2020八年级数学上册第十三章轴对称13

2020八年级数学上册第十三章轴对称13

第十三章 ‎13.3.3‎等边三角形 知识点1：等边三角形及其性质 ‎ ‎(1)等边三角形的定义:三条边都相等的三角形是等边三角形.‎ ‎(2)等边三角形的性质:‎ ‎①等边三角形的三个内角都相等,并且每一个角都等于60°;‎ ‎②等边三角形是轴对称图形,对称轴有三条;‎ ‎③等边三角形是特殊的等腰三角形,它具有所有等腰三角形的性质.‎ 关键提醒:等边三角形具有三条“三线合一”的线.‎ 知识点2：等边三角形的判定 ‎ 等边三角形的判定方法有三个:‎ ‎(1)定义法:三条边都相等的三角形是等边三角形;‎ ‎(2)三个角都相等的三角形是等边三角形;‎ ‎(3)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.‎ 归纳整理:用“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”来证明三角形是等边三角形的情况比较多.‎ 考点1：等边三角形的边角计算 ‎【例1】如图,过边长为1的等边三角形ABC的边AB上一点P,作PE⊥AC于E,Q为BC延长线上一点,当PA=CQ时,连PQ交AC边于D,则DE的长为(　　)‎ A.           B.           C.        D.不能确定 答案:B 点拨：如图所示,作PF∥BC交AC于F,‎ ‎∵△ABC是等边三角形,∴∠APF=∠ABC=60°,‎ ‎∠AFP=∠ACB=60°,∴△APF是等边三角形,‎ 3‎ ‎∴AP=PF,∵PA=CQ,∴PF=CQ.‎ 在△DPF和△DQC中,‎ ‎ ‎ ‎∴△DPF≌△DQC,∴DF=DC,∵PE⊥AC,‎ ‎∴E是AF中点,从而ED=AC=,故选B.‎ 因为本题中DE与等边三角形ABC的边长之间无直接联系,所以通过分割,将其分成两部分后,分别证DF=DC和EF=EA,从而求之.‎ 考点二：利用等边三角形证线段和差 ‎【例2】如图,在△ABC中,AB=AC,D是CB延长线上的一点,∠ADB=60°,E是AD上的一点,且DE=DB.求证:AE=BE+BC.‎ ‎                    ‎ ‎(1)                      (2)                 (3)‎ 3‎ 证明：证法一:如图 (1),延长DC到F,使CF=BD,连接AF,‎ ‎∵∠ADB=60°,DE=DB,∴△DBE是等边三角形,∴BE=DB.∴BE=CF.‎ ‎∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,∴∠ABD=∠ACF.∵BD=CF,‎ ‎∴△ABD≌△ACF.∴∠F=∠D=60°,∴△ADF是等边三角形,∴AD=DF,‎ ‎∴AD-DE=DF-DB,即AE=BF,∴AE=BC+CF=BC+BE.‎ 证法二:如图 (2),延长EB到P,使BP=BC,连接AP,CP.‎ ‎∵∠ADB=60°,DE=DB,∴△DBE是等边三角形,‎ ‎∴∠CBP=∠DBE=60°,∴△BPC为等边三角形,∴BP=PC.‎ ‎∵AB=AC,AP=AP,∴△BAP≌△CAP,∴∠BPA=∠CPA,‎ ‎∵∠PCB=∠D=60°,∴PC∥AD,‎ ‎∴∠CPA=∠EAP,∴∠EAP=∠BPA,∴AE=EP=BE+BC.‎ 证法三:如图 (3),过C作CM∥BE,交AD于M.‎ ‎∵∠ADB=60°,DE=DB,∴△DBE是等边三角形,‎ ‎∴∠DBE=60°.∵CM∥BE,∴∠MCD=∠DBE=60°,∠DMC=∠DEB=60°,‎ ‎∴△DCM为等边三角形,∴CD=MD,∴CD-DB=DM-DE,即BC=EM.‎ ‎∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.∴∠D+∠DAB=∠DCM+∠MCA.‎ ‎∵∠D=∠MCD=60°,∴∠DAB=∠MCA.∵MC∥BE,∴∠CMA=∠AEB,‎ ‎∴△ABE≌△CAM.∴AM=BE,∴AE=AM+EM=BE+BC.‎ 点拨：欲证一线段等于另两线段之和,可利用“截长补短”之法.本题条件蕴含着等边三角形,所以有相等的边与角,从而有全等的三角形,由此得证.‎ 3‎