2020九年级数学上册 第二十四章 圆 24

2020九年级数学上册 第二十四章 圆 24

‎24.1.4　圆周角 第1课时　圆周角定理及其推论 ‎01　　基础题 知识点1　圆周角的概念 ‎1．下列图形中的角是圆周角的是(B)‎ 知识点2　圆周角定理 ‎2．(茂名中考)如图，A，B，C是⊙O上的三点，∠B＝75°，则∠AOC的度数是(A)‎ A．150° B．140° C．130° D．120°‎ ‎3．(滨州中考)如图，在⊙O中，圆心角∠BOC＝78°，则圆周角∠BAC的大小为(C)‎ A．156° B．78° C．39° D．12°‎ ‎4．(山西模拟)如图，直径为AB的⊙O中，＝2，连接BC，则∠B的度数为(B)‎ 11‎ A．35° B．30° C．20° D．15°‎ 知识点3　圆周角定理的推论 ‎5．如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠A＝35°，则∠B的度数是(C)‎ A．35° B．45° C．55° D．65°‎ ‎6．(绍兴中考)如图，BD是⊙O的直径，点A，C在⊙O上，＝，∠AOB＝60°，则∠BDC的度数是(D)‎ A．60° B．45° C．35° D．30°‎ ‎7．(黔西南中考)如图，在⊙O中，＝，∠BAC＝50°，则∠AEC的度数为(A)‎ A．65° B．75° C．50° D．55°‎ ‎8．(太原二模)如图，BD是圆O的直径，∠CBD＝30°，则∠A的度数为(C)‎ A．30° B．45° C．60° D．75°‎ ‎9．(常州中考)如图，把直角三角板的直角顶点O放在破损玻璃镜的圆周上，两直角边与圆弧分别交于点M，N，量得OM＝‎8 cm，ON＝‎6 cm，则该圆玻璃镜的半径是(B)‎ A. cm B．‎‎5 cm 11‎ C．‎6 cm D．‎‎10 cm ‎10．(朝阳中考)如图是一个圆形人工湖的平面图，弦AB是湖上的一座桥，已知桥长‎100 m，测得圆周角∠ACB＝30°，则这个人工湖的直径为‎200m.‎ ‎11．如图，已知A，B，C，D是⊙O上的四个点，AB＝BC，BD交AC于点E，连接CD，AD.求证：DB平分∠ADC.‎ 证明：∵AB＝BC，‎ ‎∴＝.‎ ‎∴∠ADB＝∠BDC.‎ ‎∴DB平分∠ADC.‎ 易错点　忽略弦所对的圆周角不唯一而致错 ‎12．已知⊙O的弦AB的长等于⊙O的半径，则此弦AB所对的圆周角的度数为30°或150°．‎ ‎02　　中档题 ‎13．(海南中考)如图，点A、B、C在⊙O上，AC∥OB，∠BAO＝25°，则∠BOC的度数为(B)‎ A．25° B．50°‎ C．60° D．80°‎ ‎14‎ 11‎ ‎．(吕梁孝义市期中)如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E在⊙O上，若∠AED＝20°，则∠BCD的度数为(B)‎ A．100° B．110°‎ C．115° D．120°‎ ‎15．(广州中考)如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD，垂足为E，连接CO，AD，∠BAD＝20°，则下列说法中正确的是(D) ‎ A．AD＝2OB B．CE＝EO C．∠OCE＝40° D．∠BOC＝2∠BAD ‎　　　　‎ ‎16．如图，⊙C经过原点，并与两坐标轴分别交于A，D两点，已知∠OBA＝30°，点A的坐标为(2，0)，则点D的坐标为(0，2)．‎ ‎17．如图，⊙O的直径AB的长为10，弦AC的长为5，∠ACB的平分线交⊙O于点D.‎ ‎(1)求BC的长；‎ ‎(2)求BD的长．‎ 解：(1)∵AB为⊙O的直径，‎ ‎∴∠ACB＝∠ADB＝90°.‎ ‎∴在Rt△ABC中，‎ BC＝＝＝5.‎ 11‎ ‎(2)∵CD平分∠ACB，‎ ‎∴∠ACD＝∠BCD＝45°.‎ ‎∴∠BAD＝∠ABD＝45°.