高考复习资料函数与方程

高考复习资料函数与方程

高考专题复习资料4 函数与方程 ‎1．函数零点的概念：对于函数，我们把方程的实数根叫做函数的零点。‎ ‎2．函数零点与方程根的关系：‎ 方程有实数根函数的图象与有点函数有零点.因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程是否有实数根，有几个实数根。函数零点的求法：解方程，所得实数根就是的零点 ‎3．函数零点的存在性定理：‎ 如果函数在区间上的图象是连续不断的曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根。‎ 但要注意：如果函数在上的图象是连续不断的曲线，且是函数在这个区间上的一个零点，却不一定有 注：若恒成立，则没有零点。‎ 三．【技巧平台】‎ ‎1.对函数零点的理解及补充 ‎（1）若在处其函数值为0，即，则称为函数的零点。‎ ‎（2）变号零点与不变号零点 ‎①若函数在零点左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数的变号零点。‎ ‎②若函数在零点左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数的不变号零点。‎ ‎③若函数在区间上的图像是一条连续的曲线，则是在区间内有零点的充分不必要条件。‎ ‎（3）一般结论：函数的零点就是方程的实数根。从图像上看，函数的零点，就是它图像与交点的横坐标。‎ ‎（4）更一般的结论：函数的零点就是方程的实数根，也就是函数与的图像交点的横坐标。‎ ‎2.函数零点个数（或方程实数根的个数）确定方法 ‎1)代数法：函数的零点的根;‎ ‎2)（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点。‎ ‎3)注意二次函数的零点个数问题 ‎ 有2个零点有两个不等实根; ‎ 有1个零点有两个相等实根 ‎ 无零点无实根; 对于二次函数在区间上的零点个数，要结合图像进行确定 ‎3.一元二次函数的零点、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集之间的关系。‎ 为学习的方便，在解一元二次不等式和一元二次方程时，把二次项系数化为正数，‎ ‎（1）恒成立，恒成立 ‎（2）的解集为R； 的解集为R ‎（3）对于二次函数在区间上的最值问题.‎ ‎4.二次方程f(x)=ax2+bx+c=0的实根分布及条件。‎ ‎①方程f(x)=0的两根中一根比r大，另一根比r小a·f(r)<0；‎ ‎②二次方程f(x)=0的两根都大于r ;‎ ‎③二次方程f(x)=0在区间(p，q)内有两根 ‎④二次方程f(x)=0在区间(p，q)内只有一根f(p)·f(q)<0，或f(p)=0(检验)或 f(q)=0(检验)检验另一根若在(p，q)内成立。‎ ‎5.构造函数解不等式恒成立的问题 ‎（1）含有参数的不等式恒成立问题，若易于作出图像，则用图像解决，若不易作图，可分离参数。‎ ‎（2）恒成立，恒成立（注意等号是否成立）‎ ‎（3）有解，有解 ‎（4）在区间上恒成立在上大于0‎ ‎6.函数零点个数的确定方法:‎ ‎①一元二次方程常用判别式来判断根的个数;②一元方程最多有个实数根,一般常用分解因式进行求解;‎ ‎③指数函数与对数函数等超越函数的零点个数问题,常用图象进行解决;‎ ‎④利用函数的单调性(通过求导来确定函数的单调区间)来判断函数零点的个数.‎ ‎4)对于函数的零点个数问题，可画出两个函数图像，看其交点个数有几个，则这些交点横坐标有几个不同的值就有几个零点。‎ ‎5)方程的根或函数零点的存在性问题，要以根据区间端点处的函数值乘积的正负来确定，但要确定零点的个数还需进一步研究函数在区间上的单调性，在给定的区间上，如果函数是单调的，它至多有一个零点，如果不是单调的，可继续细分出小的单调区间，再结合这些小的区间的端点处的函数值的正负，作出正确的判断。‎ ‎6)要特别注意数形结合解出方程解的个数的问题。‎ ‎7.用二分法求方程的近似解: ‎ ‎(1)二分法的定义:对于在区间上连续不断且的函数,通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点的近似值的方法叫做二分法;‎ ‎(2) 用二分法求方程的近似解的步骤:‎ ‎①确定区间,验证,给定精确度;‎ ‎②求区间的中点;‎ ‎③计算;‎ ‎(ⅰ)若,则就是函数的零点;‎ ‎(ⅱ) 若,则令(此时零点);‎ ‎(ⅲ) 若,则令(此时零点);‎ ‎④判断是否达到精确度,即,则得到零点近似值为(或);否则重复②至④步.‎ 例题精讲：‎ 例1.求下列函数的零点.‎ ‎(1) ; (2) ; (3)‎ 例2.已知函数的两个零点都在内,求实数的取值范围.‎ ‎【例3】函数的零点一定位于区间（ ）.‎ ‎ A. (1, 2) B. (2 , 3) C. (3, 4) D. (4, 5)‎ ‎【例4】求证方程在内必有一个实数根.‎ ‎【例5】（1）若方程在内恰有一解,则实数的取值范围是 .‎ ‎（2）已知函数，若在上存在，使，则实数m的取值范围是 .‎ 函数与方程(一)‎ ‎1.