数学文卷·2018届福建省三明一中高三上学期暑期返校考试（2017

数学文卷·2018届福建省三明一中高三上学期暑期返校考试（2017

三明一中2017-2018高三暑假返校考 数学（文科）试卷 ‎（考试时间：120分钟 满分：150分）‎ 参考公式和数表:‎ ‎1、独立性检验可信度表：‎ P()‎ ‎0.50‎ ‎0.40‎ ‎0.25‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎0.455‎ ‎0.708‎ ‎1.323‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.84‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.83‎ ‎2、独立性检验临界值表及参考公式：‎ ‎3、线性回归方程：，‎ ‎4、相关指数 第I卷 选择题 一、选择题（本大题共有12小题，每小题5分，共60分，每一小题只有一个选项正确）‎ ‎1．已知集合，，则（　　）‎ A．（﹣1，3） B．（1，3] C．[3，4） D．[﹣1，4]‎ ‎2．若复数（是虚数单位），则的虚部为( )‎ A．-3i B．3 C．3i D．-3‎ ‎3．用反证法证明“方程至多有两个解”的假设中，正确的是（　　）‎ A．至多有一个解 B．有且只有两个解 C．至少有三个解 D．至少有两个解 ‎4．设，，则“≥1且≥1”是“≥2”的（　　）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎5．输出下列四个命题：‎ ‎①回归直线恒过样本点的中心；‎ ‎②回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线；‎ ‎③残差平方和越小的模型，模型拟合的效果越好；‎ ‎④在线性回归分析中，如果两个变量的相关性越强，则相关系数就越接近于1．‎ 其中真命题的个数为　（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎6. 已知命题：“是，的充分必要条件”，命题：“存在， ”，则下列命题正确的是（　　）‎ A．命题“∧”是真命题 B．命题“∧（￢）”是真命题 C．命题“（￢）∧”是真命题 D．命题“（￢）∧（￢）”是真命题 ‎7.函数y=lncosx（）的图象是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎8. 已知，，，则（　　）‎ A．＞＞ B．＞＞ C．＞＞ D．＞＞‎ ‎9．如图是求S=1+3+5+…+99的程序流程图，其中①应为（　　）‎ A．A≤97？ B．A＜99？ C．A≤99？ D．A≤101？‎ ‎10．已知，，猜想的一个表达式为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．已知＞0，＞0，且，则的最小值为（　　）‎ A．4 B．9 C．10 D．4‎ ‎12．定义在上的偶函数，其导函数为，当时，都有，若，，，则，，的大小关系为（　　）‎ A．＞＞ B．＞＞ C．＞＞ D．＞＞‎ 第II卷 非选择题 二、填空题（本大题共有4小题，每小题5分，共20分，请将正确答案填入相应的位置）‎ ‎13. 若，，则=　*******　．‎ ‎14. 已知不等式的解集为，则实数的取值范围是　*******　．‎ ‎15. 已知函数，其中，函数的值域为，则的取值范围是　******　．‎ ‎16. 设是定义在R上的偶函数，对任意，都有，且当时，．若函数在区间恰有3个不同的零点，则的取值范围是　************　．‎ 三、解答题(本大题共有6小题，共70分，每小题请写出必要的解答步骤和计算过程)‎ ‎17.(本小题12分)‎ 复数，‎ ‎（1）若 ，求的值；‎ ‎（2）若在复平面内复数对应的点在第一象限，求实数的取值范围．‎ ‎18.(本小题12分)‎ 禽流感是家禽养殖业的最大威胁，为检验某种药物预防禽流感的效果，取80只家禽进行对比试验，得到如下丢失数据的列联表：（其中，，，表示丢失的数据）．‎ 患病 未患病 总计 没服用药 ‎25‎ ‎15‎ ‎40‎ 服用药 ‎40‎ 总计 ‎80‎ 工作人员曾记得．‎ ‎（1）求出列联表中数据，，，的值；‎ ‎（2）能否在犯错误率不超过0.005的前提下认为药物有效？‎ ‎19.(本小题12分)‎ 观察下面的解答过程：已知正实数，满足，求+的最大值．‎ 解：∵≤，≤‎ ‎，相加得=≤，‎ ‎∴≤，等号在时取得，即的最大值为．‎ 请类比以上解题法，使用综合法证明下题：‎ 已知正实数x，y，z满足x+y+z=3，求++的最大值．‎ ‎20.(本小题12分)‎ 已知函数为偶函数．