x，根据以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，可得（2，2）在椭圆C： +=1（a＞b＞0），利用e=，即可求得椭圆方程．‎ ‎【解答】解：由题意，双曲线﹣=1的渐近线方程为y=±x ‎∵以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，故边长为4，‎ ‎∴（2，2）在椭圆C： +=1（a＞b＞0）上 ‎∴，‎ ‎∵e=，∴，‎ ‎∴a2=4b2‎ ‎∴a2=20，b2=5‎ ‎∴椭圆方程为+=1．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎12．函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）=1，对任意x∈R，f′（x）＞3，则f（x）＞3x+4的解集为（　　）‎ A．（﹣1，1） B．（﹣1，+∞） C．（﹣∞，﹣1） D．（﹣∞，+∞）‎ ‎【考点】导数的运算．‎ ‎【分析】构造函数F（x）=f（x）﹣（3x+4），由f（﹣1）=1得F（﹣1）的值，求F（x）的导函数，根据f′（x）＞3，得F（x）在R上为增函数，‎ 根据函数的单调性得F（x）大于0的解集，从而得所求不等式的解集．‎ ‎【解答】解：设F（x）=f（x）﹣（3x+4），‎ 则F（﹣1）=f（﹣1）﹣（﹣3+4）=1﹣1=0，‎ 又对任意x∈R，f′（x）＞3，∴F′（x）=f′（x）﹣3＞0，‎ ‎∴F（x）在R上是增函数，‎ ‎∴F（x）＞0的解集是（﹣1，+∞），‎ 即f（x）＞3x+4的解集为（﹣1，+∞）．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ 二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题4分，共20分）‎ ‎13．焦点在y轴的椭圆x2+ky2=1的长轴长是短轴长的2倍，那么k等于　‎ ‎　．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】根据题意，将椭圆的方程变形为=1，由其焦点的位置可得a=，b=1，结合题意，其长轴长是短轴长的2倍，则有2=2×2，解可得k的值，即可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，椭圆的方程为x2+ky2=1，‎ 变形可得=1，‎ 又由其焦点在y轴上，则＞1，且a=，b=1，‎ 若其长轴长是短轴长的2倍，则有2=2×2，‎ 解可得k=，‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎14．函数f（x）=+lnx的导函数是f′（x），则f′（﹣1）=　　．‎ ‎【考点】导数的运算．‎ ‎【分析】求函数的导数，令x=﹣1，即可得到结论．‎ ‎【解答】解：f（x）=+lnx=﹣+lnx，‎ 则f（x）的导数f′（x）=﹣+，‎ 则f′（﹣1）==，‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎15．椭圆的左右焦点为F1，F2‎ ‎，b=4，离心率为，过F1的直线交椭圆于A、B两点，则△ABF2的周长为　20　．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】由椭圆性质列出方程组，求出a，再由椭圆定义得△ABF2的周长为4a，由此能求出结果．‎ ‎【解答】解：∵椭圆的左右焦点为F1，F2，b=4，离心率为，‎ ‎∴，解得a=5，b=4，c=3，‎ ‎∵过F1的直线交椭圆于A、B两点，‎ ‎∴△ABF2的周长为4a=20．‎ 故答案为：20．‎ ‎　‎ ‎16．函数f（x）=xlnx的减区间是　　．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】先求定义域，再令导数≤0解不等式，取交集可得．‎ ‎【解答】解：由题意函数的定义域为（0，+∞），‎ 求导数可得f′（x）=x′lnx+x（lnx）′‎ ‎=1+lnx，令f′（x）=1+lnx≤0，‎ 解之可得x≤‎ 故函数的减区间为：‎ 故答案为：‎ ‎　‎ ‎17．设F1、F2是椭圆E： =1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线x=上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则椭圆E的离心率为　‎ ‎　．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】利用△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，可得|PF2|=|F2F1|，根据P为直线x=上一点建立方程，由此可求椭圆的离心率．