中考数学专题复习练习：勾股定理的逆定理

中考数学专题复习练习：勾股定理的逆定理

例01．在中，，，为三边，试判断该三角形是否为直角三角形？‎ 解答：∵，‎ ‎，‎ ‎∴边为三角形的最大边，‎ 又∵，‎ ‎，‎ ‎∴‎ 根据勾股定理的逆定理可知，为直角三角形. ‎ 说明：三角形的三边分别为，，，其中为最大边. ‎ ‎（1）若，则三角形是直角三角形；‎ ‎（2）若，则三角形是锐角三角形；‎ ‎（3）若，则三角形是钝角三角形；‎ 例02．如图所示，在正方形ABCD中，F为AD上一点，且，E是CD的中点. ‎ 求证：. ‎ 分析：要证，可证，即证的直角三角形，由勾股定理的逆定理，可证，可通过在直角三角形BCE，直角三角形EDF，直角三角形BAF中分别计算出BE，EF，BF的长. ‎ 证明：连结BF，‎ 设正方形ABCD的边长为，则，，‎ 在直角三角形BCE中，‎ ‎. ‎ 在直角三角形EDF中，‎ ‎，‎ 在直角三角形ABF中，‎ ‎，‎ 由勾股定理的逆定理可知：‎ 为直角三角形，且BF为最大边 ‎∴ ‎ ‎∴ ‎ 说明：证明某个三角形中的两条边垂角，而三条边的长度为已知，则常用勾股定理的逆定理来证明该三角形为直角三角形. ‎ 例03．如图所示，中，，AD是中线，，垂足为E，‎ 求证：. ‎ 分析：要证，由于AE，AC，BE三条边不在同一个三角形中，因此无法用勾股定理的逆定理来证明，根据题意我们可以将BE用AE，AC表示出来即可，这样有. 所以只要证明：‎ ‎，‎ 即证明，‎ ‎∵ 在直角三角形AED中，，‎ 在直角三角形ACD中，‎ ‎∴ ，‎ 本题即获解决 证明可由读者自己完成 例04．已知、、为的三边，且满足.‎ 求证：这个三角形是直角三角形. ‎ 分析：要证明是直角三角形，应从它的三边、、入手，如果有关系或或成立，那么这个三角形一定是直角三角形.‎ ‎ 从已知条件，可以求出、、的长. ‎ 解答：由已知得：. ‎ ‎∴ ‎ 即 ‎ ‎∵‎ ‎∴ ，即 ‎∵，即有，∴是直角三角形. ‎ 说明：直角三角形适用于勾股定理，而利用逆定理是判断一个三角形是直角三角形的方法，当由边之间的关系判断三角形的形状时，我们用勾股定理先行考证，没有条件时，创造条件，从而求出边长或边长之间的关系，进而判断. ‎ 典型例题分析 例1 如果一个三角形的三边长分别为，则这三角形是直角三角形 分析： 验证三边是否符合勾股定量的逆定理 证明：∵‎ ‎∴‎ ‎∵∠C＝‎ 说明：勾股定理的逆定理给出了判定一个三角形是直角三角形的方法，与前面学习的方法不同，它需要通过代数运算算出来．‎ 例2　　已知：如图，四边形ABCD中，∠B＝，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13求四边形ABCD的面积 分析：我们不知道这个四边形是否为特殊的四边形，所以将四边形分割为两个三角形，只要求出这两个三角形的面积，四边形的面积就等于这两个三角形的面积和．‎ 解：连结AC ‎∵∠B＝，AB＝3，BC＝4‎ ‎∴‎ ‎∴AC＝5‎ A B C D ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴∠ACD＝‎ 说明：求四边形的面积问题转化为两个三角形的面积问题，在此利用勾股定理的逆定理判定三角形为直角三角形．