重庆市渝中区巴蜀中学2020届高三高考适应性月考卷（三）数学（理）试题

重庆市渝中区巴蜀中学2020届高三高考适应性月考卷（三）数学（理）试题

巴蜀中学2020届高考适应性月考卷（三）‎ 理科数学 注意事项：‎ ‎1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.‎ ‎2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题上作答无效.‎ ‎3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回，满分150分，考试用时120分钟.‎ ‎4.考试结束后，请在教师指导下扫描二维码观看名师讲解.‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简集合，进而求并集即可.‎ ‎【详解】由题意可得，，‎ 所以，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查集合的并集运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.‎ ‎2.在正项等比数列中，若，则（ ）‎ A. 2019 B. 2018 C. 1009 D. 1010‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用等比数列下标和性质即可得到结果.‎ ‎【详解】∵‎ ‎∴，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.‎ ‎3.已知，，，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用指对函数的单调性，借助中间量比较大小.‎ ‎【详解】，，，‎ 所以，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】利用指数函数对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小，一方面要比较两个实数或式子形式的异同，底数相同，考虑指数函数增减性，指数相同考虑幂函数的增减性，当都不相同时，考虑分析数或式子的大致范围，来进行比较大小，另一方面注意特殊值的应用，有时候要借助其“桥梁”作用，来比较大小．‎ ‎4.已知分子是一种由60个碳原子构成的分子，它形似足球，因此又名足球烯，是单纯由碳原子结合形成的稳定分子，它具有60个顶点和若干个面，.各个面的形状为正五边形或正六边形，结构如图.已知其中正六边形的面为20个，则正五边形的面为（ ）个.‎ A. 10 B. 12‎ C. 16 D. 20‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由结构图知：每个顶点同时在3个面内，计算出五边形的总顶点数，从而得到结果.‎ ‎【详解】由结构图知：每个顶点同时在3个面内， ‎ 所以五边形面数为个，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题以分子为载体，考查空间问题的计数问题，考查空间想象能力与推理能力，属于中档题.‎ ‎5.如图，过正方形的顶点在内任意作射线，则该射线与正方形的交点位于边上的概率为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用几何概型公式即可得到结果.‎ ‎【详解】角度性几何概率：，‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．‎ ‎6.已知为第二象限角，且，则（ ）‎ A. B. C. 2 D. -2‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用同角基本关系式得到，结合诱导公式得到结果.‎ ‎【详解】由于为第二象限角，且，所以为第三象限角，‎ 从而，，‎ 所以，‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查同角基本关系式，考查三角函数的恒等变换，考查计算能力，属于常考题型.‎ ‎7.，，分别为内角，，的对边，的面积为，已知且，则外接圆的半径为（ ）‎ A. 4 B. 2 C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，结合余弦定理与三角形面积公式可得，再利用正弦定理可得外接圆的半径.‎ ‎【详解】，‎ 即，‎ 所以，，‎ 由正弦定理，‎ 所以，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查解三角形问题，考查正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式，考查计算能力，属于中档题.‎ ‎8.函数的图象如图所示，为了得到的图象，可将的图象（ ）‎ A. 向右平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向左平移个单位 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据正弦型函数的图象得到，结合图像变换知识得到答案.‎ ‎【详解】由图象知：，∴.‎ 又时函数值最大，‎ 所以.又，‎ ‎∴，从而，，‎ 只需将的图象向左平移个单位即可得到的图象，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】已知函数的图象求解析式 ‎(1).(2)由函数的周期求 ‎(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求，一般用最高点或最低点求。‎ ‎9.已知三棱锥的四个顶点都在球的表面上，侧棱，，两两垂直，且，若以为球心且1为半径的球与三棱锥公共部分的体积为，球的体积为，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可知是半径为1球的体积的，把三棱锥补成正方体，利用正方体与外接球的关系即可得到球的体积为.‎ ‎【详解】由题意易得：，‎ 将三棱锥补形为正方体可得其外接球即为三棱锥体的外接球，直径为：，‎ 从而，，‎ 所以，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】三棱锥三条侧棱两两垂直,且棱长分别为，则其外接球半径公式为: .‎ ‎10.已知，函数的零点分别为，且，则（ ）‎ A. 0 B. 1 C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令，解二次方程可得或，进而分段讨论，即可得到结果.‎ ‎【详解】令，则由，，‎ 即或，‎ 由，得或0，‎ 由，得，或，‎ 所以函数的零点分别为，，，，，‎ 从而，‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查复合函数的零点问题，处理方法为：把复合函数分拆为简单函数，分别处理即可，考查转化能力与计算能力，属于中档题.