‎ ‎（Ⅰ）求实数的值； ‎ ‎（Ⅱ）记集合，，判断与的关系；‎ ‎21.(本小题12分)‎ 已知函数，．‎ ‎（1）若函数，求函数的单调区间；‎ ‎（2）设直线为函数的图象上一点处的切线，在区间上是否存在使得直线与曲线相切，若存在，求出的个数；若不存在，请说明理由．‎ 请考生从给出的22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所选做的前一题计分，作答时，请用2B铅笔将所选题目对应题号涂黑 ‎22．（本小题10分）选修4-4：极坐标与参数方程 在平面直角坐标系中，已知直线过点，斜倾角为60°，以原点O为极点，轴的非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．‎ ‎（1）求曲线C的直角坐标方程；‎ ‎（2）设直线与曲线C交于A、B两点，求的值．‎ ‎23. （本小题10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数．‎ ‎（1）解不等式≥0；‎ ‎（2）若存在，使得成立，求实数的取值范围．‎ 三明一中2017-2018高三暑假返校考 数学（文科）试卷答案 一、选择题 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 D B C A B C A ‎ C C B B D ‎1.解：由B中的不等式变形得：（x﹣3）（x+1）≤0，解得：﹣1≤x≤3，即B=[﹣1，3]，‎ ‎∵A=（1，4），∴A∪B=[﹣1，4]．‎ ‎2．解：复数z=i（3﹣2i）=2+3i，则z的虚部为3，‎ ‎3.解：由于用反证法证明数学命题时，应先假设命题的否定成立，‎ 命题：“方程ax2+bx+c=0（a≠0）至多有两个解”的否定是：“至少有三个解”，‎ ‎4.解：若a≥1且b≥1则a+b≥2成立，‎ 当a=0，b=3时，满足a+b≥2，但a≥1且b≥1不成立，‎ 即“a≥1且b≥1”是“a+b≥2”的充分不必要条件，‎ ‎5.解：对于①，回归直线恒过样本点的中心（，），命题正确；‎ 对于②，回归直线也可能不过任何一个点，所以命题B不正确；‎ 对于③，用残差平方和判断模型的拟合效果，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，命题正确；‎ 对于④，线性回归分析中，如果两个变量的相关性越强，则相关系数线性|r|就越接近于1，故命题错误．‎ 所以真命题的序号为①③，共2个．‎ ‎6.解：对于p，当a=1时，x+≥2=2，在x＞0时恒成立，‎ 反之，若x＞0，x+≥2恒成立，则2≥2，即，可得a≥1‎ 因此，“a=1是x＞0，x+≥2的充分不必要条件”，命题p是假命题．‎ 对于q，∵在x0＜﹣1或x0＞2时+x0﹣2＞0才成立，‎ ‎∴“存在x0∈R， +x0﹣2＞0”是真命题，即命题q是真命题．‎ 综上，命题p为假命题而命题q为真命题，所以命题“（￢p）∧q”是真命题 ‎7.解：∵cos（﹣x）=cosx，∴是偶函数，可排除B、D，‎ 由cosx≤1⇒lncosx≤0排除C，‎ ‎8. 解：∵0＜a=＜20=1，‎ b=log2＜log21=0，‎ c=log=log23＞log22=1，‎ ‎∴c＞a＞b．‎ ‎9.解：模拟程序的运行可得程序的功能是计算并输出S=1+3+5+…+99的值，‎ 且在循环体中，S=S+A表示，每次累加的是A的值，‎ 故当A≤99应满足条件进入循环，A＞99时就不满足条件，故条件为：A≤99？．‎ ‎10.解：∵f（1）=1（x∈N*），∴可以排除A，‎ ‎∵f（x+1）=，∴f（2）==，f（3）=∴排除D，C 可判断B函数符合，‎ ‎11.解：由a＞0，b＞0，且4a+b=ab，可得+=1，‎ 则a+b=（a+b）（+）=1+4++≥5+2=5+4=9．‎ 当且仅当=，即b=2a，又4a+b=ab，解得a=3，b=6，a+b取得最小值9．‎ ‎12.解：令g（x）=xf（x），g′（x）=f（x）+xf′（x），‎ ‎∵x∈（﹣，0）时，都有f（x）+f′（x）＞0，‎ ‎∴x∈（﹣，0）时，f（x）+xf′（x）＜0，令g(x）=xf(x)‎ ‎∴x∈（﹣，0）时，g′（x）＜0，g（x）在（﹣，0）递减，‎ 而g（﹣x）=﹣xf（﹣x）=﹣xf（x）=﹣g（x），∴g（x）在R上是奇函数，‎ ‎∴g（x）在R递减，∵3＞lnπ＞﹣2，∴g（3）＜g（lnπ）＜g（﹣2），∴a＜b＜c，‎ 二、填空题 ‎13. 5 解：a10=，am==，可得=a2m．即2m=10，解得m=5．