一元二次方程的解法及韦达定理

一元二次方程的解法及韦达定理

印象剑桥培训讲义专用-九年级数学 一元二次方程的解法及韦达定理 ‎ 编号： 撰写人： 审核： ‎ 一、一元二次方程的解法：‎ 例题1：‎ 用配方法、因式分解、公式法解方程： x2-5x+6=0‎ ‎【总结】‎ 以上的三种方法之中，最简单的方法是哪一种？‎ - 14 -‎ 一元二次方程专题 印象剑桥培训讲义专用-九年级数学 ‎【一元二次方程的解法总结】‎ ‎1、直接法：对于形如—x2=a的方程，我们可以用直接法。方程的解为x=±‎ 推论：对于形如(x+a)2=b的方程也是用直接开方的方法。‎ 注意点：①二次项的系数为1，且a≥0‎ ‎②如果a为根式，注意化简。‎ 例1：解方程：5x2=1‎ 例2：解方程：x2= ‎ 例3：解方程：4x2+12x+9=12‎ ‎2、配方法：‎ 对于形如：ax2+bx+c=0（其中a≠0）的方程，我们可以采用配方法的方法来解。‎ 步骤：①把二次项的系数化为1.‎ ‎ 两边同时除以a，可以得到：‎ ‎ X2+ x+ =0‎ ‎ ②配方：‎ ‎ （x+ ）2+c- =0‎ ‎ ③移项：‎ ‎ （x+ ）2=-c ‎ ④用直接法求出方程的解。‎ ‎ X=-±‎ - 14 -‎ 一元二次方程专题 印象剑桥培训讲义专用-九年级数学 注意点：解除方程的解后，要检查根号内是否要进一步化简。‎ 例：‎ 解方程：x2+x=1‎ ‎3、公式法：‎ 对于形如：ax2+bx+c=0（其中a≠0）的方程，我们也可以采用公式法的方法来解。‎ 根据配方法，我们可以得到方程的解为：‎ X=-±‎ 进一步变形，就可以知道：形如：ax2+bx+c=0（其中a≠0）的方程的解为：‎ x1=，x2=‎ 注意点：‎ ① 解除方程的解后，要检查根号内是否要进一步化简。‎ ② 解题步骤要规范。‎ 例:‎ 解方程：x2+5x+2=0‎ - 14 -‎ 一元二次方程专题 印象剑桥培训讲义专用-九年级数学 除了以上几种教材里的方法，一元二次方程还有其他的解法。‎ ‎4、换元法 对于一个方程，如果在结构上有某种特殊的相似性，可以考虑用换元法；或者，当这个题目有比较复杂的根式，换元法也是可以考虑的解法。‎ 例1：‎ 解方程：（x2+5x+2）2+(x2+5x+2)-2=0‎ 例2：‎ 解方程：‎ ‎5、有理化方法：‎ 对于一个方程，如果含有两个根式，并且这两个根式内的整式的和或者差是特定的数值，那就可以考虑用有理化的方法。‎ 例：‎ 解方程：‎ - 14 -‎ 一元二次方程专题 印象剑桥培训讲义专用-九年级数学 ‎6、主元法：‎ 对于一个方程，如果有两个未知数，那么，我们可以确定其中的一个为“主元“，将另一个未知数设定为常数，用公式法可以解出结果。‎ 例：解方程 除了这种方法，遇到这种题目，你还有别的解法吗？‎ 二、判别式的运用：‎ 我们知道： 方程ax2+bx+c=0（其中a≠0）的解为：‎ x1=，x2=‎ 其中，我们把：=b2‎-4ac称之为判别式 (1) 当>0的时候，方程有两个不同的实数根。‎ (2) 当=0的时候，方程有两个相同的实数根。‎ (3) 当<0的时候，方程没有实数根。没有实数根与没有根是两个不同的概念。‎ - 14 -‎ 一元二次方程专题 印象剑桥培训讲义专用-九年级数学 判别式的运用：‎ ‎（1）求方程系数的取值范围。‎ 例：已知方程ax2+8x+a=0有两个不同的实数根，求a的取值范围。‎ ‎（2）求最大值最小值的问题。‎ 例1：求的最大值和最小值。‎ - 14 -‎ 一元二次方程专题 印象剑桥培训讲义专用-九年级数学 例2：已知a>0,b>0,且a+2b+ab=30,求a、b为何值时，ab取得最大值。‎ 三、韦达定理 对于方程ax2+bx+c=0（其中a≠0）的解为：‎ x1=，x2=‎ 那么就有：x1+x2= ,x1x2= .‎ 除了这两个式子之外，还有几个，我们也必须要熟悉的：‎ ‎（1）|x1-x2|= （2）+ = (3) =‎ 注：以上的几个公式，教材没有提及，所以，运用的时候要加以证明，在做选择题或者填空题时可以直接运用。