数学文卷·2018届云南省昆明市第一中学高三第六次月考（2018

数学文卷·2018届云南省昆明市第一中学高三第六次月考（2018

云南省昆明市第一中学2018届高三第六次月考 数学（文）试题 一、选择题：本题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.记全集，集合，集合，则图中阴影部分所表示的集合是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.复数（是虚数单位）的虚部为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.某地区想要了解居民生活状况，先把居民按所在行业分为几类，然后每个行业抽取的居民家庭进行调查，这种抽样方法是（ ）‎ A．简单随机抽样 B．系统抽样 C．分类抽样 D．分层抽样 ‎ ‎4.已知，，则的值是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎5.已知圆：与圆：交于，两点，直线的方程为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎6.一个正方体被截去一部分后所剩的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎7.函数的图象是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎8.若函数（其中）满足对，都有成立，则的值是（ ）‎ A．或 B．或 C. 或 D．或 ‎9.已知，，则下列大小关系正确的是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎10.已知函数在处取得极值，令函数，程序框图如图所示，若输出的结果，则判断框内可填入的条件为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎11.已知正三角形三个顶点都在表面积为的球面上，球心到平面的距离为，则三棱锥的体积为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎12.定义在上的函数满足，对任意给定的不相等的实数，，不等式恒成立，若两个正数，满足，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.已知，，则向量在向量方向上的投影为 ．‎ ‎14.锐角的内角，，的对边分别为，，，若，，，则的面积是 ．‎ ‎15.设椭圆：的左焦点为，半焦距为，点，在椭圆上，为坐标原点，若平行四边形的面积为，则椭圆的离心率为 ．‎ ‎16.在中，内角，，的对应边分别为，，，若，则 的最小值为 ．‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. ‎ ‎（一）必考题：共60分 ‎17. 在数列中，，.‎ ‎（1）证明是等差数列；‎ ‎（2）求数列的前项和.‎ ‎18. 如图，在三棱柱中，，.‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）若，求三棱柱的体积.‎ ‎19. 为了解甲、乙两种产品的质量，从中分别随机抽取了10件样品，测量产品中某种元素的含量（单位：毫克），如图所示是测量数据的茎叶图.规定：当产品中的此中元素的含量不小于18毫克时，该产品为优等品.‎ ‎（1）试用样品数据估计甲、乙两种产品的优等品率；‎ ‎（2）若从甲、乙两种产品的优等品中各随机抽取1件，抽到的2件优等品中，“甲产品的含量28毫克优等品必须在内，且乙产品的含量28毫克优等品不包含在内”为事件，求事件的概率.‎ ‎20. 已知圆过点，且与直线相切.‎ ‎（1）求圆心的轨迹的方程；‎ ‎（2）直线与曲线交于，两点，分别过，作曲线的切线，，设，的交点为，证明：为定值.‎ ‎21. 已知函数.‎ ‎（1）若曲线在处的切线与直线垂直，求的值；‎ ‎（2）讨论函数的单调性；若存在极值点，求实数的取值范围.‎ ‎（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题做答.如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.【选修4-4：坐标系与参数方程】‎ 在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）写出直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）若点的坐标为，直线与曲线交于，两点，求的值.‎ ‎23.