‎ ‎14. a＜3 解：由于|x+1|+|x﹣2|表示数轴上的点x到﹣1、2对应点的距离之和，它的最小值为3，故由不等式|x+1|+|x﹣2|＞a的解集为R，可得a＜3，‎ ‎15. [2，5] 解：函数f（x）=﹣x2+4x+1=﹣（x﹣2）2+5，对称轴方程为x=2，在[﹣1，2]上为增函数，[2，t]上为减函数由﹣x2+4x+1=﹣4，可得x=﹣1或5，‎ ‎∴要使函数f（x）=﹣x2+4x+1，其中x∈[﹣1，t]，函数的值域为[﹣4，5]，‎ ‎∴实数t的取值范围是[2，5]．‎ ‎16.（，2） 解：∵对于任意的x∈R，‎ 都有f（x﹣2）=f（2+x），∴函数f（x）‎ 是一个周期函数，且T=4又∵当x∈[﹣2，0]‎ 时，f（x）=，且函数f（x）是 定义在R上的偶函数，故函数f（x）在区间 ‎（﹣2，6]上的图象如右图所示：‎ 若在区间（﹣2，6]内关于x的方程f（x）﹣loga（x+2）=0恰有3个不同的实数解 则loga4＜3，loga8＞3，解得：＜a＜2，即a的取值范围是（，2）‎ 三、解答题 ‎17.解： z=（1﹣i）a2﹣3a+2+i=a2﹣3a+2+（1﹣a2）i，…………2分 ‎（1）由知，1﹣a2=0，故a=±1． …………4分 当a=1时，z=0，=0；‎ 当a=﹣1时，z=6，=6． …………6分 ‎（2）由已知得，复数的实部和虚部皆大于0，即，………………8分 即， …………10分 所以﹣1＜a＜1． …………12分 ‎18.解：（1）由题意可知：，解得； ………………4分 M=25+10=35，N=15+30=45；‎ 数据c，d，M，N的值分别为：10，30，35，45； ………………6分 ‎（2）K2==11.43＞7.879，………………10分 ‎∴在犯错误率不超过0.005的前提下认为药物有效．………………12分 ‎19.证明：∵，………………2分 ‎． ………………4分 ‎． ………………6分 ‎∴ …………8分 因为x+y+z=3，所以． ………………10分 当且仅当等号在x=y=z=1时取得．即得最大值为． ……12分 ‎20.解：（Ⅰ）∵函数为偶函数．∴f（﹣x）=f（x）…………1分 即= ………………2分 ‎∴2（a+1）x=0， ………………4分 ‎∵x为非零实数，∴a+1=0，即a=﹣1 …………5分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得 ……………6分 ‎∴E={y|y=f（x），x∈{﹣1，1，2}}={0， } ………………9分 ‎∵ …………11分 ‎ ‎∴ ………………12分 ‎21. 解：（1）由题意得，h（x）=f（x）﹣=lnx﹣， …………1分 ‎∴h（x）的定义域是（0，1）∪， …………2分 且h′（x）=﹣==，……3分 ‎∵x＞0且x≠1，∴h'（x）＞0，‎ ‎∴函数h（x）的单调递增区间为（0，1）和； ……………4分 ‎（2）假设在区间上存在x0满足条件，∵f′（x）=，则f′（x0）=，………5分 ‎∴切线的方程为y﹣lnx0=（x﹣x0），即y=x+lnx0﹣1，① …………6分 设直线与曲线y=g（x）相切于点（x1，），‎ ‎∵g′（x）=ex，∴=，则x1=﹣lnx0， …………7分 ‎∴直线方程又为y﹣=（x+lnx0），即y=x+lnx0+，② …………8分 由①②得lnx0﹣1=（lnx0+1 ），得lnx0=， …………9分 下面证明在区间上x0存在且唯一．‎ 由（1）可知，h（x）=lnx﹣在区间上递增． ‎ 又h（e）=lne﹣=＜0，h（e2）=lne2﹣=＞0，…………11分 结合零点存在性定理知：h（x）=0必在区间（e，e2）上有唯一的根x0，‎ ‎∴在区间上存在唯一的x0，使得直线l与曲线y=g（x）相切．…………12分 ‎22.解：（1）由ρ2=知，ρ2+ρ2sin2θ=4， …………1分 由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x2+y2=ρ2，代入上式，可得x2+2y2=4， …………2分 所以曲线C的直角坐标方程为+=1； …………4分 ‎（2）已知直线过点P（，2），倾斜角为60°，‎ 所以直线的参数方程为（t为参数），‎ 即为（t为参数）， …………6分 代入曲线C的直角坐标方程x2+2y2=4，得：7t2+20t+28=0， …………8分 设A、B两点对应的参数为t1、t2，则t1t2=4，故|PA|•|PB|=|t1t2|=4． ……………10分 ‎23.解：（1）由f（x）=|2x+1|﹣|x﹣4|= …………3分 f（x）≥0，可得：或或 …………6分 解得：{x|x≤﹣5或x≥1}； …………7分 ‎（2）当x0∈[﹣7，7]，时，f（x0）∈[﹣，12]， …………8分 由题意f（x0）+m2＜4m知，﹣＜4m﹣m2，即m2﹣8m﹣9＜0， …………9分 解得：﹣1＜m＜9 …………10分