2019-2020学年黑龙江省哈尔滨市阿城区八年级（下）期末数学试卷（五四学制）（ 解析版）

2019-2020学年黑龙江省哈尔滨市阿城区八年级（下）期末数学试卷（五四学制）（ 解析版）

‎2019-2020学年黑龙江省哈尔滨市阿城区八年级（下）期末数学试卷 一．选择题（共10小题）‎ ‎1．一个直角三角形的两条直角边分别是5和12，则斜边是（　　）‎ A．13 B．‎12 ‎C．15 D．10‎ ‎2．下列四个图象中，不表示某一函数图象的是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎3．下列方程中是关于x的一元二次方程的是（　　）‎ A． B．ax2+bx+c＝0 ‎ C．（x﹣1）（x+2）＝1 D．3x2﹣2xy﹣5y2＝0‎ ‎4．一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象如图所示，当y＞0时，x的取值范围是（　　）‎ A．x＜0 B．x＞‎0 ‎C．x＜2 D．x＞2‎ ‎5．正方形具有而菱形不具有的性质是（　　）‎ A．对角线互相平分 B．对角线相等 ‎ C．对角线平分一组对角 D．对角线互相垂直 ‎6．已知，点（﹣2，y1）和点（﹣3，y2）在直线y＝﹣3x+4图象上，则y1和y2的大小关系是（　　）‎ A．y1＜y2 B．y1＞y‎2 ‎C．y1＝y2 D．不能确定 ‎7．如图所示是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6，BC＝8，现将△‎ ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则AD的长为（　　）‎ A．4 B．‎5 ‎C．6 D．‎ ‎8．某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元，如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为（　　）‎ A．200（1+x）2＝1000 ‎ B．200+200×2x＝1000 ‎ C．200+200×3x＝1000 ‎ D．200[1+（1+x）+（1+x）2]＝1000‎ ‎9．如图，将边长为‎8cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，则折痕MN的长是（　　）‎ A．‎5cm B．‎5cm C．‎4cm D．‎4cm ‎10．星期天，小王去朋友家借书，下图是他离家的距离y（千米）与时间x（分钟）的函数图象，根据图象信息，下列说法正确的是（　　）‎ A．小王去时的速度大于回家的速度 ‎ B．小王在朋友家停留了10分钟 ‎ C．小王去时所花的时间少于回家所花的时间 ‎ D．小王去时走上坡路，回家时走下坡路 二．填空题（共10小题）‎ ‎11．在函数中，自变量x的取值范围是　 　．‎ ‎12．已知关于x的方程x2+mx﹣6＝0的一个根为2，则m＝　 　．‎ ‎13．如图，在平行四边形ABCD中，BC＝10，AC＝8，BD＝14，△AOD的周长是　 　．‎ ‎14．已知关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是　 　．‎ ‎15．如图，在△ABC中，D、E分别是AB和AC的中点，F是BC延长线上一点，DF平分CE于点G，CF＝2，则BC＝　 　．‎ ‎16．如图，等边△DEC在正方形ABCD内，连接EA、EB，则∠AEB的度数是　 　．‎ ‎17．直线y＝2x+b与x轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，若△AOB的面积是12，则b＝　 　．‎ ‎18．