备战2020年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题33 多角度破解多变元范围问题

备战2020年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题33 多角度破解多变元范围问题

专题33 多角度破解多变元范围问题 ‎【热点聚焦与扩展】‎ 在近几年的高考题目中，有些多变元（量）确定范围问题，一般地可利用已知条件进行消元，从而将多变量表达式转化为一元表达式，便于求得范围（最值），且消元的方法较多.另外，某些题目也可以利用数形结合法求解.本专题重点说明从消元、数形结合等角度解答此类问题.‎ ‎（一）消元法：‎ ‎1、消元的目的：若表达式所含变量个数较多，则表达式的范围不易确定（会受多个变量的取值共同影响），所以如果题目条件能够提供减少变量的方式，则通常利用条件减少变量的个数，从而有利于求表达式的范围（或最值），消元最理想的状态是将多元表达式转为一元表达式，进而可构造函数求得值域 ‎2、常见消元的方法：‎ ‎（1）利用等量关系消元：若题目中出现了变量间的关系（等式），则可利用等式进行消元，在消元的过程中要注意以下几点：‎ ‎① 要确定主元：主元的选取有这样几个要点：一是主元应该有比较明确的范围（即称为函数的定义域）；二是构造出的函数能够解得值域（函数结构不复杂）‎ ‎② 若被消去的元带有范围，则这个范围由主元承担.例如选择为主元，且有，则除了满足自身的范围外，还要满足（即解不等式）‎ ‎（2）换元：常见的换元有两种：‎ ‎①整体换元：若多元表达式可通过变形，能够将某一个含多变量的式子视为一个整体，则可通过换元转为一元表达式，常见的如等，例如在中，可变形为，设，则将问题转化为求的值域问题 注：在整体换元过程中要注意视为整体的式子是否存在范围，即要确定新元的范围 ‎②三角换元：已知条件为关于的二次等式时，可联想到三角公式，从而将的表达式转化为三角函数表达式来求得范围.因为三角函数公式的变形与多项式变形的公式不同，所以在有些题目中可巧妙的解决问题，常见的三角换元有：‎ 平方和：联想到正余弦平方和等于1，从而有：‎ 19‎ 推广：‎ 平方差：联想到正割（） 与正切（）的平方差为1，则有，‎ 推广：‎ 注：若有限定范围时，要注意对取值的影响，一般地，若的取值范围仅仅以象限为界，则可用对应象限角的取值刻画的范围 ‎3、消元后一元表达式的范围求法：‎ ‎（1）函数的值域——通过常见函数，或者利用导数分析函数的单调性，求得函数值域 ‎（2）均值不等式：若表达式可构造出具备使用均值不等式（等）的条件，则可利用均值不等式快速得到最值.‎ ‎（3）三角函数：‎ ‎① 形如的形式：则可利用公式转化为的形式解得值域（或最值）‎ ‎② 形如：则可通过换元将其转化为传统函数进行求解 ‎ ‎③ 形如：，可联想到此式为点和定点连线的斜率，其中为单位圆上的点，通过数形结合即可解得分式范围 ‎（二）放缩消元法 ‎1、放缩法求最值的理论基础：‎ ‎ 不等式的传递性：若，则 ‎ ‎2、常见的放缩消元手段：‎ ‎（1）抓住题目中的不等关系，若含有两个变量间的不等关系，则可利用这个关系进行放缩消元 ‎（2）配方法：通过利用“完全平方式非负”的特性，在式子中构造出完全平方式，然后令其等于0，达到消元的效果 19‎ ‎（3）均值不等式：构造能使用均值不等式的条件，利用均值不等式达到消元的效果 ‎（4）主元法：将多元表达式视为某个变量（即主元）的函数，剩下的变量视为常数，然后利用常规方法求得最值从而消去主元，达到消元的效果.‎ ‎3、放缩消元过程中要注意的地方：‎ ‎（1）在放缩过程中应注意所求最值与不等号方向的对应关系，例如：若求最小值，则对应的不等号为“”；若求最大值，则对应的不等号为“”.放缩的方向应与不等号的方向一致 ‎（2）对进行放缩消元后的式子，要明确是求其最大值还是最小值.放缩法求最值的基础是不等式的传递性，所以在求最值时要满足其不等号的方向一致.若将关于 的表达式进行放缩消去，得到，例如，则下一步需要求出的最小值（记为），即，通过不等式的传递性即可得到.