2017-2018学年河南省安阳市第三十六中学高二下学期第一次月考数学（理）试题 解析版

2017-2018学年河南省安阳市第三十六中学高二下学期第一次月考数学（理）试题 解析版

安阳市第36中学2017—2018学年下学期第一次月考 高二理科数学 考试时间：2018年4月3日 　　　　满分：150分 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分．考试时间１２０分钟．‎ 第卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．函数在上的最大值为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎2．若复数满足，则（ ）‎ A. 1 B. 2 C. D. ‎ ‎3． 曲线在点处的切线方程是 ‎ A.   B. ‎ C.   D. ‎ ‎4．已知函数的导函数存在，则函数在一点的导数值为是函数在这点取极值的（ ）‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎5. 已知整数对的序号如下：则第70个数对是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．曲线与直线及所围成的封闭图形的面积为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎7．下面几种推理是合情推理的是（ ）‎ ‎（1）由圆的性质类比出球的有关性质；‎ ‎（2）由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是，归纳出所有三角形的内角和是；‎ ‎（3）教室内有一把椅子坏了，则该教室内的所有椅子都坏了；‎ ‎（4）三角形内角和是，四边形内角和是，五边形内角和是，由此得出凸多边形内角和是.‎ A．（1）（2） B.（1）（3）（4） C.（1）（2）（4） D.（2）（4） ‎ ‎8．若直线y=a与函数f(x)=x3-3x的图象有相异的三个公共点，则a的取值范围是（ ）‎ A．（-2，2） B．（0，2） C．（-2，1） D．（-2，0）‎ ‎9．复数=‎ A.　；　 　　 B. ；　　　C. ；　　　D. ‎ ‎10．已知二次函数=的导数为，＞0，对任意实数都有≥0，则的最小值为（ ）‎ A.4 B.3 C.8 D.2‎ ‎11．曲线在点处切线为，则 等于( ) A. B. C. 4 D. 2‎ ‎12. 12．若函数在区间单调递增，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 第卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13．观察下列等式：‎ ‎1=1，1-4=-（1+2），1-4+9=1+2+3，1-4+9-16=-（1+2+3+4），…由此推测第个等式为　 　　　　 .（不必化简结果）‎ ‎14．设为实数，若复数，则 .‎ ‎15．用长14.8 m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制的底面的一边比另一边长0.5 m，那么容器的最大容积为________m3.‎ ‎16．设函数的图象与直线轴所围成的图形的面积称为在上的面积，则函数上的面积为 ．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.‎ ‎17. （本小题满分10分）‎ 设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.‎ ‎(1)求f(x)的解析式；‎ ‎(2)曲线f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值.‎ ‎18.（本小题共12分）‎ 求函数f(x)＝ax3－3x2＋1－(a∈R且a≠0). 的极值.‎ ‎19. （本小题共12分）‎ 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)2，其中3＜x＜6，a为常数.已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克.‎ ‎(1)求a的值；‎ ‎(2)若该商品的成本为3元千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.‎ ‎ ‎ 20. ‎（本小题共12分）‎ 设函数f(x)＝－kln x，k>0.‎ ‎(1)求f(x)的单调区间和极值；‎ ‎(2)证明：若f(x)存在零点，则f(x)在区间(1，]上仅有一个零点.‎ ‎21.（本小题共12分）‎ 设函数．‎ ‎(Ⅰ)证明：在单调递减，在单调递增；‎ ‎（Ⅱ）若对于任意，都有，求的取值范围．‎ ‎22.（本小题共12分）‎ 已知函数 ‎（1）求函数在区间上的最大值；‎ ‎（2）若（其中为常数），当时，设函数的3个极值点为且证明 参考答案 参考答案 ‎1．D ‎【解析】‎ 试题分析：解：，令t=cosx，则-1≤t≤1，则函数f（x）等价为函数的导数，当时，g′（t）≤0，函数单调递减，当时，g′（t）≥0，函数单调递增，则，函数g（t）取得极大值，同时也是最大值，故选：D． ‎ 考点：利用导数求闭区间上函数的最值．‎ ‎2．D ‎【解析】‎ 故选 ‎3．C ‎【解析】所以曲线在点处的切线方程是 即故选C ‎4．B ‎【解析】‎ 试题分析：因为函数的导函数存在，所以当函数在处取得极值时，必有；反过来若，函数在处不一定取得极值，如，，有，但由于恒成立，所以在上单调递增，并不是函数的极值点，故选B.‎ 考点：1.函数的极值与导数；2.充分必要条件.‎ ‎5．D ‎【解析】‎ 试题分析：由已知可得，其点列的排列规律是的和从开始，依次是增大，其中也是依次增大，而只有一个；有两个；‎ 有三个；；有个；其上面共有个，的有，所以第对为，故选D．‎ 考点：归纳推理．‎ ‎6．D ‎【解析】曲线与直线及所围成的封闭图形如图所示，‎ 图形的面积为，选.‎ 考点：定积分的简单应用.‎ ‎7．C ‎【解析】解：因为类比推理和归纳推理，都是合情推理。