数学理卷·2018届北京市海淀区20中高二上学期期中考试数学（理）试题（解析版）x

数学理卷·2018届北京市海淀区20中高二上学期期中考试数学（理）试题（解析版）x

‎2016-2017学年第一学期高二年级数学期中考试试卷 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.‎ ‎1. 直线的倾斜角为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B 所以直线的倾斜角等于，故选．‎ ‎2. 如果两直线，且平面，则与的位置关系是（ ）‎ A. 相交 B. C. D. 或 ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：直线与平面的位置关系有三种：线在面内、线面平行、线面相交；其中能符合题目要求的有线面平行与线在面内；‎ 考点：直线与平面的位置关系；‎ ‎3. 若三点、、共线，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】∵三点，，在一条直线上，∴，∴，‎ 计算得出，故选A．‎ ‎4. 圆与圆的位置关系是（ ）‎ A. 相交 B. 外离 C. 内切 D. 外切 ‎【答案】A ‎【解析】由圆与圆可得，，，，，所以， ，所以两圆的位置关系是相交，故选A．‎ ‎5. 若两直线与平行，则它们之间的距离为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】可化为，由两平行线之间的距离公式可得，故选．‎ ‎6. 已知圆，直线，，若，被圆所截得的弦的长度之比为，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】圆的圆心为，半径为，‎ 圆心到线的距离为，被圆所截得的弦的长度为，‎ 圆心到的距离为，被圆所截得的弦的长度为，‎ 结合，被圆所截得的弦的长度之比为，可得，‎ 求得，故选．‎ ‎7. 如图，已知三棱锥的底面是等腰直角三角形，且，侧面底面，，则这个三棱锥的三视图中标注的尺寸，，分别是（ ）‎ A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，‎ ‎【答案】A ‎【解析】由三棱锥及其三视图可知，为等边的高，所以，又因为为的长，所以，可得为点到的距离，由此，故选．‎ ‎【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.‎ ‎8. 如图，已知平面平面，，、是直线上的两点，、是平面内的两点，且，，，，，是平面上的一动点，且有，则四棱锥体积的最大值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题知：，是直角三角形，又，所以．‎ 因为，，所以．作于，则．‎ 令，则，可得，所以即为四棱锥的高，又底面为直角梯形，．所以 ‎，故选．‎ ‎【方法点睛】本题主要考查面面垂直的性质，棱锥的体积公式以及求最值问题，属于难题. 求最值的常见方法有①配方法：若函数为一元二次函数，常采用配方法求函数求值域，其关键在于正确化成完全平方式，并且一定要先确定其定义域；②换元法；③不等式法；④单调性法；⑤图像法，本题首先根据线面关系将体积最值转化为函数求最值问题，然后应用方法①解答的.‎ 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．‎ ‎9. 已知两点，，则线段的长为__________．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】因为，，，所以由两点间距离公式可得线段的长为，故答案为.‎ ‎10. 底面直径是，高是的圆柱的侧面积为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为圆柱的底面直径是 ，所以底面半径为 ，又因为圆柱的高是，所以由圆柱的侧面积公式可得圆柱的侧面积为，故答案为.‎ ‎11. 已知直线与直线垂直，则的值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由直线与直线垂直，可得，‎ 计算得出，故答案是．‎ ‎12. 从点引圆的切线，则切线长是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为圆的方程为，所以圆心，半径，‎ 所以，所以切线长，故答案为．‎ ‎13. 已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的长是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ 则该三棱锥的最长棱的长是，，故答案为．‎ ‎14. 若动点在直线上，动点在直线上，设线段的中点为，且，则的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由直线方程可知两直线斜率相等，所以，由平行线线的几何性质知的轨迹为平行于的直线，直线方程为，又点在圆的内部，故的轨迹是如图所示的线段．即原点和距离的平方．由图可知，，，，故答案为．‎ ‎【方法点晴】本题主要考查轨迹方程及解析几何求最值，属于难题.解决曲线轨迹中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将曲线轨迹中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法.本题是先将转化为直线上的点与原点距离的平方，然后利用几何方法解答的.‎ 三、解答题共6小题，共80分．解答应写出相应文字说明，演算步骤或证明过程．‎ ‎15. 求满足下列条件的曲线方程：‎ ‎（1）过点，两点的直线方程；‎ ‎（2）过点且圆心在的圆的方程．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由，求出直线的斜率，设出直线方程，将点代入求出参数，即可得结果；（2）设圆为，将代入，得，从而可得圆的方程.