有一人患流感，经过两轮传染后共有81人患了流感，则每轮传染中平均一人传染了　 　人．‎ ‎19．已知△ABC中AB＝4，AC＝5，BC上的高为4，则BC＝　 　．‎ ‎20．等边三角形ABC外一点D，∠ADC＝90°，BE⊥CD于E，AD＝1，DE＝2，则BE＝　 　．‎ 三．解答题（共7小题）‎ ‎21．解方程：‎ ‎（1）x2﹣2x﹣4＝0；‎ ‎（2）2x2﹣7x﹣4＝0．‎ ‎22．图1、图2分别是10×8的网格，网格中每个小正方形的边长均为1，A、B两点在小正方形的顶点上，请在图1、图2中各取一点C（点C必须在小正方形的顶点上），使以A、B、C为顶点的三角形分别满足以下要求：‎ ‎（1）在图1中画一个△ABC，使△ABC为面积为5的直角三角形；‎ ‎（2）在图2中画一个△ABC，使△ABC为钝角等腰三角形．‎ ‎23．如图，菱形ABCD中，点E、F分别是BC、CD边的中点．求证：AE＝AF．‎ ‎24．已知y+5与3x+4成正比例，当x＝1时，y＝2．‎ ‎（1）求y与x的函数关系式；‎ ‎（2）求当x＝﹣1时的函数值．‎ ‎25．周末，小亮一家在东昌湖游玩，妈妈在湖心岛P处观看小亮与爸爸在湖中划船（如图）小船从P处出发，沿北偏东60°方向滑行‎150米到达A处，接着向正南方向划行一段时间到达B处．在B处小亮观测妈妈所在的P处在北偏东30°的方向上．‎ ‎（1）求点P与AB距离多少米？‎ ‎（2）如果小亮从A到B的速度是‎3米/秒，那么小亮从A到B所用的时间是多少秒？‎ ‎26．商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件商品每降价1元，商场每天可多售出2件，设每件商品降低x元据此规律，请回答：‎ ‎（1）商场日销售量增加　 　件，每件商品盈利　 　元（用含x的代数式表示）‎ ‎（2）在上述条件不变，销售正常的情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元？‎ ‎27．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线1分别交x轴、y轴于A．B两点，OA＜OB，且OA、OB的长分别是一元二次方程x2﹣14x+48＝0的两根．‎ ‎（1）求直线AB的解析式；‎ ‎（2）点C从点A出发沿射线AB方向运动，运动的速度为每秒2个单位，设△OBC的面积S，点C运动的时间为t，写出S与t的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；‎ ‎（3）点P是y轴上的点，点Q是第一象限内的点，若以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形请求出点Q的坐标．‎ 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题）‎ ‎1．一个直角三角形的两条直角边分别是5和12，则斜边是（　　）‎ A．13 B．‎12 ‎C．15 D．10‎ ‎【分析】此题利用勾股定理a2+b2＝c2可直接得出答案．‎ ‎【解答】解；由一个直角三角形的两条直角边分别是5和12，‎ 利用勾股定理得斜边长为＝13．‎ 故选：A．‎ ‎2．下列四个图象中，不表示某一函数图象的是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【分析】根据函数的定义可知：对于x的任何值y都有唯一的值与之相对应．紧扣概念，分析图象．‎ ‎【解答】解：根据函数的定义可知，只有D不能表示函数关系．‎ 故选：D．‎ ‎3．下列方程中是关于x的一元二次方程的是（　　）‎ A． B．ax2+bx+c＝0 ‎ C．（x﹣1）（x+2）＝1 D．