数学理卷·2019届安徽省定远重点中学高二下学期第一次月考(2018-04)

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数学理卷·2019届安徽省定远重点中学高二下学期第一次月考(2018-04)

定远重点中学2017-2018学年第二学期第一次月考 高二理科数学试题 注意事项:‎ ‎1.答题前在答题卡、答案纸上填写好自己的姓名、班级、考号等信息 ‎2.请将第I卷(选择题)答案用2B铅笔正确填写在答题卡上;请将第II卷(非选择题)答案黑色中性笔正确填写在答案纸上。‎ 第I卷(选择题 60分)‎ 一.选择题(本题有12小题,每小题5分,共60分。)‎ ‎1.甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩.老师说:你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩.看后甲对大家说:我还是不知道我的成绩.根据以上信息,则( ) A.乙可以知道四人的成绩 B.丁可以知道四人的成绩 C.乙、丁可以知道对方的成绩 D.乙、丁可以知道自己的成绩 ‎2.设复数z满足 , 则 =(  ) A.﹣2+i B.﹣2﹣i C.2+i D.2﹣i ‎3.已知 , 则 的值为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎4.如图,设D是图中边长分别为1和2的矩形区域,E是D内位于函数 图象下方的阴影部分区域,则阴影部分E的面积为(  ) A.ln2 B.1﹣ln2 C.2﹣ln2 D.1+ln2‎ ‎5.已知点P在曲线上,为曲线在点P处的切线的倾斜角,则的取值范围为( ) A. B. C. D.‎ ‎6.已知函数的图象过原点,且在原点处的切线斜率是-3,则不等式组所确定的平面区域在内的面积为( ) A. B. C. D.‎ ‎7.已知函数 ,则其导函数f′(x)的图象大致是(  ) A. B. C. D.‎ ‎8.i是虚数单位,若 =a+bi(a,b∈R),则lg(a+b)的值是(   ) A.﹣2 B.﹣1 C.0 D.‎ ‎9.已知函数的导数为,且对恒成立,则下列不等式一点成立的是( )‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎10.已知复数满足(为虚数单位),则为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎11.如图是函数 的部分图象,则函数 的零点所在的区间是( ) ‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎12.已知函数在上不存在最值,则实数的取值范围为( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ 第II卷(选择题90分)‎ 二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分) ‎ ‎13.观察下列数表:‎ ‎1‎ ‎3 5‎ ‎7 9 11 13‎ ‎15 17 19 21 23 25 27 29 ‎ 设2017是该表第行的第个数,则的值为__________.‎ ‎14.若复数()为纯虚数,则_______.‎ ‎15.定积分的值为______.‎ ‎16.已知函数 下列四个命题: ①f(f(1))>f(3); ② x0∈(1, +∞),f'(x0)=-1/3; ③f(x)的极大值点为x=1; ④ x1,x2∈(0,+∞),|f(x1)-f(x2)|≤1 其中正确的有   (写出所有正确命题的序号)‎ 三、解答题(共6小题 ,共70分) ‎ ‎17.曲线C:y=2x3-3x2-2x+1 ,点P,求过P的切线l与C围成的图形的面积.‎ ‎18.已知函数f(x)= +lnx,其中a为常数,e为自然对数的底数. (I)若a=1,求函数f(x)的单调区间; (II)若函数f(x)在区间[1,2]上为单调函数,求a的取值范围.