同理，若放缩后得到：，则需要求出的最大值（记为），即，然后通过不等式的传递性得到 ‎（3）在放缩的过程中，要注意每次放缩时等号成立的条件能够同时成立，从而保证在不等式中等号能够一直传递下去 ‎（三）数形结合法 ‎1、数形结合的适用范围：‎ ‎（1）题目条件中含有多个不等关系，经过分析后可得到关于两个变量的不等式组 ‎（2）所求的表达式具备一定的几何意义（截距，斜率，距离等）‎ ‎2、如果满足以上情况，则可以考虑利用数形结合的方式进行解决 ‎3、高中知识中的“线性规划”即为数形结合求多变量表达式范围的一种特殊情形，其条件与所求为双变量的一次表达式 ‎4、有些利用数形结合解决的题目也可以使用放缩消元的方式进行处理，这要看所给的不等条件（尤其是不等号方向）是否有利于进行放缩.‎ ‎【经典例题】‎ 例1. 已知函数，对任意的，存在，使得，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D 19‎ ‎【解析】由已知，可得：，考虑进行代入消元，但所给等式中无论用哪个字母表示另一个字母，形式都比较复杂不利于求出最值.所以可以考虑引入新变量作为桥梁，分别表示，‎ ‎ ‎ 在单调递减，在单调递增 答案：D.‎ ‎ 例2. 若实数满足条件，则的取值范围是_________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】思路一：考虑所求式子中可变为，所以原式变形为：，可视为关于的二次函数，设，其几何含义为与连线的斜率，则由双曲线性质可知该斜率的绝对值小于渐近线的斜率，即，则 思路二：本题也可以考虑利用三角换元.设，从而原式转化为：，由可知 19‎ 的范围为 答案：‎ 例3. 对于，当非零实数满足且使最大时，的最小值是________‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】思路：首先要寻找当最大时，之间的关系，以便于求多元表达式的范围 从方程入手，向靠拢进行变形，在利用取得最大值时的关系对所求进行消元求最值.‎ ‎（等号成立条件：‎ ‎ 最大值是，从而可得：‎ 解得：‎ 19‎ 答案：的最小值为 例4. 设实数满足，则的取值范围是__________‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 点睛：1.（*）为均值不等式的变形：‎ ‎ ；‎ ‎2.主元变为a.‎ 例5.【2019届江苏省苏锡常镇四市调研（二）】已知为正实数，且，则的最小值为____．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】分析：先通过结合基本不等式求出，再开方得到的最小值.‎ 详解：由题得，‎ 代入已知得，‎ 两边除以得 当且仅当ab=1时取等.‎ 19‎ 所以 即的最小值为.‎ 故答案为：‎ 点睛：本题的难点在要考虑到通过变形转化得到，再想到两边除以得，重点考查学生的逻辑分析推理转化的能力.‎ 例6.设集合中的最大元素与最小元素分别为，则的值为____________‎ ‎【答案】‎ 例7．设实数满足，则的最大值为__________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】思路：由可联想到与的关系，即，所以，然后可利用进一步放缩消元，得，在利用即可得到最大值：，所以的最大值为，其中等号成立条件为： ‎ 答案：‎ 19‎ 点睛：本题也可从入手，进行三角换元：，由可得，然后根据不等号的方向进行连续放缩，消去 即可得到最值：‎ ‎.‎ 例8. 设，且，则的最大值是____________ ‎ ‎【答案】12‎ ‎【解析】思路：本题虽然有3个变量，但可通过进行消元，观察所求式子项的次数可知消去更方便，从而可得.然后可使用“主元法”进行处理，将视为主元，‎ 设 ‎ ‎ 为的极小值点 ‎ 其中 设 若 19‎ ‎ 可得：‎ ‎.‎ 例9.【2019届江苏省苏锡常镇四市调研（二）】已知函数若存在实数，满足，则的最大值是____．‎ ‎【答案】.