方程x-=0的实数解所在的区间是( ) ‎ A.(-∞,-1) B.(-2,2) C.(0,1) D.(1,+∞)‎ ‎2.若函数f(x)=ax+b有一个零点2,则方程bx2-ax=0的根是( )‎ A.0,2 B.0,y C.0, -y D.2,- y ‎3.(2010·合肥)方程x2+ax-2=0在区间[1,5]上有解,则实数a的取值范围是( )‎ ‎4.已知函数y=f(x)的图象是连续不断的,有如下的对应值表:‎ x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ y ‎-5‎ ‎2‎ ‎8‎ ‎12‎ ‎-5‎ ‎-10‎ 则函数y=f(x)在x∈[1,6]上的零点至少有( ) ‎ A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 ‎5.(2010·浙江)已知x0是函数f(x)=2x+的一个零点.若x1∈(1,x0),x2∈(x0,+∞),则( )‎ A.f(x1)<0,f(x2)<0 B.f(x1)<0,f(x2)>‎0 ‎‎ C.f(x1)>0,f(x2)<0 D.f(x1)>0,f(x2)>0‎ ‎6.若函数f(x)=x2+ax+b的两个零点是-2和3,则不等式a·f(-2x)>0的解集是________.‎ ‎7.方程xlg(x+2)=1有________个不同的实数根.‎ ‎8.已知函数f(x)=|x|+|2-x|,若函数g(x)=f(x)-a的零点个数不为0,则a的最小值为________.‎ ‎9.若函数f(x)=22x+2xa+a+1有零点,求实数a的取值范围.‎ ‎10.(1)m为何值时,f(x)=x2+2mx+‎3m+4.①有且仅有一个零点;②有两个零点且均比-1大;‎ ‎(2)若函数f(x)=|4x-x2|+a有4个零点,求实数a的取值范围.‎ 函数与方程(二)‎ ‎1.已知函数是偶函数,其图象与轴有四个交点,则该函数的所以零点之和为( )‎ A． B． C. D． ‎ ‎2.设是方程的解,则属于区间( )‎ A. B. C. D.‎ ‎3.（2009天津卷）设函数,则在区间( )‎ A.和内均有零点 B.和内均无零点 C.内有零点，在区间内无零点 D.内无零点，在区间内有零点 ‎4.今有一组实验数据如下表 ‎ ‎ ‎1.99‎ ‎3.0‎ ‎4.0‎ ‎5.1‎ ‎6.12‎ ‎1.5‎ ‎4.04‎ ‎7.5‎ ‎12‎ ‎18.01‎ ‎ ‎ 现准备用下列函数中的一个，近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎5.观察下列函数图像，方程在内有解是（ ）‎ ‎6.二次函数的零点为和,且,则满足的条件是( )‎ A.且 B.且 C.且 D.且 ‎7.若函数有个不同的零点,则实数的取值范围为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎8. 若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法计算,其参考数据如下:‎ 则方程的一个近似根(精确到)为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎9.方程的实数根的个数是( )个 ‎ ‎ A. B. C. D.无数多 ‎10.已知,是方程的两个根,且,则的大小关系为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎11.三次方程在下列哪个区间上有实根( )‎ ‎① ② ③ ④ ⑤ ‎ A. ①②③ B. ①②④ C. ①②⑤ D. ②③④‎ ‎12.(2009福建卷)若函数的零点与的零点之差的绝对值不超过,则可以是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎13．函数对一切实数都满足，并且方程 有三个实根，则这三个实根的和为 .‎ 第14题 ‎14.某航空公司规定，乘机所携带行李的重量()与其运费(元)由如图 的一次函数图像确定，那么乘客免费可携带行李的最大重量为_____________.‎ ‎15根据下表中的数据，可以断定方程的一个根所在的区间是 ．‎ ‎－1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎0.37‎ ‎1‎ ‎2.72‎ ‎7.39‎ ‎20.09‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎16.(2009山东卷)若函数 (且)有两个零点，则实数的取值范围是 .‎ ‎17.不用求根公式,求函数的零点的个数,并比较零点与的大小.‎ ‎18.求方程的一个近似解,精确到.‎ ‎19.已知函数的图像在区间上连续，且对应值如下表：‎ ‎(1)判断函数在区间内有几个零点，‎ ‎(2)判断方程的根在哪个以连续整数为端点的开区间内？并说明理由． ‎ ‎20.设函数在区间有最小值，求函数的零点.‎ 函数与方程(三)‎ ‎1.(2009·广州)已知函数则函数 则函数f(x)零点个数为 (　　)‎ A.1　　B‎.2 C.3 D.4‎ ‎2．