3x2﹣2xy﹣5y2＝0‎ ‎【分析】一元二次方程必须满足四个条件：‎ ‎（1）未知数的最高次数是2；‎ ‎（2）二次项系数不为0；‎ ‎（3）是整式方程；‎ ‎（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．‎ ‎【解答】解：A、原方程为分式方程；故A选项错误；‎ B、当a＝0时，即ax2+bx+c＝0的二次项系数是0时，该方程就不是一元二次方程；故B选项错误；‎ C、由原方程，得x2+x﹣3＝0，符合一元二次方程的要求；故C选项正确；‎ D、方程3x2﹣2xy﹣5y2＝0中含有两个未知数；故D选项错误．‎ 故选：C．‎ ‎4．一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象如图所示，当y＞0时，x的取值范围是（　　）‎ A．x＜0 B．x＞‎0 ‎C．x＜2 D．x＞2‎ ‎【分析】根据函数图象与x轴的交点坐标可直接解答．从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b＜0的解集，就是图象在x轴下方部分所有的点的横坐标所构成的集合．‎ ‎【解答】解：因为直线y＝kx+b与x轴的交点坐标为（2，0），‎ 由函数的图象可知当y＞0时，x的取值范围是x＜2．‎ 故选：C．‎ ‎5．正方形具有而菱形不具有的性质是（　　）‎ A．对角线互相平分 B．对角线相等 ‎ C．对角线平分一组对角 D．对角线互相垂直 ‎【分析】根据正方形的性质以及菱形的性质即可判断．‎ ‎【解答】解：正方形和菱形都满足：四条边都相等，对角线平分一组对角，对角线垂直且互相平分；‎ 菱形的对角线不一定相等，而正方形的对角线一定相等．‎ 故选：B．‎ ‎6．已知，点（﹣2，y1）和点（﹣3，y2）在直线y＝﹣3x+4图象上，则y1和y2的大小关系是（　　）‎ A．y1＜y2 B．y1＞y‎2 ‎C．y1＝y2 D．不能确定 ‎【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征可求出y1，y2的值，比较后即可得出结论．‎ ‎【解答】解：当x＝﹣2时，y1＝﹣3×（﹣2）+4＝10；‎ 当x＝﹣3时，y2＝﹣3×（﹣3）+4＝13．‎ ‎∵10＜13，‎ ‎∴y1＜y2．‎ 故选：A．‎ ‎7．如图所示是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6，BC＝8，现将△‎ ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则AD的长为（　　）‎ A．4 B．‎5 ‎C．6 D．‎ ‎【分析】由折叠的性质得出AD＝BD，设AD＝x，则CD＝8﹣x，可得出62+（8﹣x）2＝x2，解得x＝．则可得出答案．‎ ‎【解答】解：∵将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，‎ ‎∴AD＝BD，‎ 设AD＝x，则CD＝8﹣x，‎ 在Rt△ACD中，∵AC2+CD2＝AD2，‎ ‎∴62+（8﹣x）2＝x2，‎ 解得x＝．‎ ‎∴AD＝．‎ 故选：D．‎ ‎8．某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元，如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为（　　）‎ A．200（1+x）2＝1000 ‎ B．200+200×2x＝1000 ‎ C．200+200×3x＝1000 ‎ D．200[1+（1+x）+（1+x）2]＝1000‎ ‎【分析】先得到二月份的营业额，三月份的营业额，等量关系为：一月份的营业额+二月份的营业额+三月份的营业额＝1000万元，把相关数值代入即可．