‎ ‎∵存在实数a＜b＜c，满足f（a）=f（b）=f（c），‎ ‎∴a+b=﹣6，‎ ‎∴af（a）+bf（b）+cf（c）=（a+b+c）f（c）=（c﹣6）lnc，‎ 由函数图象可知：＜c＜e2，‎ 设g（c）=（c﹣6）lnc，则=lnc+1﹣，‎ 显然在（，e2]上单调递增，‎ ‎∵=2﹣＜0，=3﹣＞0，‎ ‎∴在（，e2]上存在唯一一个零点，不妨设为c0，‎ 在g（c）在（，c0）上单调递减，在（c0，e2]上单调递增，‎ 19‎ 又g（）=（﹣6）＜0，g（e2）=2（e2﹣6）＞0，‎ ‎∴g（c）的最大值为g（e2）=2e2﹣12．‎ 故答案为：2e2﹣12‎ 点睛: （1）本题有三个关键点,其一是能够很熟练准确地画出函数的图像；其二是从图像里能发现a+b=-6, ＜c＜e2；其三是能够想到构造函数g（c）=（c﹣6）lnc，利用导数求函数的最大值.（2）本题要求函数的图像和性质掌握的比较好，属于中档题.‎ 例10.【2019届衡水金卷信息卷四】已知函数的导函数在区间内单调递减，且实数， 满足不等式，则的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C 又的几何意义是表示平面区域内的动点Q(a,b)与定点P(2,3)连线的斜率，数形结合易知最大， 最小，由方程组 所以的取值范围为，故选C.‎ 点睛：本题的难点在于能够数形结合，看到不等式 19‎ 要联想到二元一次不等式对应的平面区域，看到不等式要联想到二次不等式对应的曲线区域.如果这个地方不能想到数形结合，本题突破就不容易.数学的观察想象是数学能力的一个重要部分,在平时的学习中,要有意识的培养和运用.‎ ‎【精选精练】‎ ‎1．【2019届四川省绵阳市三诊】若曲线的一条切线是，则的最小值是（ ）‎ A. 2 B. C. 4 D. ‎ ‎【答案】C ‎2.【2019届安徽省“皖南八校”第三次（4月）联考】已知函数，若满足，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：由已知条件可得，函数是定义在上的奇函数，从而将题中的条件转化为关于的二元一次不等式组，画出相应的可行域，之后结合目标函数的几何意义，确定最优解的位置，从而求得范围.‎ 最小值，在点处取得最大值，而边界值取不到，故答案是，故选C.‎ 点睛：该题属于利用题的条件，求得约束条件，确定可行域，结合目标函数是分式形式的，属于斜率型的，结合图形，求得结果.‎ ‎3．【2019届东北三省三校（哈尔滨师范大学附属中学）三模】已知函数 ，函数 19‎ ‎ 有四个不同的零点，从小到大依次为 ， ， ， ，则 的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：先根据对称性可得，且，，再根据韦达定理可得，利用基本不等式，结合选项可得结果.‎ 详解：‎ 函数 ，函数 的零点，‎ 就是的图象与交点的横坐标，‎ 是方程的两根，‎ 关于对称，‎ ‎，且，，‎ 19‎ ‎，‎ ‎，只有选项符合题意，故选A.‎ 点睛：本题主要考查函数的零点、函数与方程思想、数形结合思想以及基本不等式求最值，属于难题. 函数的性质问题以及函数零点问题是高考的高频考点，考生需要对初高中阶段学习的十几种初等函数的单调性、奇偶性、周期性以及对称性非常熟悉；另外，函数零点的几种等价形式：函数有零点函数在轴有交点方程有根函数与有交点.‎ ‎4．【辽宁省部分重点中学协作体2019年高三模拟】直线与圆有公共点，则的最大值为（ ）‎ A. B. C. D. 2‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：由可得，换元、配方后利用二次函数求解即可.‎ 详解：因为直线与圆有公共点，‎ 设，则，‎ 由二次函数的性质可得时，，故选B.‎ 19‎ 点睛：本题主要考查曲直线与圆的位置关系以及二次函数的性质，属于难题.求最值问题往往先将所求问题转化为函数问题，然后根据:配方法、换元法、不等式法、三角函数法、图像法、函数单调性法求解，利用函数的单调性求范围，首先确定函数的定义域，然后准确地找出其单调区间 ，最后再根据其单调性求凼数的最值即可.‎ ‎5．【2019届山西省榆社中学诊断】设函数，若互不相等的实数满足，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：不失一般性可设，利用，结合图象可得的范围及，，将所求式子转化为的函数，运用对勾函数的单调性，即可得到所求范围.