‎ ‎11.已知双曲线的焦点为，，过的直线与双曲线的左支交于，两点，若，，则的方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设双曲线的方程为，，根据双曲线定义可得，结合余弦定理可得双曲线方程.‎ ‎【详解】设双曲线的方程为，，‎ 则，，，‎ 又，‎ ‎∴，‎ 取的中点，则，‎ 在中，可得；‎ 在中，由余弦定理：，‎ 可得，‎ 又，得，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查待定系数法求双曲线的方程，考查双曲线定义、余弦定理等知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题.‎ ‎12.已知是定义在上的奇函数，记的导函数为，当时，满足，若存在，使不等式成立，则实数的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意构造，在上单调递增，且，从而可以推断出在上单调递增，即可化抽象不等式为具体不等式，得到结果.‎ ‎【详解】令，在上单调递增，且，从而可以推断出 则（当时，满足），‎ 从而在上单调递增，‎ 所以当时，，‎ 从而当时，；‎ 当时，（当时取等号），‎ 又当时，，即，‎ 所以在上单调递增，‎ 由于是定义在上的奇函数，从而在上单调递增；‎ 不等式.‎ 令，则原问题等价于有解，从而，‎ ‎∵，‎ ‎∴在上单减，在上单增，‎ ‎∴，‎ 所以的最小值为，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查了导数的运用，函数存在性的问题，函数零点的问题，利用函数的性质求参数取值与利用导数证明不等式成立的问题，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.函数在点处的切线方程为___．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意，函数的导数为，得到，再由直线的点斜式方程，即可求解切线的方程。‎ ‎【详解】由题意，函数的导数为，所以，‎ 即函数在点处的切线的斜率为，‎ 由直线的点斜式方程可知，切线的方程为，即。‎ ‎【点睛】本题主要考查了利用导数求解曲线在某点处的切线的方程，其中解答中根据导数四则运算的法则，正确求解函数的导数，得出曲线在某点处的切线的斜率，再利用点斜式求解切线的方程是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。‎ ‎14.若，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用微积分定理及奇函数的性质可得，结合诱导公式可得结果.‎ ‎【详解】，‎ ‎∴，‎ 所以.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查微积分定理，诱导公式，特殊角三角函数值，考查运算能力，属于基础题.‎ ‎15.设等差数列的前项和为，若，，则的最小值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可得，，明确关于的函数的单调性可得结果.‎ ‎【详解】由，，得，，‎ 所以，‎ 在上单调递减，在上单调递增，又，‎ 又当时，；‎ 当时，，‎ 所以的最小值为.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查等差数列的基本运算，考查函数的最值，考查转化能力与计算能力，属于中档题.‎ ‎16.在中，，，点满足，则的最小值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令，，可得，即在直线上，从而当时最小，结合三角形知识得到结果.‎ ‎【详解】，‎ 令，，‎ 则，‎ 因为，‎ 所以在直线上，从而当时最小，‎ 在中，，，，‎ 由余弦定理得，‎ 又，‎ 得.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题综合考查了平面向量与解三角形知识，考查三点共线、余弦定理，三角形面积公式等知识，考查转化能力与计算能力，属于中档题.‎ 三、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17.如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，且，点为线段的中点.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（1）证明见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）连接交于点，连接，易得，从而得证；‎ ‎（2）以点为坐标原点，，，分别为，，轴的正向建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，代入公式可得结果.‎ ‎【详解】（1）连接交于点，连接，‎ ‎∵，分别为，的中点，∴.‎ 又平面，平面，‎ ‎∴平面.‎ ‎（2）解：∵平面，‎ ‎∴.‎ 又∵是正方形，∴.‎ ‎∴平面 以点为坐标原点，，，分别为，，轴的正向建立空间直角坐标系，‎ 各点坐标如下：，，，，，.‎ 设平面的法向量为，‎ 则，‎ ‎∴.‎ ‎∵平面，，‎ ‎∴取平面的法向量为，‎ ‎，‎ ‎∴二面角的余弦值为.‎ ‎【点睛】本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系及空间向量法的应用，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．‎ ‎18.已知函数，，.‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）若恒成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）的单调增区间为，；单调减区间为（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出导函数，解不等式得到单调区间；‎ ‎（2）令，则恒成立，研究函数的最值即可.‎ ‎【详解】解：（1），‎ 由，得的单调增区间为，；‎ 由，得的单调减区间为.‎ ‎（2）令，则恒成立，‎ ‎，‎ ‎∵，∴.‎ 令，则在上单调递增，且，‎ ‎∴当时，，，单调递减；‎ 当时，，，单调递增；‎ ‎∴，∴.‎ ‎【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．‎ ‎19.为庆祝新中国成立七十周年，巴蜀中学将举行“歌唱祖国，喜迎国庆”歌咏比赛活动，《歌唱祖国》，《精忠报国》，《我和我的祖国》等一系列歌曲深受同学们的青睐，高二某班级就该班是否选择《精忠报国》作为本班参赛曲目进行投票表决，投票情况如下表.