数学文卷·2017届北京市西城区高三上学期期末考试（2017

数学文卷·2017届北京市西城区高三上学期期末考试（2017

‎ 北京市西城区2016 — 2017学年度第一学期期末试卷 高三数学（文科）2017.1‎ 第Ⅰ卷（选择题 共40分）‎ 一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．‎ ‎1．已知集合，，那么 ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎2．下列函数中，定义域为的奇函数是 ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎3．执行如图所示的程序框图，输出的值为 ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎4．已知双曲线的一个焦点是，则其渐近线的方程为 ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎5．实数，满足则的取值范围是 ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎6．设是非零向量，且．则“”是“”的 ‎（A）充分而不必要条件 ‎（B）必要而不充分条件 ‎（C）充要条件 ‎（D）既不充分也不必要条件 ‎7．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是 ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎8．8名象棋选手进行单循环赛（即每两名选手比赛一场）．规定两人对局胜者得2分，平局各得1分，负者得0分，并按总得分由高到低进行排序．比赛结束后，8名选手的得分各不相同，且第二名的得分与最后四名选手得分之和相等．则第二名选手的得分是 ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共110分）‎ 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．‎ ‎9．复数____．‎ ‎10．在平面直角坐标系中，已知点，，则△的面积是____．‎ ‎11．已知圆与抛物线的准线相切，则____．‎ ‎12．函数的定义域是____；最小值是____．‎ ‎13．在△中，角的对边分别为．若，，，则____．‎ ‎14．设函数其中．‎ ‎① 若，则____；‎ ‎② 若函数有两个零点，则的取值范围是____．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎15．（本小题满分13分）‎ 在等差数列中，，．‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，其中，求数列的前项和．‎ ‎16．（本小题满分13分）‎ 已知函数的最小正周期为．‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值．‎ ‎17．（本小题满分13分）‎ 手机完全充满电量，在开机不使用的状态下，电池靠自身消耗一直到出现低电量警告之间所能维持的时间称为手机的待机时间．‎ 为了解A，B两个不同型号手机的待机时间，现从某卖场库存手机中随机抽取A，B两个型号的手机各5台，在相同条件下进行测试，统计结果如下：‎ 手机编号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ A型待机时间（h）‎ ‎120‎ ‎125‎ ‎122‎ ‎124‎ ‎124‎ B型待机时间（h）‎ ‎118‎ ‎123‎ ‎127‎ ‎120‎ a 已知 A，B两个型号被测试手机待机时间的平均值相等．‎ ‎（Ⅰ）求a的值；‎ ‎（Ⅱ）判断A，B两个型号被测试手机待机时间方差的大小（结论不要求证明）；‎ ‎（Ⅲ）从被测试的手机中随机抽取A，B型号手机各1台，求至少有1台的待机时间超过122小时的概率．‎ ‎（注：n个数据的方差，其中为数据的平均数）‎ ‎18．（本小题满分14分）‎ 如图，在四棱锥中，，，，，，．‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）若为的中点，求证：平面；‎ ‎（Ⅲ）设平面平面，点在平面 上．当时，求的长．‎ ‎19．（本小题满分14分）‎ 已知椭圆的两个焦点是，，点在椭圆上，且．