‎ ‎19.某少数民族的刺绣有着悠久的历史,图(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案,这些图案都由小正方形构成,小正方形数越多刺绣越漂亮,现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同),设第个图形包含个小正方形.‎ ‎(Ⅰ)求出;‎ ‎(Ⅱ)利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出与的关系式,并根据你得到的关系式求的表达式.‎ ‎20.已知函数的图像经过点,曲线在点处的切线恰好与直线垂直.‎ ‎(1)求实数的值;‎ ‎(2)求在函数图像上任意一点处切线的斜率的取值范围.‎ ‎21.已知复数, (, 为虚数单位)‎ ‎(1)若是纯虚数,求实数的值;‎ ‎(2)若复数在复平面上对应的点在第二象限,且,求实数的取值范围. ‎ ‎22.已知函数.‎ ‎(1)若,求函数 的极值;‎ ‎(2)若在内为单调增函数,求实数的取值范围;‎ ‎(3)对于,求证: .‎ 参考答案解析 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ D C C D D B C C A B C C ‎1.D【解析】四人所知只有自己看到,老师所说及最后甲说话, 甲不知自己的成绩 →乙丙必有一优一良,(若为两优,甲会知道自己的成绩;若是两良,甲也会知道自己的成绩) →乙看到了丙的成绩,知自己的成绩 →丁看到甲、丁中也为一优一良,丁知自己的成绩, 故选:D.‎ ‎2.C【解析】设z=a+bi(a、b∈R),由题意知, , ∴1+2i=ai﹣b,则a=2,b=﹣1, ∴z=2﹣i,=2+i, 故选C. ‎ ‎3.C【解析】由已知= , 故选C。 ‎ ‎4.D【解析】由题意,阴影部分E由两部分组成 因为函数 ,当y=2时,x= ,所以阴影部分E的面积为 + =1+ =1+ln2 故选D. ‎ ‎5.D【解析】∵ , ∴ , 又 , ∴ , 即 , ∴ , 故的取值范围为 , 故选D ‎ ‎6.B【解析】根据题意函数的图象过原点,故可知b=2,且在原点处的切线斜率是-3,则,可得不等式组表示的平面区域在内的面积为 , 选B. 解决的关键是通过已知的函数的性质得到参数a,b的值,进而得到解析式,然后借助于不等式区域来求解面积,属于中档题。‎ ‎7.C【解析】∵f(x)= x2sinx+xcosx,‎ ‎∴f′(x)= x2cosx+cosx,‎ ‎∴f′(﹣x)= (﹣x)2cos(﹣x)+cos(﹣x)= x2cosx+cosx=f′(x),‎ ‎∴其导函数f′(x)为偶函数,图象关于y轴对称,故排除A,B,‎ 当x→+∞时,f′(x)→+∞,故排除D,‎ 故答案为:C.‎ ‎8.C【解析】∵ = = =a+bi, ∴ ,b=﹣ . ∴lg(a+b)=lg1=0. 故选:C. ‎ ‎9.A【解析】由得,‎ ‎.设,在上递增,则,,.对于选项B和D,若(满足对恒成立),则,从而选项B和D都是错误的,故选A.‎ ‎10.B【解析】由z(1﹣i)2=1+i,得 ‎ ‎∴|z|=. ‎ 故选:B.‎ ‎11.C【解析】由函数 的部分图象得 ,即有 ,从而 ,而 在定义域内单调递增, ,由函数 的部分图象,结合抛物线的对称轴得到: ,解得 , , 函数 的零点所在的区间是 ,故答案为:C.‎ 由图像可知a、b的取值范围进而得到 g(x)在定义域内单调递增,代入数值得出 g()<0 , g(1) >0故得到 g(x) 在定义域内单调递增即得函数f(x) 有唯一的一个零点。 ‎ ‎12.C【解析】 ,因为若函数 在 上存在最值,则 ,即 ,所以若函数 在 上不存在最值,则 或 ,即实数的取值范围为 ,故选C.‎ ‎13.【解析】根据数表的数的排列规律, 都是连续奇数第一行,有 个数,第二行,有个数,且第一个数是;第三行,有个数,且第一个数是;第四行,有个数,且第一个数是,第行,有个数,且第一个数是 , , 在第行, , 是第行的第个数, ,故答案为.