【选修4-5：不等式选讲】‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）已知实数，，满足，求的取值范围.‎ 昆明一中2018届高三第六次 ‎ 参考答案（文科数学）‎ 命题、审题组教师 杨昆华 李文清 孙思应 梁云虹 王在方 卢碧如 凹婷波 吕文芬 陈泳序 一、选择题 ‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 A B D A B D D B B C C C 1. 解析：由题意，图中阴影部分所表示的区域为，由于，，故，选A．‎ 2. 解析：由题意，，选B．‎ 3. 解析：由于居民按所在行业可分为不同的几类，符合分层抽样的特点，选D．‎ 4. 解析：，由知，即，所以，选A ．‎ 5. 解析：两圆方程相减即得直线的方程：，选B．‎ 6. 解析：由题意，该几何体是由一个边长为的正方体截去一个底面积为，高为的一个三棱锥所得的组合体，如图，所以，选D．‎ 7. 解析：函数的定义域为且，选D．‎ 8. 解析：由知，的图象关于直线对称，所以或，又，，选B ．‎ 9. 解析：因为，所以，选B．‎ 1. 解析：由题意，，而，解得，故．由程序框图可知，当时，，选C．‎ 2. 解析：设正三角形的中心为，连接，， ，则为△的外接圆半径，；因为球的表面积为，所以球的半径为，又因为球心到平面的距离为，即；在△中，，；在△中，由正弦定理可得，即，，选C．‎ 3. 解析：因为任意给定的不相等的实数，，不等式恒成立，所以在实数上单调递增；因为，由 可得，由题意可得，画出、的可行域，则可看作区域内点与定点的斜率；直线与横轴交于点，与纵轴交于点，又因为，，所以，选C．‎ 二、填空题 4. 解析：向量在向量方向上的投影为．‎ 5. 解析：由正弦定理得，所以，即，所以，又由余弦定理得 ，所以，所以△的面积．‎ 6. 解析：由椭圆的对称性，点的横坐标为，纵坐标的绝对值为，代入椭圆方程得：，即．‎ 7. 解析：因为，由余弦定理及基本不等式可得：‎ ‎，当且仅当：：=﹕：时等号成立，所以的最小值是．‎ 三、解答题 ‎（一）必考题 1. 解：（Ⅰ）因为 ，‎ 所以数列是首项为，公差为的等差数列 ； ‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知数列是首项为，公差为的等差数列，‎ 所以，即，‎ 所以，易知数列是首项为，公比为的等比数列，‎ 所以 ． ‎ 2. 解：（Ⅰ）证明：设点为的中点，连接，，由，，知△与△均为等边三角形，点为的中点，可得，，，相交于点，所以平面，又平面，所以． ‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知△与△均是边长为是等边三角形，，又在△中，，，由余弦定理得，所以，故，又，故平面，‎ 所以，‎ 所以，所求三棱柱的体积为． ‎ 1. 解：（Ⅰ）从甲产品抽取的件样品中优等品有件，优等品率为，‎ 从乙产品抽取的件样品中优等品有件，优等品率为 故甲、乙两种产品的优等品率分别为，． ‎ ‎（Ⅱ）记甲种产品的件优等品分别记为，，，，且甲产品的含量毫克优等品设为；‎ 乙种产品的件优等品分别记为，，，，，且乙产品的的含量毫克优等品设为；若从中各随机抽取件，构成的所有基本事件为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共有种；事件所含基本事件为：，，，，共有种，‎ 所求概率为． ‎ 2. 解：（Ⅰ）由已知，点到点的距离等于它到直线的距离，所以圆心的轨迹为抛物线，，所以圆心的轨迹的方程为：． ‎ ‎（Ⅱ）设，，由得，所以点处的切线方程为：，又因为，所以：，‎ 同理：，由得：，， ‎ ‎，由得：，即：，‎ 所以．　 ‎ 1. 解：（Ⅰ）依题意，，所以，‎ 因为与直线：垂直，得，解得． ]‎ ‎（Ⅱ）因为．‎ 当时，在上恒成立，所以的单调递增区间为，无递减区间；‎ 当时，由，，解得；‎ 由，，解得；‎ 由，，解得；‎ 此时的单调递增区间为，的单调递减区间为．‎ 综上所述，当时，的单调递增区间为，无递减区间；‎ 当时，的单调递增区间为，的单调递减区间为． ‎ 若存在极值点，由函数的单调性知，且；‎ 由，解得．‎ 所以所求实数的取值范围为． ‎ ‎（二）选考题：第22、23题中任选一题做答。如果多做，则按所做的第一题记分。‎ 2. 解：（Ⅰ）由（为参数）消去参数，得直线的普通方程为，‎ 由，两边同乘得，即，‎ 故曲线的直角坐标方程为． ]‎ ‎（Ⅱ）在（为参数）中，令，‎ 得直线的参数方程的标准形式为（为参数），‎ 代入曲线：，整理得：，‎ 设，所对应参数分别为，，则，，‎ 所以，． ‎ 1. 解：（Ⅰ）由 可化为 或 或，‎ 解得，‎ 所以，不等式的解集为． ‎ ‎（Ⅱ） 因为，，，‎ 三式相加得：，‎ 即，（当且仅当时，取“=”）‎ 又因为 所以，（当且仅当时，取“=”，有无数组解）‎ 故的取值范围为． ‎