(2010·昆明)设f(x)＝3x－x2，则在下列区间中，使函数f(x)有零点的区间是(　　)‎ A．[0,1] B．[1,2] C．[－2，－1] D．[－1,0]‎ ‎3.设f(x)＝x3＋bx＋c是[－1,1]上的增函数，且f(－)·f( )<0，则方程f(x)＝0在[－1,1]内(　　)‎ A.可能有3个实数根 B.可能有2个实数根 C.有唯一的实数根 D.没有实数根 ‎4．函数f(x)＝(x－1)ln|x|－1的零点的个数为 (　　)‎ A．0个 B．1个 C．2个 D．3‎ ‎5.f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，且f(2)＝0.则方程f(x)＝0在区间(0,6)内解的个数的最小值是 (　　)‎ A.5 B‎.4 ‎‎ C.3 D.2‎ ‎6.设函数y＝x3与y＝( )x－2的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是(　　)‎ A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)‎ ‎7.若函数f(x)＝x2＋ax＋b的两个零点是－2和3，则不等式a·f(－2x)>0的解集是______________．‎ ‎8.已知函数f(x)＝2mx＋4，若在[－2,1]上存在x0，使f(x0)＝0，则实数m的取值范围是　　　　.‎ ‎9.(2009·山东高考)若函数f(x)＝ax－x－a(a＞0，且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是　　　　.‎ ‎10.已知函数f(x)＝x3－x2＋＋.证明：存在x0∈(0，)，使f(x0)＝x0.‎ ‎11.已知函数f(x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点，求m的取值范围，并求出该零点.‎ ‎12.若函数f(x)＝ax3－bx＋4，当x＝2时，函数f(x)有极值－.‎ ‎(1)求函数的解析式；‎ ‎(2)若关于x的方程f(x)＝k有三个零点，求实数k的取值范围.‎ 函数与方程(四)‎ 一、选择题 ‎1．函数f(x)＝lnx－的零点的个数是(　　)‎ A．0　　B．‎1　‎　　C．2　　D．3‎ ‎2．设x0是方程lnx＋x＝4的解，则x0属于区间(　　)‎ A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)‎ ‎3．若函数f(x)＝x3－3x＋a有3个不同的零点，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．(－2,2) B．[－2,2] C．(－∞，－1) D．(1，＋∞)‎ ‎4．(2009·福建)若函数f(x)的零点与g(x)＝4x＋2x－2的零点之差的绝对值不超过0.25，则f(x)可以是(　　)‎ A．f(x)＝4x－1 B．f(x)＝(x－1)‎2 ‎‎ C．f(x)＝ex－1 D．f(x)＝ln(x－)‎ ‎5．(2009·天津)设函数f(x)＝x－lnx(x＞0)，则y＝f(x)(　　)‎ A．在区间，(1，e)内均有零点 ‎ ‎ B．在区间，(1，e)内均无零点 C．在区间内有零点，在区间(1，e)内无零点 D．在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点 ‎6．函数f(x)＝－x3＋x2＋x－2的零点分布情况是(　　)‎ A．一个零点，在内 ‎ B．两个零点，分别在、(0，＋∞)内 C．三个零点，分别在、、(1，＋∞)内 D．三个零点，分别在、(0,1)、(1，＋∞)内 二、填空题 ‎7．用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间[2,3]内的实根，取区间中点x0＝2.5，那么下一个有实根的区间是__________．‎ ‎8．已知函数f(x)＝mx2＋(m－3)x＋1的图像与x轴的交点至少有一个在原点右侧，则实数m的取值范围是__________．‎ ‎9．用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经计算f(0)＜0，f(0.5)＞0，可得其中一个零点x0∈__________，第二次应计算__________，这时可判断x0∈__________.‎ ‎10．已知函数f(x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点，求m的取值范围，并求出该零点．‎ ‎11．已知函数f(x)＝－x2＋2ex＋m－1，g(x)＝x＋(x＞0)．‎ ‎(1)若g(x)＝m有零点，求m的取值范围；‎ ‎(2)确定m的取值范围，使得g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．‎ ‎12．已知函数f(x)＝ax3－bx＋4，当x＝2时，函数f(x)有极值－.‎ ‎(1)求函数的解析式；‎ ‎(2)若关于x的方程f(x)＝k有三个零点，求实数k的取值范围．‎