‎ ‎∴AD＝BD.‎ 设BD＝AD＝x，‎ 在Rt△ABD中，由勾股定理，得 AD2＋BD2＝AB2.‎ ‎∴x2＋x2＝102.‎ 解得x＝5.‎ ‎∴BD＝5.‎ ‎18．如图，在△ABC中，AB＝BC＝2，以AB为直径的⊙O分别交BC，AC于点D，E，且点D为边BC的中点．‎ ‎(1)求证：△ABC为等边三角形；‎ ‎(2)求DE的长．‎ 解：(1)证明：连接AD.‎ ‎∵AB是⊙O的直径，‎ ‎∴∠ADB＝90°.‎ ‎∵点D是BC的中点，‎ ‎∴AD是BC的垂直平分线．‎ ‎∴AB＝AC.‎ 又∵AB＝BC，‎ ‎∴AB＝AC＝BC.‎ ‎∴△ABC为等边三角形．‎ ‎(2)连接BE.‎ ‎∵AB是⊙O的直径，‎ 11‎ ‎∴∠AEB＝90°.‎ ‎∴BE⊥AC.‎ ‎∵△ABC是等边三角形，‎ ‎∴AE＝EC，即E为AC的中点．‎ 又∵D是BC的中点，‎ ‎∴DE是△ABC的中位线．‎ ‎∴DE＝AB＝×2＝1.‎ ‎03　　综合题 ‎19．(东营中考)如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB＝‎8 cm，＝＝，M是AB上一动点，CM＋DM的最小值为8__cm．‎ ‎　　　‎ 第2课时　圆内接四边形 ‎01　　基础题 知识点　圆内接四边形的性质 ‎1．(湘潭中考)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠DAB＝60°，则∠BCD的度数是(D)‎ A．60° B．90°‎ C．100° D．120°‎ ‎2．如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点．若∠BAD＝105°，则∠DCE的大小是(B)‎ A．115° B．105°‎ C．100° D．95°‎ 11‎ ‎3．(娄底中考)如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠C＝∠D，则AB与CD的位置关系是AB∥CD．‎ ‎4．如图，AB是半圆O的直径，∠BAC＝30°，D是的中点，则∠DAC的度数是30°．‎ ‎5．如图所示，已知圆心角∠AOB＝100°，求∠ACD的度数．‎ 解：在优弧AMB 上任取一点N，连接AN，BN，‎ 由圆周角定理，得∠N＝∠AOB＝×100°＝50°.‎ ‎∴∠ACB＝180°－∠N＝180°－50°＝130°.‎ ‎∴∠ACD＝180°－∠ACB＝180°－130°＝50°.‎ ‎6．已知圆内接四边形相邻三个内角度数的比为2∶1∶7，求这个四边形各内角的度数．‎ 解：根据圆内接四边形的对角互补可知，其对角和相等，所以四个内角的度数的比为2∶1∶7∶8.‎ 设这四个内角的度数分别为2x°、x°、7x°、8x°，则 ‎2x＋x＋7x＋8x＝360.解得x＝20.‎ 则2x＝40，7x＝140，8x＝160.‎ 答：这个四边形各内角的度数分别为40°、20°、140°、160°.‎ 11‎ ‎7．(T4的变式)如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠B＝50°，∠ACD＝25°，∠BAD＝65°.求证：‎ ‎(1)AD＝CD；‎ ‎(2)AB是⊙O的直径．‎ 证明：(1)∵四边形ABCD内接于⊙O，‎ ‎∴∠D＝180°－∠B＝130°.‎ ‎∵∠ACD＝25°，‎ ‎∴∠DAC＝180°－∠D－∠ACD＝180°－130°－25°＝25°.‎ ‎∴∠DAC＝∠ACD.‎ ‎∴AD＝CD.‎ ‎(2)∵∠BAC＝∠BAD－∠DAC＝65°－25°＝40°，∠B＝50°，‎ ‎∴∠ACB＝180°－∠B－∠BAC＝180°－50°－40°＝90°.‎ ‎∴AB是⊙O的直径．‎ 易错点　对圆内接四边形的概念理解不清导致错误 ‎8．