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设点关于轴的对称点为，是椭圆上一点，直线和与轴分别相交于点，，为原点．证明：为定值．‎ ‎20．（本小题满分13分）‎ 对于函数，若存在实数满足，则称为函数的一个不动点．‎ 已知函数，其中．‎ ‎（Ⅰ）当时，‎ ‎（ⅰ）求的极值点；‎ ‎（ⅱ）若存在既是的极值点，又是的不动点，求的值；‎ ‎（Ⅱ）若有两个相异的极值点，，试问：是否存在，，使得， 均为的不动点？证明你的结论．‎ 北京市西城区2016 — 2017学年度第一学期期末 高三数学（文科）参考答案及评分标准 ‎2017.1‎ 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.‎ ‎1．B 2．D 3．C 4．B ‎ ‎5．A6．C 7．A 8．C ‎ 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. ‎ ‎9．10．11．‎ ‎12．；13．14．；‎ 注：第12，14题第一空2分，第二空3分. ‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. ‎ ‎15．（本小题满分13分）‎ 解：（Ⅰ）设等差数列的公差为，则有 ‎[4分]‎ 解得，．[6分]‎ 所以数列的通项公式为．[7分]‎ ‎（Ⅱ）．[8分]‎ 因为数列是首项为，公比为的等比数列，[9分]‎ 所以[11分]‎ ‎．[13分]‎ ‎16．（本小题满分13分）‎ 解：（Ⅰ）因为 ‎ [ 4分]‎ ‎， [ 6分]‎ 所以的最小正周期,‎ 解得． [ 7分]‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得 ．‎ 因为，所以． [ 9分]‎ 所以，当，即时，取得最大值为1； [11分]‎ 当，即时，取得最小值为． [13分]‎ ‎17．（本小题满分13分）‎ 解：（Ⅰ），[2分]‎ ‎，[3分]‎ 由，解得．[4分]‎ ‎（Ⅱ）设A，B两个型号被测试手机的待机时间的方差依次为，，‎ 则．[7分]‎ ‎（Ⅲ）设A型号手机为，，，，；B型号手机为，，，，，“至少有1台的待机时间超过122小时”为事件C．[8分]‎ 从被测试的手机中随机抽取A，B型号手机各1台，不同的抽取方法有25种．‎ ‎[10分]‎ 抽取的两台手机待机时间都不超过122小时的选法有：‎ ‎，，，，共4种． [11分]‎ 因此，所以．‎ 所以至少有1台的待机时间超过122小时的概率是．[13分]‎ ‎18．（本小题满分14分）‎ 解：（Ⅰ）因为，‎ 所以，[1分]‎ 又因为，[2分]‎ 所以平面，[3分]‎ 所以．[4分]‎ ‎（Ⅱ）取的中点，连接，．[5分]‎ 因为为棱中点，所以，，‎ 又因为，，‎ 所以，．‎ 所以四边形是平行四边形，．[8分]‎ 又平面，平面，‎ 所以平面．[9分]‎ ‎（Ⅲ）在平面上，延长，交于点．‎ 因为，所以平面；又，所以平面，‎ 所以平面平面．[11分]‎ 在△中，因为，，‎ 所以 ．[12分]‎ 因为，所以△是等腰直角三角形，所以．[13分]‎ 由（Ⅰ）得平面，所以．‎ 在直角△中，．[14分]‎ ‎19．（本小题满分14分）‎ 解：（Ⅰ）由椭圆的定义，得，．[2分]‎ 将点的坐标代入，得，‎ 解得．[4分]‎ 所以，椭圆的方程是．[5分]‎ ‎（Ⅱ）依题意，得．‎ 设，则有，，．[6分]‎ 直线的方程为，[7分]‎ 令，得，[8分]‎ 所以．‎ 直线的方程为，[9分]‎ 令，得，[10分]‎ 所以．‎ 所以 ‎[12分]‎ ‎．‎ 所以为定值．[14分]‎ ‎20．（本小题满分13分）‎ 解：（Ⅰ）的定义域为，且．[1分]‎ 当时，．‎ ‎（ⅰ）① 当时，显然在上单调递增，无极值点．[2分]‎ ‎② 当时，令，解得．[3分]‎ 和的变化情况如下表：‎ ‎↗‎ ‎↘‎ ‎↗‎ 所以，是的极大值点；是的极小值点．[5分]‎ ‎（ⅱ）若是的极值点，则有；‎ 若是的不动点，则有．‎ 从上述两式中消去，‎ 整理得．[6分]‎ 设．‎ 所以，在上单调递增．‎ 又，所以函数有且仅有一个零点，‎ 即方程的根为，‎ 所以 ．[8分]‎ ‎（Ⅱ）因为有两个相异的极值点，，‎ 所以方程有两个不等实根，， ‎ 所以，即．[9分]‎ 假设存在实数，，使得，均为的不动点，则，是方程 的两个实根，显然，．‎ 对于实根，有．①‎ 又因为．②‎ ‎①②，得 ．‎ 同理可得．‎ 所以，方程也有两个不等实根，．[11分]‎ 所以．‎ 对于方程，有 ， ‎ 所以， 即，‎ 这与相矛盾！‎ 所以，不存在，，使得，均为的不动点．[13分]‎