2021届北师大版高考理科数一轮复习教师用书：第四章 第3讲 第2课时 简单的三角恒等变形
第2课时 简单的三角恒等变形
三角函数式的化简(师生共研)
(1)化简：＝________；
(2)(一题多解)化简：sin2αsin2β＋cos2αcos2β－cos 2αcos 2β＝________．
【解析】 (1)原式＝
＝
＝＝＝cos 2x.
(2)法一：原式＝·＋·－cos 2αcos 2β＝
＋
－cos 2αcos 2β＝＋cos 2αcos 2β－cos 2αcos 2β＝.
法二：原式＝(1－cos2α)(1－cos2β)＋cos2αcos2β－(2cos2α－1)(2cos2β－1)
＝1－cos2β－cos2α＋cos2αcos2β＋cos2αcos2β－(4cos2αcos2β－2cos2α－2cos2β＋1)
＝1－cos2β－cos2α＋2cos2αcos2β－2cos2αcos2β＋cos2α＋cos2β－＝.
法三：原式＝sin2αsin2β＋cos2αcos2β－(cos2α－sin2α)·(cos2β－sin2β)
＝(2sin2αsin2β＋2cos2αcos2β－cos2αcos2β＋cos2αsin2β＋sin2αcos2β－sin2αsin2β)
＝[sin2α(sin2β＋cos2β)＋cos2α(sin2β＋cos2β)]
＝(sin2α＋cos2α)＝.
【答案】 (1)cos 2x (2)
(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则
(2)三角函数式化简的方法
弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次．
1．化简：＝________．
解析：＝
＝＝4sin α.
答案：4sin α
2．化简：＝________(其中0<α<π)．
解析：原式＝
＝＝，
因为0<α<π，所以0<<，
故cos >0，
所以原式＝cos α.
答案：cos α
三角函数的求值(多维探究)
角度一 给角求值
[2sin 50°＋sin 10°(1＋tan 10°)]·＝________．
【解析】 原式＝
·
＝·cos 10°
＝2[sin 50°·cos 10°＋sin 10°·cos(60°－10°)]
＝2sin(50°＋10°)＝2×＝.
【答案】
该类问题中给出的角一般都不是特殊角，需要通过三角恒等变形将其变为特殊角，或者能够正负相消，或者能够约分相消，最后得到具体的值．
角度二 给值求值
(一题多解)已知cos＝，若π
0，
所以2sin α＝3cos α，又sin2α＋cos2α＝1，
所以cos α＝，sin α＝，
所以＝＝
＝＝.
答案：
3．已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tan β＝－，则2α－β的值为________．
解析：因为tan α＝tan[(α－β)＋β]＝
＝＝>0，所以0<α<.
又因为tan 2α＝＝＝>0，
所以0<2α<，
所以tan(2α－β)＝＝＝1.
因为tan β＝－<0，所以<β<π，－π<2α－β<0，
所以2α－β＝－π.
答案：－π
三角恒等变形的综合应用(师生共研)
已知函数f(x)＝sin＋cos.
(1)求函数f(x)在区间上的最值；
(2)若cos θ＝，θ∈，求f的值．
【解】 (1)由题意得f(x)＝sin＋cos
＝×
＝－sin.
因为x∈，所以x－∈，
sin∈，
所以－sin∈，
即函数f(x)在区间上的最大值为，
最小值为－.
(2)因为cos θ＝，θ∈，
所以sin θ＝－，
所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝－，
cos 2θ＝cos2θ－sin2θ＝－＝，
所以f＝－sin
＝－sin
＝－(sin 2θ－cos 2θ)
＝(cos 2θ－sin 2θ)
＝＝.
三角恒等变形的应用策略
(1)进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形应用．
(2)把形如y＝asin x＋bcos x化为y＝sin(x＋φ)，可进一步研究函数的周期、单调性、最值与对称性．
已知函数f(x)＝cos2x＋sin xcos x，x∈R.
(1)求f的值；
(2)若sin α＝，且α∈，求f.
解：(1)f＝cos2＋sin cos
＝＋×＝.
(2)因为f(x)＝cos2x＋sin xcos x＝＋sin 2x
＝＋(sin 2x＋cos 2x)＝＋sin，
所以f＝＋sin
＝＋sin＝＋(sin α＋cos α)．
又因为sin α＝，且α∈，
所以cos α＝－，
所以f＝＋
＝.