‎ 小组 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 赞成人数 ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎6‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎4‎ ‎3‎ 总人数 ‎7‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎8‎ ‎7‎ ‎7‎ ‎6‎ ‎6‎ ‎（1）若从第1小组和第8小组同学中各随机选取2人进行调查，求所选取的4人中至少有2人赞成《精忠报国》作为本班参赛曲目的概率；‎ ‎（2）若从第5小组和第7小组的同学中各随机选取2人进行调查，记选取的4人中不赞成《精忠报国》作为本班参赛曲目的人数为，求随机变量的分布列和数学期望.‎ ‎【答案】（1）（2）详见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用对立事件概率公式可得结果；‎ ‎（2）X的可能取值为0，1，2，3，4分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．‎ ‎【详解】解：（1）.‎ ‎（2）各小组人员情况：‎ 小组 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 赞成人数 ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎6‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎4‎ ‎3‎ 不赞成人数 ‎3‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 总人数 ‎7‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎8‎ ‎7‎ ‎7‎ ‎6‎ ‎6‎ 的可能取值为0，1，2，3，4，且 ‎，，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 随机变量的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎.‎ 点睛】本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查对立事件概率计算公式、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．‎ ‎20.已知数列满足，.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）记，数列的前项和为，若对任意正整数恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意可得，即为等差数列，从而得到数列的通项公式；‎ ‎（2）由（1）可得，利用分组求和与裂项相消法得到，分类讨论研究最值即可.‎ ‎【详解】解：（1）∵，∴，‎ ‎∴为等差数列，‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ ‎（2）‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎∵，∴.‎ ‎①当为偶数时，，‎ 令，‎ 则 ‎，‎ ‎∴，‎ ‎∴；‎ ‎②当为奇数时，，‎ 由①知单减，又当时，，∴，‎ 综上，.‎ ‎【点睛】本题考查数列的通项与求和，着重考查等差关系的确定及数列的单调性的分析，突出裂项法求和，突出转化思想与综合运算能力的考查，属于中档题．‎ ‎21.已知椭圆：的左，右焦点分别为，，点为椭圆上任意一点，点关于原点的对称点为点，有，且当的面积最大时为等边三角形.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）与圆相切的直线：交椭圆于，两点，若椭圆上存在点满足，求四边形面积的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）依题意知：，从而可得椭圆的标准方程；‎ ‎（2）利用直线：与圆相切可得，联立方程利用韦达定理可得，代入椭圆方程可得，表示四边形的面积，借助函数的单调性可得答案.‎ ‎【详解】解：（1）依题意知：，∴，‎ ‎∴椭圆的标准方程为：.‎ ‎（2）∵直线：与圆相切，‎ ‎∴原点到直线的距离为，即，‎ ‎∴.‎ 设，，，‎ 由消去得，‎ ‎∴，，‎ ‎∴，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ 又在椭圆上，∴，‎ ‎∴.‎ 设的中点为，则，‎ ‎∴四边形的面积为 ‎.‎ 令，‎ 则∵，∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴四边形面积的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、四边形面积、换元法、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ 请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题.如果多做，则按所做的第一题计分.‎ ‎22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数）.‎ ‎（1）求曲线的极坐标方程；‎ ‎（2）若曲线与曲线交于，两点，且，求的值.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先得到曲线的普通方程，将代入化简得到答案；（2）将的参数方程代入的普通方程，得到，，将所求的用表示，从而得到答案.‎ ‎【详解】解：（1）曲线的普通方程为，即.‎ 将代入化简得的极坐标方程为.‎ ‎（2）将的参数方程代入的普通方程中，得，‎ 设，两点的参数分别为，，则，、异号，‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查普通方程与极坐标方程的转化，直线参数的几何意义，属于简单题.‎ ‎23.已知函数.‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若关于的不等式的解集包含，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）按进行分类，得到等价不等式组，分别解出解集，再取并集，得到答案；（2）将问题转化为在时恒成立，按 和分类讨论，分别得到不等式恒成立时对应的的范围，再取交集，得到答案.‎ ‎【详解】解：（1）当时，等价于 或或，‎ 解得或或，‎ 所以不等式的解集为：.‎ ‎（2）依题意即在时恒成立，‎ 当时，，即，‎ 所以对恒成立 ‎∴，得；‎ 当时，，‎ 即，‎ 所以对任意恒成立，‎ ‎∴，得∴，‎ 综上，.‎ ‎【点睛】本题考查分类讨论解绝对值不等式，分类讨论研究不等式恒成立问题，属于中档题.‎ ‎ ‎