(来宾中考)如图，在⊙O中，点A，B，C在⊙O上，且∠ACB＝110°，则∠α＝140°．‎ ‎02　　中档题 ‎9．(山西中考模拟百校联考)如图，点A，B，C，D为⊙O上的点，四边形AOBC是菱形，则∠ADB的度数是(C)‎ A．30° B．45° C．60° D．75°‎ 11‎ ‎10．(聊城中考)如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且＝，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC.若∠ABC＝105°，∠BAC＝25°，则∠E的度数为(B)‎ A．45° B．50° C．55° D．60°‎ ‎11．(南京中考)如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠CAD＝35°，则∠B＋∠E＝215°．‎ ‎　　　　‎ ‎12．(吉林中考)如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠DAB＝130°，连接OC，点P是半径OC上任意一点，连接DP，BP，则∠BPD可能为80(50°≤∠BPD≤100°)(写出一个即可)．‎ ‎13．如图，⊙C经过坐标原点，且与两坐标轴分别交于点A与点B，点A的坐标为(0，4)，M是圆上一点，∠BMO＝120°.求⊙C的半径．‎ 解：∵四边形ABMO内接于⊙C，‎ ‎∴∠BAO＋∠BMO＝180°.‎ ‎∵∠BMO＝120°，‎ ‎∴∠BAO＝60°.‎ 在Rt△ABO中，AO＝4，∠BAO＝60°，‎ 11‎ ‎∴AB＝8.‎ ‎∵∠AOB＝90°，‎ ‎∴AB为⊙C的直径．‎ ‎∴⊙C的半径为4.‎ ‎14．(苏州中考)如图，AB是圆O的直径，D，E为圆O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD＝BD.连接AC交圆O于点F，连接AE，DE，DF.‎ ‎(1)求证：∠E＝∠C；‎ ‎(2)若∠E＝55°，求∠BDF的度数．‎ 解：(1)证明：连接AD.‎ ‎∵AB是⊙O的直径，‎ ‎∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC.‎ ‎∵CD＝BD，∴AD垂直平分BC.∴AB＝AC.∴∠B＝∠C.‎ 又∵∠B＝∠E，∴∠E＝∠C.‎ ‎(2)∵四边形AEDF是⊙O的内接四边形，‎ ‎∴∠AFD＝180°－∠E.‎ 又∵∠CFD＝180°－∠AFD，‎ ‎∴∠CFD＝∠E＝55°.‎ ‎∵∠E＝∠C＝55°，‎ ‎∴∠BDF＝∠C＋∠CFD＝110°.‎ ‎　03　　综合题 ‎15．(佛山中考)如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E，F.‎ ‎(1)若∠E＝∠F，求证：∠ADC＝∠ABC；‎ ‎(2)若∠E＝∠F＝42°，求∠A的度数；‎ 11‎ ‎(3)若∠E＝α，∠F＝β，且α≠β.请你用含有α，β的代数式表示∠A的大小．‎ 解：(1)证明：∵∠DCE＝∠BCF，∠E＝∠F，‎ 又∵∠ADC＝∠E＋∠DCE，∠ABC＝∠F＋∠BCF，‎ ‎∴∠ADC＝∠ABC.‎ ‎(2)由(1)知∠ADC＝∠ABC，‎ ‎∵四边形ABCD内接于⊙O，‎ ‎∴∠ADC＋∠ABC＝180°.‎ ‎∴∠ADC＝90°.‎ 在Rt△ADF中，∠A＝90°－∠F＝90°－42°＝48°.‎ ‎(3)连接EF.‎ ‎∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，‎ ‎∴∠ECD＝∠A.‎ ‎∵∠ECD＝∠CEF＋∠CFE，‎ ‎∴∠A＝∠CEF＋∠CFE.‎ ‎∵∠A＋∠CEF＋∠CFE＋∠DEC＋∠BFC＝180°，‎ ‎∴2∠A＋α＋β＝180°.‎ ‎∴∠A＝90°－.‎ 11‎