‎ ‎【解答】解：∵一月份的营业额为200万元，平均每月增长率为x，‎ ‎∴二月份的营业额为200×（1+x），‎ ‎∴三月份的营业额为200×（1+x）×（1+x）＝200×（1+x）2，‎ ‎∴可列方程为200+200×（1+x）+200×（1+x）2＝1000，‎ 即200[1+（1+x）+（1+x）2]＝1000．‎ 故选：D．‎ ‎9．如图，将边长为‎8cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，则折痕MN的长是（　　）‎ A．‎5cm B．‎5cm C．‎4cm D．‎4cm ‎【分析】如图，连接DE，过点M作MG⊥CD于点G，证明△MNG≌△DEC，则有MN＝DE．‎ ‎【解答】解：如图，连接DE．‎ 由题意，在Rt△DCE中，CE＝‎4cm，CD＝‎8cm，‎ 由勾股定理得：DE＝＝＝cm．‎ 过点M作MG⊥CD于点G，则由题意可知MG＝BC＝CD．‎ 连接DE，交MG于点I．‎ 由折叠可知，DE⊥MN，∴∠NMG+MIE＝90°，‎ ‎∵∠DIG+∠EDC＝90°，∠MIE＝∠DIG（对顶角相等），‎ ‎∴∠NMG＝∠EDC．‎ 在△MNG与△DEC中，‎ ‎∴△MNG≌△DEC（ASA）．‎ ‎∴MN＝DE＝cm．‎ 故选：D．‎ ‎10．星期天，小王去朋友家借书，下图是他离家的距离y（千米）与时间x（分钟）的函数图象，根据图象信息，下列说法正确的是（　　）‎ A．小王去时的速度大于回家的速度 ‎ B．小王在朋友家停留了10分钟 ‎ C．小王去时所花的时间少于回家所花的时间 ‎ D．小王去时走上坡路，回家时走下坡路 ‎【分析】根据图象上特殊点的坐标和实际意义即可求出答案．‎ ‎【解答】解：小王去时的速度为：2÷20＝‎0.1千米/分，回家的速度为：2÷（40﹣30）＝‎0.2千米/分，所以A、C均错．小王在朋友家呆的时间为：30﹣20＝10，所以B对．‎ 故选：B．‎ 二．填空题（共10小题）‎ ‎11．在函数中，自变量x的取值范围是　x≠1　．‎ ‎【分析】根据分式有意义的条件是分母不为0；分析原函数式可得关系式x﹣1≠0，解可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意可得x﹣1≠0；‎ 解得x≠1；‎ 故答案为x≠1．‎ ‎12．已知关于x的方程x2+mx﹣6＝0的一个根为2，则m＝　1　．‎ ‎【分析】把x＝2代入方程x2+mx﹣6＝0得到一个关于m 的一元一次方程，求出方程的解即可．‎ ‎【解答】解：把x＝2代入方程x2+mx﹣6＝0，‎ 得：4+‎2m﹣6＝0，‎ 解方程得：m＝1．‎ 故答案为：1．‎ ‎13．如图，在平行四边形ABCD中，BC＝10，AC＝8，BD＝14，△AOD的周长是　21　．‎ ‎【分析】根据平行四边形的性质可得AD＝BC＝10，AO＝CO＝AC＝4，BO＝DO＝BD＝7，即可求△AOD的周长．‎ ‎【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形 ‎∴AD＝BC＝10，AO＝CO＝AC＝4，BO＝DO＝BD＝7‎ ‎∴△AOD的周长＝AD+AO+DO＝21‎ 故答案为21‎ ‎14．已知关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是　k＞﹣1且k≠0．　．‎ ‎【分析】根据一元二次方程的定义以及根的判别式得到k≠0，且△＞0，然后解两个不等式即可得到实数k的取值范围．‎ ‎【解答】解：根据题意得，k≠0，且△＞0，即22﹣4×k×（﹣1）＞0，解得k＞﹣1，‎ ‎∴实数k的取值范围为k＞﹣1且k≠0．‎ 故答案为k＞﹣1且k≠0．‎ ‎15．