‎ ‎【解答】解：设x=交x轴于点M，‎ ‎∵△F2PF1是底角为30°的等腰三角形 ‎∴∠PF2F1=120°，|PF2|=|F2F1|，且|PF2|=2|F2M|‎ ‎∵P为直线x=上一点，‎ ‎∴2（﹣c）=2c，解之得3a=4c ‎∴椭圆E的离心率为e==‎ 故答案为：‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎18．设椭圆C： +=1（a＞b＞0）过点（0，4），离心率为．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）求过点（3，0）且斜率为的直线被椭圆所截得线段的中点坐标．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．‎ ‎【分析】（1）椭圆C： +=1（a＞b＞0）过点（0，4），可求b，利用离心率为，求出a，即可得到椭圆C的方程；‎ ‎（2）过点（3，0）且斜率为的直线为y=（x﹣3），代入椭圆C方程，整理，利用韦达定理，确定线段的中点坐标．‎ ‎【解答】解：（1）将点（0，4）代入椭圆C的方程得=1，∴b=4，…‎ 由e==，得1﹣=，∴a=5，…‎ ‎∴椭圆C的方程为+=1．…‎ ‎（2）过点（3，0）且斜率为的直线为y=（x﹣3），…‎ 设直线与椭圆C的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 将直线方程y=（x﹣3）代入椭圆C方程，整理得x2﹣3x﹣8=0，…‎ 由韦达定理得x1+x2=3，‎ y1+y2=（x1﹣3）+（x2﹣3）=（x1+x2）﹣=﹣．…‎ 由中点坐标公式AB中点横坐标为，纵坐标为﹣，‎ ‎∴所截线段的中点坐标为（，﹣）．…‎ ‎　‎ ‎19．已知p：∀x∈R，不等式x2﹣mx+＞0恒成立，q：椭圆+=1的焦点在x轴上，若“p或q”为真，“p且q”为假，求实数m的取值范围．‎ ‎【考点】复合命题的真假．‎ ‎【分析】分别判断出p，q为真时的m的范围，通过讨论p，q的真假，得到关于m的不等式组，取并集即可．‎ ‎【解答】解：∵p：∀x∈R，不等式x2﹣mx+＞0恒成立，‎ ‎∴△=m2﹣6＜0，解得：﹣＜m＜；‎ q：椭圆+=1的焦点在x轴上，‎ ‎∴m﹣1＞3﹣m＞0，解得：2＜m＜3，‎ 若“p或q”为真，“p且q”为假，‎ 则：p，q一真一假，‎ p真q假时：，解得：﹣＜m＜2，‎ p假q真时：，解得：≤m＜3，‎ 故m的范围是（﹣，2）∪[，3）．‎ ‎　‎ ‎20．设函数f（x）=x3﹣3ax+b（a＞0）．‎ ‎（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（2，f（2））处与直线y=8相切，求a，b的值；‎ ‎（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）求导函数，利用曲线y=f（x）在点（2，f（x））处在直线y=8相切，建立方程组，即可求得a，b的值；‎ ‎（Ⅱ）f′（x）=3（x2﹣4）=3（x+2）（x﹣2），令f′（x）＞0，可得函数的单调增区间；令f′（x）＜0，可得函数的单调减区间．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）求导函数，可得f′（x）=3x2﹣3a ‎∵曲线y=f（x）在点（2，f（x））处在直线y=8相切 ‎∴，‎ ‎∴a=4，b=24‎ ‎（Ⅱ）f′（x）=3（x2﹣4）=3（x+2）（x﹣2）‎ 令f′（x）＞0，可得x＜﹣2或x＞2；‎ 令f′（x）＜0，可得﹣2＜x＜2‎ ‎∴函数的单调增区间为（﹣∞，﹣2），（2，+∞），单调减区间为（﹣2，2）．‎ ‎　‎ ‎21．过点（0，4），斜率为﹣1的直线与抛物线y2=2px（p＞0）交于两点A、B，且弦|AB|的长度为4．‎ ‎（1）求p的值；‎ ‎（2）求证：OA⊥OB（O为原点）．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．‎ ‎【分析】（1）联立直线与抛物线方程，利用韦达定理，计算弦|AB|的长度，即可求p的值；‎ ‎（2）证明x1x2+y1y2=0，即可得到OA⊥OB．‎ ‎【解答】（1）解：直线方程为y=﹣x+4，联立方程消去y得，x2﹣2（p+4）x+16=0．‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），得x1+x2=2（p+4），x1x2=16，△=4（p+2）2﹣64＞0．‎ 所以|AB|=|x1﹣x2|==4，所以p=2．‎ ‎（2）证明：由（1）知，x1+x2=2（p+4）=12，x1x2=16，‎ ‎∴y1y2=（﹣x1+4）（﹣x2+4）=﹣8p=﹣16‎ ‎∴x1x2+y1y2=0，∴OA⊥OB．‎ ‎　‎