‎ 试题解析：（1）∵过点，，‎ ‎∴，‎ ‎∴设直线为，将代入得：‎ ‎，即，‎ ‎∴．‎ ‎（2）∵圆心为，‎ ‎∴设圆为，‎ 将代入，得：，‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎ ‎16. 如图，在直三棱柱中，，，为中点，与交于点．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求证：平面；‎ ‎（3）求三棱锥的表面积．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）证明：连结，可得为的中位线，可得，根据线面平行的判定定理可得平面；（2）在直三棱柱中，可证平面，从而可得，又，，即可证明平面；（3），分别利用三角形面积公式求出各三角形面积，求和即可得结果.‎ 试题解析：（1）证明：连结，‎ ‎∵直三棱柱，，‎ ‎∴四边形为正方形，‎ ‎∴为中点，‎ ‎∵为中点，‎ ‎∴，‎ ‎∵平面，平面，‎ ‎∴平面．‎ ‎（2）证明：方法1，∵直三棱柱，‎ ‎∴，‎ 又∵，，‎ ‎∴平面，‎ ‎∵平面，‎ ‎∴，‎ ‎∵正方形，‎ ‎∴，‎ 又∵，‎ ‎∴平面．‎ 方法2：∵直三棱柱，‎ ‎∴平面平面，‎ ‎∵平面平面，，‎ ‎∵平面，‎ ‎∵平面，‎ ‎∴，‎ ‎∵正方形，‎ ‎∴，‎ 又∵，‎ ‎∴平面．‎ ‎（3）‎ ‎．‎ ‎【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、线面垂直的判定定理、利用等积变换求三棱锥体积，属于难题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（1）是就是利用方法①证明的.‎ ‎17. 已知的三个顶点，，．‎ ‎（1）设，边上的中点分别为，，求所在直线方程；‎ ‎（2）求边上的高线所在直线方程；‎ ‎（3）求的面积．‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由中点坐标公式可得的中点坐标，从而可得直线的斜率，再根据点斜式可得方程；（2）由两点可得的斜率，由垂直关系可得高线的斜率，点斜式可得方程；（3）可得的方程，可求到直线的距离即三角形的高，再由距离公式求得边上的高，代入面积公式可得结果.‎ 试题解析：（1）∵，，，‎ ‎∴，，‎ ‎∴，‎ ‎∴所在直线方程：，‎ 即．‎ ‎（2）∵，为，中点，‎ ‎∴，‎ ‎∴所求直线斜率，‎ 代入，得，‎ 即．‎ ‎（3），‎ 到距离．‎ ‎∵，为，中点，‎ ‎∴．‎ ‎18. 已知圆．‎ ‎（1）直线的方程为，直线交圆于、两点，求弦长的值；‎ ‎（2）从圆外一点引圆的切线，求此切线方程．‎ ‎【答案】（1）；（2）或.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由圆方程可得圆心，，先求出圆心到直线距离，根据勾股定理可得；（2）当直线为时，与圆相切，符合题意．‎ 当斜率存在时，设斜率为，可设直线，利用圆心到切线的距离等于半径列方程，即可解得的值，从而可得结果.‎ ‎.‎ 试题解析：（1）∵圆，‎ ‎∴圆心，，‎ 圆心到直线距离，‎ ‎∴．‎ ‎（2）①当直线为时，与圆相切，符合题意．‎ ‎②当斜率存在时，设斜率为，‎ ‎∴直线，‎ 即，‎ 圆心到直线距离，‎ ‎∵直线与圆相切，‎ ‎∴即，‎ ‎∴，‎ ‎∴直线：，‎ ‎∴综上可知，切线方程为或．‎ ‎19. 如图，四棱锥中，底面是边长为的菱形，，，为中点．‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）若，，的交点记为，求证平面；‎ ‎（3）在（2）的条件下求三棱锥的体积．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据等腰三角形的性质可得，根据菱形的性质可得，由线面垂直的判定定理可得面，根据面面垂直的判定定理可得结果；（2）由，为中点，可得，由（1）知，利用线面垂直的判定定理可得结论；（3）先证明面，则，利用棱锥的体积公式可得结果.‎ 试题解析：（1）设，连结，‎ ‎∴，为中点，‎ ‎∴，‎ 又∵底面为菱形，‎ ‎∴，‎ ‎∵，‎ ‎∴面，‎ 又∵面，‎ ‎∴面面．‎ ‎（2）∵，为中点，‎ ‎∴，‎ 又∵，，‎ ‎∴面．‎ ‎（3）过作于，‎ ‎∴，‎ 又∵面，‎ 面，‎ ‎∴‎ ‎．‎ ‎【方法点晴】本题主要考线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理以及利用等积变换求棱锥体积，属于难题.解答空间几何体中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理；证明直线和平面垂直的常用方法有：（1）利用判定定理；（2）利用判定定理的推论；（3）利用面面平行的性质；（4）利用面面垂直的性质，当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.‎ ‎20. 已知圆和定点，由圆外一点向圆引切线，切点为，且满足．‎ ‎（1）求实数，满足的等量关系；‎ ‎（2）求线段长的最小值；‎ ‎（3）若以为圆心所作的圆与圆有公共点，试求半径取最小值时圆的方程．‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）连接，则为直角三角形，利用，即可求得实数，满足的等量关系；（2）表示出利用配方法即可求出的最小值；（3）由⊙与⊙有公共点，可得，只需求出的最小值以及取得最小值时的 的值，即可求出半径最小值的圆的方程.‎ 试题解析：（1）连接，‎ ‎∵为切点，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎（2）∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎．‎ ‎∴当时，线段长的最小值为．‎ ‎（3）设半径为，‎ ‎∵⊙与⊙有公共点，⊙半径为，‎ ‎∴，‎ 即且，‎ ‎∴，‎ ‎∴当时，，此时，，‎ ‎∴当半径取最小值时，圆方程为：‎ ‎．‎ ‎ ‎