如图，在△ABC中，D、E分别是AB和AC的中点，F是BC延长线上一点，DF平分CE于点G，CF＝2，则BC＝　4　．‎ ‎【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得BC＝2DE，DE∥BC，再根据两直线平行，内错角相等可得∠DEG＝∠FCG，然后利用“角边角”证明△DEG和△FCG全等，根据全等三角形对应边相等可得DE＝CF，然后求解即可．‎ ‎【解答】解：∵D、E分别是AB和AC的中点，‎ ‎∴DE＝BC，DE∥BC，‎ ‎∴∠DEG＝∠FCG，‎ ‎∵DF平分CE于点G，‎ ‎∴EG＝CG，‎ ‎∵在△DEG和△FCG中，‎ ‎，‎ ‎∴△DEG≌△FCG（ASA），‎ ‎∴DE＝CF，‎ ‎∵CF＝2，‎ ‎∴DE＝2，‎ ‎∴BC＝2DE＝2×2＝4．‎ 故答案是：4．‎ ‎16．如图，等边△DEC在正方形ABCD内，连接EA、EB，则∠AEB的度数是　150°　．‎ ‎【分析】根据正方形的性质以及等边三角形的性质即可求出答案．‎ ‎【解答】解：由题意可知：AD＝CD＝DE＝CE＝CB，‎ ‎∴∠EDC＝60°，∠ADE＝30°，‎ ‎∴∠AED＝∠BEC＝75°，‎ ‎∴∠AEB＝360°﹣2∠AED﹣∠DEC＝150°，‎ 故答案为：150°‎ ‎17．直线y＝2x+b与x轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，若△AOB的面积是12，则b＝　4　．‎ ‎【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点A，B的坐标，进而可得出OA，OB的长，结合△AOB的面积是12，即可得出关于b的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．‎ ‎【解答】解：当x＝0时，y＝2x+b＝b，‎ ‎∴点B的坐标为（0，b），‎ ‎∵点B在y轴正半轴，‎ ‎∴b＞0，OB＝b．‎ 当y＝0时，2x+b＝0，‎ 解得：x＝﹣b，‎ ‎∴点A的坐标为（﹣b，0），OA＝b．‎ ‎∵S△AOB＝12，即×b×b＝12，‎ 解得：b＝4或b＝﹣4（舍去）．‎ 故答案为：4．‎ ‎18．有一人患流感，经过两轮传染后共有81人患了流感，则每轮传染中平均一人传染了　8　人．‎ ‎【分析】设每轮传染中平均每个人传染了x人，那么第一轮有（x+1）人患了流感，第二轮有x（x+1）人被传染，然后根据共有81人患了流感即可列出方程解题．‎ ‎【解答】解：设每轮传染中平均每个人传染了x人，‎ 依题意得1+x+x（1+x）＝81，‎ ‎∴x＝8或x＝﹣10（不合题意，舍去）．‎ 所以，每轮传染中平均一个人传染了8个人，‎ 故答案为：8．‎ ‎19．已知△ABC中AB＝4，AC＝5，BC上的高为4，则BC＝　7或1　．‎ ‎【分析】作AD⊥BC，根据勾股定理分别求出BD、CD，分两种情况计算即可．‎ ‎【解答】解：作AD⊥BC交直线BC于D，‎ 在Rt△ABD中，BD＝＝4，‎ 在Rt△ACD则，CD＝＝3，‎ 如图1，BC＝BD+CD＝7，‎ 如图2，BC＝BD﹣CD＝1，‎ 故答案为：7或1．‎ ‎20．等边三角形ABC外一点D，∠ADC＝90°，BE⊥CD于E，AD＝1，DE＝2，则BE＝　5　．‎ ‎【分析】取CD的中点F，连接AF，过C作射线CG，使∠BCG＝∠ACD．CG与BE交于点G．证明△BCG≌△ACF，便可解决问题．‎ ‎【解答】解：取CD的中点F，连接AF，过C作射线CG，使∠BCG＝∠ACD．