所以以下命题中 ‎（1）由圆的性质类比出球的有关性质；成立 ‎（2）由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是，归纳出所有三角形的内角和是；成立 ‎（3）教室内有一把椅子坏了，则该教室内的所有椅子都坏了；不成立 ‎（4）三角形内角和是，四边形内角和是，五边形内角和是，由此得出凸多边形内角和是.归纳推理成立。‎ ‎8．A ‎【解析】解：令f′（x）=3x2-3=0，‎ 得x=±1，‎ 可求得f（x）的极大值为f（-1）=2，‎ 极小值为f（1）=-2，‎ 当满足-2＜a＜2时，恰有三个不同公共点,选A ‎9．A ‎ ‎【解析】‎ 试题分析：，故选A。‎ 考点：本题主要考查复数的代数运算。‎ 点评：简单题，复数的除法，要注意分子分母同乘分母的共轭复数，实现分母实数化。‎ ‎10．D ‎【解析】‎ 试题分析：先求导，由f′（0）＞0可得b＞0，因为对于任意实数x都有f（x）≥0，所以结合二次函数的图象可得a＞0且b2-4ac≤0，又因为= +1，利用均值不等式即可求解解：∵f'（x）=2ax+b，∴f'（0）=b＞0；∵对于任意实数x都有f（x）≥0，∴a＞0且b2-4ac≤0，∴b2≤4ac，∴c＞0；所以= +1 ，此时a=c时取得等号，故选D 考点：导数的运算，基本不等式 点评：本题考查了求导公式，二次函数恒成立问题以及均值不等式，综合性较强．‎ ‎11．．C ‎【解析】由题意可得,而==，选C.‎ ‎12．C ‎【解析】∵，‎ ‎∴。‎ ‎∵函数在单调递增，‎ ‎∴在上恒成立，‎ 即在上恒成立。‎ 令，则，‎ ‎∴当时， 单调递增，‎ 当时， 单调递减。‎ ‎∴。‎ ‎∴。选C。‎ 点睛：函数的单调性与导函数的关系 ‎（1）若在内，则在上单调递增（减）．‎ ‎（2）在上单调递增（减） （）在上恒成立，且在的任意子区间内都不恒等于0．‎ ‎（3）若函数在区间内存在单调递增（减）区间，则在上有解．‎ ‎13．1-4+9-16+…+(-1)n+1n2=(-1)n+1 (1+2+3+…+n)‎ ‎【解析】观察左右式子结构可知第n个等式应为1-4+9-16+…+(-1)n+1n2=(-1)n+1(1+2+3+…+n)‎ ‎14．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由题，则： ，可得： ‎ 考点：复数相等的充要条件.‎ ‎15．‎ ‎【解析】设容器底面短边长为x m，则另一边长为(x＋0.5)m，高为(3.2－2x)m.‎ 由3.2－2x>0，x>0，得00时，随着x的变化，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：‎ x ‎(－∞，0)‎ ‎0‎ f′(x)‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ f(x)‎  极大值  极小值  ‎∴f(x)极大值＝f(0)＝1－，‎ f(x)极小值＝f＝－－＋1.‎ 当a<0时，随着x的变化，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：‎ x ‎0‎ ‎(0，＋∞)‎ f′(x)‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ f(x)‎  极小值  极大值  ‎∴f(x)极大值＝f(0)＝1－，‎ f(x)极小值＝f＝－－＋1.‎ 综上，f(x)极大值＝f(0)＝1－，‎ f(x)极小值＝f＝－－＋1.‎ ‎19．(1)因为x＝5时，y＝11，所以＋10＝11，a＝2.‎ ‎(2)由(1)知，该商品每日的销售量为y＝＋10(x－6)2.‎ 所以商场每日销售该商品所获得的利润为 f(x)＝(x－3)[＋10(x－6)2]‎ ‎＝2＋10(x－3)(x－6)2，3＜x＜6.‎ 从而，f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]‎ ‎＝30(x－4)(x－6).‎ 于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：‎ x ‎(3，4)‎ ‎4‎ ‎(4，6)‎ f′(x)‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ f(x)‎ 单调递增 极大值42‎ 单调递减 由上表可得，x＝4时，函数f(x)取得极大值，也是最大值.‎ 所以，当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.‎ 答：当销售价格为4元千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.‎ ‎20．解　由f(x)＝－kln x(k>0)，得x＞0且f′(x)＝x－＝.由f′(x)＝0，解得x＝(负值舍去).‎ f(x)与f′(x)在区间(0，＋∞)上的变化情况如下表：‎ x ‎(0，)‎ ‎(，＋∞)‎ f′(x)‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ f(x)‎   所以，f(x)的单调递减区间是(0，)，单调递增区间是(，＋∞).‎ f(x)在x＝处取得极小值f()＝.‎ ‎21．【答案】(Ⅰ)详见解析；（Ⅱ）．‎ ‎22．（1）最小值为，最大值为；（2）详见解析 ‎【解析】‎ 试题分析：（1）求出函数的导数，判断函数的单调性，即可得到最值；（2）由题意得，求导可得，令，有，所以函数在上单调递减，在上单调递增，因为函数有三个极值点，从而，当时，从而3个极值点中，有一个为，有一个小于，有一个大于1，再根据题意，即可得到结果．‎ 试题解析：（1）函数的定义域为 ‎，令可得 当时，，函数单调递减；‎ 当时，，函数单调递增．‎ ‎∴，又，且，‎ 所以函数的最小值为，最大值为 ‎(2）由题意得 令，有 所以函数在上单调递减，在上单调递增 因为函数有三个极值点，从而 当时，‎ 从而3个极值点中，有一个为，有一个小于，有一个大于1，‎ 又，∴，即，‎ 故 考点：1．利用导数求闭区间上函数的最值；2．利用导数研究函数的极值．‎ ‎.‎