‎ ‎14.【解析】由题意可得: ,‎ 该数为纯虚数,则: ,解得: .‎ ‎15.0【解析】.‎ ‎16.①②③④‎ ‎【解析】‎ 函数 的图形如图所示,对于① , ,①正确;对于② , 时, ,故 ②正确;对于③,根据图形可判断③ 正确;对于④ , 时, ,故④正确. 故答案为:① ② ③ ④.‎ ‎17.【解答】设切点坐标为(x0 , y0) y′=6x2-6x-2, 则, 切线方程为 则 即 整理得 解得,则切线方程为 解方程组,得或 由与的图像可知 ‎ ‎【解析】先求出切线方程,在求出积分的上下限,利用微积分基本定理求解积分 ‎18.解:(Ⅰ)若a=1时,f(x)=3x﹣2x2+lnx,定义域为(0,+∞) = (x>0 令f'(x)>0,得x∈(0,1),令f'(x)<0,得x∈(1,+∞), 函数f(x)=3x﹣2x2+lnx单调增区间为(0,1), 函数f(x)=3x﹣2x2+lnx单调减区间为(1,+∞). (Ⅱ). , 若函数f(x)在区间[1,2]上为单调函数, 即 在[1,2] 或 恒成立. ‎ ‎ 或 即 或 在[1,2]恒成立. 即 或 令 ,因函数h(x)在[1,2]上单调递增. 所以 或 或 ,解得a<0或 或a≥1 ‎ ‎【解析】(I)由a=1得f(x)的解析式,求导,令f′(x)>0,令f′(x)<0分别得出x的取值范围,即f(x)的单调区间;(II)由函数f(x)在区间[1,2]上为单调函数,得f′(x)≥0或f′(x)≤0,分离出a,把右边看为函数,得到函数的单调性得最值,得关于a的不等式,求解得a的取值范围.‎ ‎19.(I);(II).‎ ‎【解析】(I)先用前几项找出规律, , , ,可知;(II)由(I)知,然后利用累加法求出.‎ 试题解析:‎ 解:(I) , , , ,‎ ‎ , , , ‎ ‎ .‎ ‎(II)由上式规律得出.‎ ‎ , , , , , ‎ ‎ ,‎ ‎ .‎ ‎20.(1)(2)见解析 ‎【解析】第一问根据导数的几何意义,对函数求导,求出切线的斜率,根据两条直线垂直,斜率互为负倒数,列出方程,再结合函数图象过点M,列出方程组,解方程组求出a,b,第二问把a,b的值代入函数解析式,求出导数,根据导数的几何意义,表示出切线的斜率,利用配方法求出二次函数的值域,即切线斜率的范围.‎ 试题解析:‎ ‎ (1)因为y′=f′(x)=3ax2+2bx.‎ ‎∵f(x)=ax3+bx2的图象过点M(1,4),‎ ‎∴a+b=4.‎ 又∵曲线在点M处的切线与直线x+9y=0垂直,‎ ‎∴f′(1)=9,∴3a+2b=9.‎ 由 得, . ‎ ‎(2)由(1)知y′=f′(x)=3ax2+2bx=3x2+6x ‎=3(x+1)2-3≥-3.‎ ‎21.(1);(2)。‎ ‎【解析】(1)先运用复数乘法计算,再依据虚数的定义建立方程求解;(2)借助(1)的计算结果,依据题设条件“复数在复平面上对应的点在第二象限”建立不等式组,再结合条件“”,求参数的取值范围。‎ 解:(1)依据 ‎ ‎ 根据题意是纯虚数,故, 且 , 故; ‎ ‎ (2)依, ‎ 根据题意在复平面上对应的点在第二象限,可得 ‎ ‎ ‎ 综上,实数的取值范围为 ‎ ‎ ‎22.(1)极小值为,无极大值.(2)(3)见解析 ‎【解析】(1)将代入,对函数求导,由单调性可判断函数的极值;(2)将函数 在内为单调增函数,则在上恒成立,进一步转化为一元二次不等式恒成立问题,可求的取值范围;(3)由函数单调性,当时, ,即.令,变形后可证不等式.‎ 试题解析:(1),‎ ‎(1)若, ,令得或(舍去),‎ 令,所以函数的极小值为,无极大值.‎ ‎(2)在上单调递增, 在上恒成立,‎ 即在上恒成立,‎ 令,‎ 当时,即时, ,所以,‎ 当时,即时, ,所以,‎ 综上.‎ ‎(3)当时,由(2)知, 在上单调递增,‎ 即时, ,即,‎ 所以,因为,所以,‎ 所以.‎
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