‎ ‎，则的范围是，故选B．‎ 点睛：本题考查函数式取值范围的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想以及数形结合思想的应用．‎ ‎6．【2019届安徽省“皖南八校”第三次（4月）联考】若均为任意实数，且，则 19‎ ‎ 的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：该题可以看做是圆上的动点到曲线上的动点的距离的平方的最小值问题，可以转化为圆心到曲线上的动点的距离减去半径的平方的最值问题，结合图形，可以断定那个点应该满足与圆心的连线与曲线在该点的切线垂直的问题来解决，从而求得切点坐标，即满足条件的点，代入求得结果.‎ 详解：由题意可得，其结果应为曲线上的点与以为圆心，以为半径的圆上的点的距离的平 点睛：解决该题的关键是分析清式子代表的意义，再者就是什么时候满足距离最小，之后应用导数的几何意义求得切线的斜率，应用两点斜率坐标公式求得直线的斜率，两条直线垂直，斜率乘积等于-1.从而求得结果.‎ ‎7．【2019届四川省南充市高三第三次联合诊】已知函数的两个极值分别为， ，若， 分别在区间与内，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：先根据导函数的两个根的分布建立a、b的约束条件，然后利用线性规划的方法求出目标函数的取值范围即可．‎ 详解：∵函数 ‎∴的两个根为， ，‎ ‎∵， 分别在区间(0,1)与(1,2)内 19‎ ‎∴⇒ ‎ 做出可行域如图所示，令，平移直线.‎ 经过点A(-1,0)时， 最小为：2；经过点B(-3,1)时，z最大为：7‎ ‎∴b−2a∈(2,7)，‎ 故选A.‎ 点睛：解本题的关键是处理二次函数根的分布问题，对于二次函数的研究一般从以几个方面研究：‎ 一是，开口；‎ 二是，对称轴，主要讨论对称轴与区间的位置关系；‎ 三是，判别式，决定于x轴的交点个数；‎ 四是，区间端点值.‎ ‎8．【2019届华大新高考联盟4月检测】对，，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C 上恒成立，即函数在 上单调递增，则 19‎ 的最小值为.‎ 故选C.‎ ‎9．【2019届高三下学期第二次调研】已知函数的图像在点处的切线的斜率为2，则的最小值是（ ）‎ A. 10 B. 9 C. 8 D. ‎ ‎【答案】B 所以的最小值为，故选B.‎ ‎10．【2019届陕西省延安市高三高考模拟】已知函数，若，，且，则的最小值为__________．‎ ‎【答案】9‎ ‎【解析】试题分析：已知函数的表达式，可求出再根据1 的妙用，为乘以，最终应用均值不等式求得最值.‎ 详解：已知函数，，,,所以，则+ ‎ 点睛：这个题目考查了分段函数的性质及应用，以及双变量的最值求法，即均值不等式中1的妙用.解决二元最值或者范围问题，常用的方法有：不等式的应用，线规的应用，二元化一元等方法.‎ ‎11．【2019届浙江省宁波市高三5月模拟】已知实数满足：， .则的最小值为______．‎ ‎【答案】6.‎ ‎【解析】分析: 不妨设是中的最小者，即，把已知转化为，‎ 19‎ 且，.再利用一元二次方程的根来分析求的最小值.‎ ‎ ‎ 又当,时，满足题意. 故中最小者的最大值为.　(1)　　　　　　　‎ 因为，所以为全小于0或一负二正.‎ ‎1)若为全小于0，则由（1）知，中的最小者不大于，这与矛盾.‎ ‎2）若为一负二正，设，则 当,时，‎ 满足题设条件且使得不等式等号成立．‎ 故的最小值为6. ‎ 点睛：本题解题的关键难在转化，先要消元，通过已知的分析转化得到b+c的表达式和a的范围，再利用函数分析求的最小值.‎ ‎12.【2019年4月2019届高三第二次全国大联考】已知函数的定义域为,值域为,则的值为___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为,所以,所以.①当时,由题意,得,即,两式相减并化简得,又因为 19‎ ‎,所以此时不存在满足条件的；②当满足条件的唯一,所以.‎ 19‎