CG与BE交于点G，如图，‎ ‎∵DE＝2，‎ ‎∴DF＝EF＝，‎ ‎∵∠ADC＝90°，AD＝1，‎ ‎∴tan∠AFD＝，‎ ‎∴∠AFD＝30°，‎ ‎∴∠AFC＝150°，AF＝2AD＝2，‎ ‎∵△ABC是等边三角形，‎ ‎∴AC＝BC，∠ACB＝60°，‎ ‎∵∠BCG＝∠ACD，‎ ‎∴∠ACB＝∠ECG＝60°，‎ ‎∵BE⊥CD，‎ ‎∴∠EGC＝30°，‎ ‎∴∠BGC＝150°＝∠AFC，CG＝2CE，‎ 在△BCG和△ACF中，‎ ‎，‎ ‎∴△BCG≌△ACF（AAS），‎ ‎∴BG＝AG＝2，CG＝CF，‎ ‎∵CG＝2CE，‎ ‎∴EF＝CE＝，CG＝2，‎ ‎∴EG＝＝3，‎ ‎∴BE＝BG+EG＝2+3＝5．‎ 故答案为5．‎ 三．解答题（共7小题）‎ ‎21．解方程：‎ ‎（1）x2﹣2x﹣4＝0；‎ ‎（2）2x2﹣7x﹣4＝0．‎ ‎【分析】（1）利用配方法求解可得；‎ ‎（2）利用因式分解法求解可得．‎ ‎【解答】解：（1）∵x2﹣2x＝4，‎ ‎∴x2﹣2x+1＝4+1，即（x﹣1）2＝5，‎ ‎∴x﹣1＝，‎ ‎∴x＝1±；‎ ‎（2）∵2x2﹣7x﹣4＝0，‎ ‎∴（x﹣4）（2x+1）＝0，‎ 则x﹣4＝0或2x+1＝0，‎ 解得x＝4或x＝﹣0.5．‎ ‎22．图1、图2分别是10×8的网格，网格中每个小正方形的边长均为1，A、B两点在小正方形的顶点上，请在图1、图2中各取一点C（点C必须在小正方形的顶点上），使以A、B、C为顶点的三角形分别满足以下要求：‎ ‎（1）在图1中画一个△ABC，使△ABC为面积为5的直角三角形；‎ ‎（2）在图2中画一个△ABC，使△ABC为钝角等腰三角形．‎ ‎【分析】（1）根据题意可知AB＝5，要使△ABC面积为5，则只需要过点A作垂直AB的直线且长度为2即可；‎ ‎（2）要使△ABC为钝角等腰三角形，则必须找到和AB相等的边BC且C点必须在小正方形的顶点．‎ ‎【解答】解：（1）∵AB＝5，‎ ‎∴要使△ABC面积为5，则只需要过点A作垂直AB的直线且长度为2即可，‎ 如图所示；‎ ‎（2）BC＝＝5＝AB，‎ 如图所示．‎ ‎（答案不唯一）‎ ‎23．如图，菱形ABCD中，点E、F分别是BC、CD边的中点．求证：AE＝AF．‎ ‎【分析】欲证AE＝AF，可以通过证△ABE≌△ADF从而推出等边，因为点E、F分别是BC、CD边的中点，再利用菱形的性质则可根据SAS得证．‎ ‎【解答】证明：在菱形ABCD中，‎ AB＝BC＝CD＝AD，‎ ‎∠B＝∠D，…（3分）‎ ‎∵点E、F分别是BC、CD边的中点，‎ ‎∴BE＝BC，DF＝CD，‎ ‎∴BE＝DF，‎ ‎∴△ABE≌△ADF，…（7分）‎ ‎∴AE＝AF．…（9分）‎ ‎24．已知y+5与3x+4成正比例，当x＝1时，y＝2．‎ ‎（1）求y与x的函数关系式；‎ ‎（2）求当x＝﹣1时的函数值．‎ ‎【分析】（1）先设出函数的解析式为y+5＝k（3x+4），再将x＝1，y＝2代入即可求得函数的关系式．‎ ‎（2）把x＝﹣1代入y＝3x﹣1即可求得．‎ ‎【解答】解：（1）设函数的解析式为y+5＝k（3x+4），‎ ‎∵把x＝1，y＝2代入解析式中得2+5＝7k，‎ 解得k＝1．‎ ‎∴y+5＝3x+4，‎ 即：y＝3x﹣1．‎ ‎（2）把x＝﹣1代入y＝3x﹣1得y＝﹣3﹣1＝﹣4．‎ ‎25．周末，小亮一家在东昌湖游玩，妈妈在湖心岛P处观看小亮与爸爸在湖中划船（如图）小船从P处出发，沿北偏东60°方向滑行‎150米到达A处，接着向正南方向划行一段时间到达B处．在B处小亮观测妈妈所在的P处在北偏东30°的方向上．‎ ‎（1）求点P与AB距离多少米？‎ ‎（2）如果小亮从A到B的速度是‎3米/秒，那么小亮从A到B所用的时间是多少秒？‎ ‎【分析】（1）作PQ⊥AB于Q，解直角三角形即可得到结论；‎ ‎（2）在Rt△APQ中，根据直角三角形的性质得到AQ＝PA＝75，在Rt△BPQ中求得BQ＝PQ＝‎225米，于是得到结论．