‎ 例3　如图，已知：CD⊥AB于D，且有 A B D C 求证：△ACB为直角三角形 分析：根据勾股定理的逆定理，只需证即可 证明：∵CD⊥AB ‎∴　‎ 又∵‎ ‎∴‎ ‎∴△ABC为直角三角形 说明：充分利用勾股定理及其逆定理 填空题 ‎（1）若一个三角形的一个角等于其他两个角的差，那么这个三角形是______三角形. ‎ ‎（2）若在中，，则______. ‎ ‎（3）若一个三角形的三边长分别为，当_____时，此三角形是直角三角形. ‎ ‎（4）若一个三角形的三边长分别为15，20，25，那么是_____三角形. ‎ 参考答案：‎ ‎（1）直角 （2） （3）2 （4）直角 ‎ 选择题 ‎（1）在中，，那么是（ ）‎ ‎（A）锐角三角形 （B）钝角三角形 ‎（C）三边都不相等的直角三角形 （D）等腰直角三角形 ‎（2）以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（ ）‎ ‎（A）5，6，7 （B）10，8，4‎ ‎（C）7，25，24 （D）9，17，15‎ ‎（3）一个三角形的三边长分别为20，15，25，那么它的最长边上的高是（ ）‎ ‎（A） （B）12 （C） （D）9‎ ‎（4）在中，D是BC上一点，若，则的面积是（ ）‎ ‎（A）30 （B）42 （C）84 （D）100‎ 参考答案：‎ ‎（1）D （2）C （3）B （4）C 解答题 ‎1．如图，在四边形ABCD中，，，且. ‎ 求：四边形ABCD的面积. ‎ ‎2．在中，，求BC边上的高AE的长. ‎ ‎3．已知：中，，，BC边上的中线. ‎ 求证：为等腰三角形. ‎ ‎4．已知：在中，，AD是的平分线，交BC于D，，. ‎ 求AC的长和三角形ABC的面积. ‎ ‎5．在中，，且. ‎ 求证：. ‎ ‎6．如图，已知：正方形ABCD的边长为4，E是DC的中点，F是BC边上的一点，且. ‎ 求证：是直角三角形. ‎ ‎7．若三角形ABC的三边、、满足条件，试判断的形状. ‎ ‎ ‎ 参考答案：‎ ‎1．解：连结AC，则因，∴ ∴，即. ∴‎ ‎2．解：由条件可知： ∴，‎ ‎.∴. ‎ ‎3．解：AD为中线，∴，则在中有，，∴，∵AD既为中线又为高，∴是等腰三角形. ‎ ‎4．解：按题意，如图，作，垂足为E，则有. ∴. 设，则，有，即，解得， ∴AC长为，三角形ABC的面积为.‎ ‎5．证明：∵，∴为直角三角形，其中 ‎，又因，∴，即一直角边为斜边的一半，∴，∴，∴. ‎ ‎6．设，则，，‎ ‎∴，，‎ ‎，∴，∴为直角三角形. ‎ ‎7．解：‎ ‎∴或，∴为等腰三角形或直角三角形. ‎ 习题精选 ‎1、在三边分别为下列长度的三角形中，哪些不是直角三角形（　　　）‎ A、 ‎5,13,12　B、2,3， C、4,7，5 D、1，‎ 答：C ‎2、下列命题中假命题是（　　　　　）‎ A、 三个角的度数之比为1：3：4的三角形是直角三角形 B、 三个角的度数之比为1：：2的三角形是直角三角形 ‎ C、 三边长度之比为1：：2的三角形是直角三角形 D、 三边长度之比为：2的三角形是直角三角形 答：B 2、 已知一个三角形的三边分别为3k, 4k，5k（k为自然数），则这个三角形为＿＿＿三角形 答：直角三角形 ‎5、设，如果是三角形较小的两条边，当第三边等于＿＿＿时，‎ 这个三角形为直角三角形 答：‎ ‎6、如果三角形三边满足，‎ 则三角形为＿＿＿＿‎ A D B C E F 提示：‎ 答：直角三角形 ‎7、如图，ABCD是正方形，‎ 求证：DE⊥EF 提示：连结DE，可得△EFD是直角三角形