[基础题组练]
1．若tan(α＋80°)＝4sin 420°，则tan(α＋20°)的值为( )
A．－ B．
C. D．
解析：选D.由tan(α＋80°)＝4sin 420°＝4sin 60°＝2，得tan(α＋20°)＝tan[(α＋80°
)－60°]＝＝＝.故选D.
2．(2020·河南天一大联考阶段性测试(五))已知sin＝，则sin 4x的值为( )
A. B．±
C. D．±
解析：选A.因为sin＝(cos 2x－sin 2x)＝，
所以sin 2x－cos 2x＝－，
所以(sin 2x－cos 2x)2＝1－2sin 2xcos 2x＝1－sin 4x＝，所以sin 4x＝，故选A.
3．(2020·江西九江二模)若sin＝2cos αsin ，则＝( )
A. B．
C．2 D．4
解析：选B.因为sin＝2cos αsin ，
所以sin αcos －cos αsin ＝2cos αsin ，
所以sin αcos ＝3cos αsin .
所以tan α＝3 tan ，
所以＝
＝＝＝＝.
故选B.
4．(2020·福建龙岩教学质量检查)若α∈，且3sin α＋2cos α＝2，则tan 等于( )
A. B．
C. D．
解析：选D.3sin α＋2cos α
＝
＝＝2，
所以3tan ＋1－tan2＝tan2＋1，解得tan＝0或，又α∈(0，π)，所以tan ≠0，所以tan ＝，故选D.
5．(2020·湖北八校联考)已知3π≤θ≤4π，且 ＋＝，则θ＝( )
A.或 B．或
C.或 D．或
解析：选D.因为3π≤θ≤4π，所以≤≤2π，所以cos ≥0，sin ≤0，则 ＋＝＋＝cos －sin ＝cos＝，所以cos＝，
所以＋＝＋2kπ或＋＝－＋2kπ，k∈Z，即θ＝－＋4kπ或θ＝－＋4kπ，k∈Z.因为3π≤θ≤4π，所以θ＝或，故选D.
6.的值为________．
解析：原式＝＝＝.
答案：
7．(2020·平顶山模拟)已知sin α＝－，若＝2，则tan(α＋β)＝________．
解析：因为sin α＝－，α∈，所以cos α＝.由＝2，得sin(α＋β)＝2cos[(α＋β)－α]，即cos(α＋β)＝sin(α＋β)，所以tan(α＋β)＝.
答案：
8．设α是第四象限角，若＝，则tan 2α＝________．
解析：＝＝
＝cos 2α＋2cos2α＝4cos2α－1＝，解得cos2α＝.
因为α是第四象限角，所以cos α＝，sin α＝－，
所以sin 2α＝2sin αcos α＝－，cos 2α＝2cos2α－1＝，
所以tan 2α＝－.
答案：－
9．已知tan α＝－，cos β＝，α∈，β∈，求tan(α＋β)的值，并求出α＋β的值．
解：由cos β＝，β∈，
得sin β＝，tan β＝2.
所以tan(α＋β)＝
＝＝1.
因为α∈，β∈，
所以<α＋β<，
所以α＋β＝.
10．已知函数f(x)＝4tan x·sin·cos－.
(1)求f(x)的定义域与最小正周期；
(2)讨论f(x)在区间上的单调性．
解：(1)f(x)的定义域为.
f(x)＝4tan xcos xcos－
＝4sin xcos－
＝4sin x－
＝2sin xcos x＋2sin2x－
＝sin 2x＋(1－cos 2x)－
＝sin 2x－cos 2x＝2sin.
所以f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)因为x∈，
所以2x－∈，
由y＝sin x的图象可知，当2x－∈，
即x∈时，f(x)递减；当2x－∈，即x∈时，f(x)递增．
所以当x∈时，f(x)在区间上递增，在区间上递减．
[综合题组练]
1．设α∈，β∈，且tan α＝，则下列结论中正确的是( )
A．α－β＝ B．α＋β＝
C．2α－β＝ D．2α＋β＝
解析：选A.tan α＝＝＝＝
＝tan.因为α∈，β＋∈，所以α＝β＋，即α－β＝.
2．若sin 2α＝，sin(β－α)＝，且α∈，β∈，则α＋β的值是( )
A. B．
C.或 D．或
解析：选A.因为α∈，β∈，
所以2α∈.
又0
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