‎ ‎【解答】解：（1）作PQ⊥AB于Q，根据已知，∠APQ＝30°，‎ 则PQ＝AP，‎ ‎∵AP＝150，‎ ‎∴PQ＝75，‎ 答：点P与AB距离是‎75米，‎ ‎（2）在Rt△APQ中，AQ＝PA＝75，‎ 在Rt△BPQ中，∵∠B＝30°，‎ ‎∴BQ＝PQ＝‎225米，‎ ‎∴小亮从A到B所用的时间是＝＝100秒．‎ ‎26．商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件商品每降价1元，商场每天可多售出2件，设每件商品降低x元据此规律，请回答：‎ ‎（1）商场日销售量增加　2x　件，每件商品盈利　（50﹣x）　元（用含x的代数式表示）‎ ‎（2）在上述条件不变，销售正常的情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元？‎ ‎【分析】（1）降价1元，可多售出2件，降价x元，可多售出2x件，盈利的钱数＝原来的盈利﹣降低的钱数；‎ ‎（2）等量关系为：每件商品的盈利×可卖出商品的件数＝2100，把相关数值代入计算得到合适的解即可．‎ ‎【解答】解：（1）降价1元，可多售出2件，降价x元，可多售出2x件，盈利的钱数＝50﹣x；‎ 故答案为：2x；（50﹣x）；‎ ‎（2）由题意得：（50﹣x）（30+2x）＝2100‎ 化简得：x2﹣35x+300＝0，‎ 即（x﹣15）（x﹣20）＝0‎ 解得：x1＝15，x2＝20‎ 由于该商场为了尽快减少库存，因此降的越多，越吸引顾客，‎ 故选x＝20，‎ 答：每件商品降价20元，商场日盈利可达2100元．‎ ‎27．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线1分别交x轴、y轴于A．B两点，OA＜OB，且OA、OB的长分别是一元二次方程x2﹣14x+48＝0的两根．‎ ‎（1）求直线AB的解析式；‎ ‎（2）点C从点A出发沿射线AB方向运动，运动的速度为每秒2个单位，设△OBC的面积S，点C运动的时间为t，写出S与t的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；‎ ‎（3）点P是y轴上的点，点Q是第一象限内的点，若以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形请求出点Q的坐标．‎ ‎【分析】（1）x2﹣14x+48＝0，则x＝6或8，故点A、B的坐标分别为（6，0）、（0，8），即可求解；‎ ‎（2）S＝×BO×CM＝×8×|10﹣2t|＝|10﹣2t|，即可求解；‎ ‎（3）分AB是菱形的边、AB是菱形的对角线两种情况，分别求解即可．‎ ‎【解答】解：（1）x2﹣14x+48＝0，则x＝6或8，故点A、B的坐标分别为（6，0）、（0，8），则AB＝10；‎ 设直线AB的表达式为：y＝kx+b，则，解得，‎ 故直线AB的表达式为：y＝﹣x+8；‎ ‎（2）过点C作CM⊥y轴于点M，‎ 则，即，解得：CM＝|10﹣2t|，‎ S＝×BO×CM＝×8×|10﹣2t|＝|10﹣2t|，‎ 故S＝；‎ ‎（3）点A、B的坐标分别为（6，0）、（0，8），‎ 设点P、Q的坐标分别为（0，s）、（m，n），‎ ‎①当AB是菱形的边时，‎ 点A向上平移8个单位向左平移6个单位得到点B，同样点Q向上平移8个单位向左平移6个单位得到点P，‎ 即0﹣8＝m，s+6＝n且BP＝BA＝10，‎ 解得：m＝﹣8，n＝24，‎ 故点Q的坐标为（﹣8，24）；‎ ‎②当AB是菱形的对角线时，‎ 由中点公式得：6+0＝m+0，8+0＝s+n且BP＝BQ，即（s﹣8）2＝m2+（n﹣8）2，‎ 解得：m＝6，m＝，‎ 故点Q的坐标为（6，）；‎ 综上，点Q的坐标为（﹣8，24）或（6，）．‎