四川省成都外国语学校2019-2020学年高二下学期期中考试数学（理）试题

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高二数学理科 第 1 页，共 2 页 成都外国语学校 2019-2020 下半期高 2018 级 高二理科数学试卷 第Ⅰ卷（选择题，共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1．设全集  = 0 1 2 3U ，，， ，集合    1 3 0A x x x    N ，则集合 ACU 中元素的个数是（ ） A．1 B． 2 C．3 D． 4 2．若复数 i 1i az   (i 是虚数单位)为纯虚数，则实数 a 的值为（ ） A． 2 B． 1 C．1 D． 2 3．如图是某赛季甲，乙两名篮球运动员 9 场比赛所得分数的茎叶图，则下列说法错误的是( ) A.甲所得分数的极差为 22 B.乙所得分数的中位数为 18 C.两人所得分数的众数相等 D.甲所得分数的平均数低于乙所得分数的平均数 4. 已知实数 ln22a  ， 2 2ln 2b  ，  2ln 2c  ，则 ,,abc的大小关系是（ ） A．c a b B．c b a C．bac D． a c b 5.在如图的程序框图中， ()ifx 为 ()ifx的导函数，若 0 ( ) sinf x x ， 则输出的结果是（ ） A． sin x B．cos x C． sin x D． cos x 6.在 ABC 中，角 ,,A B C 的对边分别为 ,,abc，则“ 2 cosa b C ”是 “ 是等腰三角形”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 7.若等差数列{}na 和等比数列{}nb 满足 1 1 4 41, 8,a b a b     则 2 2 a b （ ） A. 1 B. 1 C. 2 D. 2 8. 直角坐标系中，O 是原点， ( 2 cos , 2 sin )OQ      （ R ），动点 P 在直线 3x  上运动，若从动点 向 Q 点的轨迹引切线，则所引切线长的最小值是（ ） A. 26 B. 4 C. 5 D. 26 9.赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元 222 年，赵爽为《周脾算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方 图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由 4 个全等的直角三角形 再加上中间的一个小正方形组成的）.类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所 示的图形，它是由 3 个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等 边三角形，设 22DF AF，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小 等边三角形的概率是( ) A. 4 13 B． 2 13 13 C． 9 26 D． 3 13 26 10 在平行四边形 中， ， ，若将其沿 折成直二面角 ， 则三棱锥 的外接球的表面积为( ) 11. 直线푙过抛物线푦2 = 4푥的焦点퐹且与抛物线交于퐴, 퐵两点，若线段퐴퐹, 퐵퐹的长分别为푚, 푛，则 4푚 + 푛的最小值 是（ ） A．10 B．9 C．8 D．7 12．已知函数 ( ) ln( ) ( 0)xf x e a ax a a a     ，若关于 x 的不等式 ( ) 0fx 恒成立，则实数 a 的取值范围为 （ ） A.． 2(0, ]e B． 2(0, )e C． 2[1, ]e D． 2(1, )e 第Ⅱ卷（非选择题，共 90 分） 二、填空题：本大题共 4 小题,每小题 5 分，共 20 分.请将答案填在题后横线上. 13.已知菱形 ABCD的边长为 2 ， 60ABC , 则 _______CDBC 14. 已知实数 x ， y 满足 2 1 yx x y a x      ，其中 3 2 0 ( 1)a x dx ，则实数 1 y x  的最小值为 .________________0)( ,0)4(,0)()(0)(.15 的解集为则不等式 且时，上的偶函数，当是定义在若函数   xfx fxfxxfxRxf 16.过点 (1,1)P 的直线l 与椭圆 22 143 xy交于点 A 和 B ，且 AP PB .点Q 满足 AQ QB ，若 O 为坐标 原点，则||OQ 的最小值为 ． ABCD 0AB BD 22 2 4 0AB BD   BD A BD C A BDC .A 4 .B 8 .C 16 .D 2 开始 输入 f0(x) i=0 i = i+1 1( ) ( )iif x f x i >2017? 输出 ()ifx 结束 否 是 高二数学理科 第 2 页，共 2 页 三、解答题：共 70 分。解答应写出文学说明、证明过程或演算步骤。 17．（本小题满分 12 分）已知函数 321( ) 43f x x ax   ，且 2x  是函数 ()fx的一个极小值点. （Ⅰ）求实数 a 的值； （Ⅱ）求 在区间[ 1,3] 上的最大值和最小值. 18． （本小题满分 12 分）“学习强国”学习平台是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会 主义思想为主要内容，立足全体党员，面向全社会的优质平台，现日益成为老百姓了解国家动态，紧跟时代脉搏 的热门 APP，某市宣传部门为了解全民利用“学习强国”了解国家动态的情况，从全市抽取 2000 名人员进行调 查，统计他们每周利用“学习强国”的时长，下图是根据调查结果绘制的频率分布直方图． （1）根据下图，求所有被抽查人员利用“学习强国”的平均时长和中位数（精确到小数点后一位）； （2）宣传部为了了解大家利用“学习强国”的具体情况，准备采用分层抽样的方法从[8,10)和[10,12) 组中抽取 50 人了解情况，则两组各抽取多少人？再利用分层抽样从抽取的 50 人中选 5 人参加一个座谈会．现从参加座谈 会的 5 人中随机抽取两人发言，求[10,12) 小组中至少有 1 人发言的概率？ 19.（本小题满分 12 分）如图，在四面体 ABCD中， E 是线段 AD 的中点， 90ABD BCD    ， AB BD ， BC DC EC. （Ⅰ）证明： BD EC ； （Ⅱ）求平面 BEC 与平面 DEC 所成锐二面角的余弦值. 20. (本小题满分 12 分)已知椭圆 22 22: 1( 0)xyM a bab    的右顶点 (2,0)C ，且点 3( 1, )2 在椭圆上， 1F 、 2F 分别是椭圆的左、右焦点． （1）求椭圆 M 的标准方程； （2）过原点的直线交圆 222 ayx  于 A 、B ，直线 AC 、BC 分别交椭圆 于 D 、E ，求 CDE 与 ABC 的面积之比的取值范围。 21．(本小题满分 12 分)已知函数 1( ) ln ( 1),f x x a a Rx    , (1)若 ( ) 0fx ,求实数 a 取值的集合； （2）证明： xexxxe x )2(ln21 2  22． （本小题满分 10 分）在平面直角坐标系 xoy 中，曲线 041  yxC : ，曲线 为参数）  (sin1 cos:2      y xC ， 以坐标原点O 为极点， x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系． （I）求曲线 21 CC , 的极坐标方程； （II）射线 ),(: 200  l 分别交 21 CC , 于 NM, 两点，求 || || OM ON 的最大值．