‎ 下面给出公式（1）的推理：‎ ‎|x1-x2|==‎ 韦达定理的应用：‎ ‎1、运用韦达定理求方程的解或者系数的范围。‎ - 14 -‎ 一元二次方程专题 印象剑桥培训讲义专用-九年级数学 例题1：‎ 如果关于x的方程：‎ 例题2：已知关于x的方程(a2-1)x2-(a+1)x+1=0的两个根互为倒数，求a的值。‎ ‎2、构造方程进行计算：‎ 例题1：已知‎3a2+‎2a-1=0,3b2+2b-1=0。求|a-b|的值 - 14 -‎ 一元二次方程专题 印象剑桥培训讲义专用-九年级数学 例题2：已知a,b,c都是整数，且有a+b+c=0,abc=16,求a、b、c三个数中的最大数的最小值。‎ 例题3：已知在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且S△AOB=4,S△COD=9,求四边形ABCD面积的最小值。‎ - 14 -‎ 一元二次方程专题 印象剑桥培训讲义专用-九年级数学 一元二次方程习题 ‎1、等腰△ABC两边的长分别是一元二次方程x2-9x+18=0的两个解，求这个三角形的周长。‎ ‎【举一反三】‎ 例题1：Rt△ABC两边的长分别是一元二次方程x2-5x+6=0的两个解，求这个三角形的面积。‎ 例题2：矩形的两边的差为2，对角线的长为4，求矩形的面积。‎ - 14 -‎ 一元二次方程专题 印象剑桥培训讲义专用-九年级数学 ‎2、解方程：‎ ‎（1）x2-2=-2x；‎ ‎（2）x（x-3）+x-3=0；    ‎ ‎（3）4x2+12x+9=81．‎ ‎3、先化简，再求值：（a-1）÷（-1），其中a为方程x2+3x+2=0的一个根．‎ ‎【举一反三】‎ 例题1：设a,b分别是方程x2+3x+1=0的两个根，求：‎ ‎(1)a2+b2+ab的值；（2）求a3+b3的值 - 14 -‎ 一元二次方程专题 印象剑桥培训讲义专用-九年级数学 例题2：已知：‎5a2+‎12a-1=0,b2-12b-5=0,且：ab≠1，求：‎ 的值。‎ ‎4、关于x的方程（a-5）x2-4x-1=0有实数根，求a的取值范围。‎ ‎【举一反三】‎ 例题1：已知关于x的方程x2-2（k-3）x+k2-4k-1=0． （1）若这个方程有实数根，求k的取值范围； （2）若这个方程有一个根为1，求k的值； （3）若以方程x2-2（k-3）x+k2-4k-1=0的两个根为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数y＝的图象上，求满足条件的m的最小值．‎ - 14 -‎ 一元二次方程专题 印象剑桥培训讲义专用-九年级数学 例题2：已知关于的方程（1）有两个不相等的实数根，且关于的方程（2）没有实数根，问取什么整数时，方程（1）有整数解？‎ 例题3：已知a>0,b>0，且:a+2b+ab=30,求ab的最大值。‎ ‎5、若n（n≠0）是关于x的方程x2+mx+2n=0的根，求m+n的值。‎ ‎6、关于x的方程a（x+m）2+b=0的解是x1=-2，x2=1，（a，m，b均为常数，a≠0），解方程方程a（x+m+2）2+b=0。‎ - 14 -‎ 一元二次方程专题 印象剑桥培训讲义专用-九年级数学 ‎7、设方程（x-a）（x-b）-x=0的两根是c、d，解方程（x-c）（x-d）+x=0。‎ ‎8、有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人欢乐流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？‎ 解题方案：‎ 设每轮传染中平均一个人传染了x个人，‎ ‎（Ⅰ）用含x的解析式表示：‎ 第一轮后共有 人患了流感；‎ 第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了x个人，第二轮后共有 人患了流感；（Ⅱ）根据题意，列出相应方程为 ；‎ ‎（Ⅲ）解这个方程，得 ；‎ ‎（Ⅳ）根据问题的实际意义，平均一个人传染了 个人．‎ - 14 -‎ 一元二次方程专题