2020年浙江省丽水市中考数学试卷(含解析）

2020年浙江省丽水市中考数学试卷(含解析）

‎2020年浙江省丽水市中考数学试卷 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）‎ ‎1．（3分）实数3的相反数是（　　）‎ A．﹣3 B．3 C．‎-‎‎1‎‎3‎ D．‎‎1‎‎3‎ ‎2．（3分）分式x+5‎x-2‎的值是零，则x的值为（　　）‎ A．2 B．5 C．﹣2 D．﹣5‎ ‎3．（3分）下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（　　）‎ A．a2+b2 B．2a﹣b2 C．a2﹣b2 D．﹣a2﹣b2‎ ‎4．（3分）下列四个图形中，是中心对称图形的是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎5．（3分）如图，有一些写有号码的卡片，它们的背面都相同，现将它们背面朝上，从中任意摸出一张，摸到1号卡片的概率是（　　）‎ A．‎1‎‎2‎ B．‎1‎‎3‎ C．‎2‎‎3‎ D．‎‎1‎‎6‎ ‎6．（3分）如图，工人师傅用角尺画出工件边缘AB的垂线a和b，得到a∥b．理由是（　　）‎ A．连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 ‎ B．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行 ‎ C．在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线 ‎ 第25页（共25页）‎ D．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 ‎7．（3分）已知点（﹣2，a）（2，b）（3，c）在函数y‎=‎kx（k＞0）的图象上，则下列判断正确的是（　　）‎ A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．c＜b＜a ‎8．（3分）如图，⊙O是等边△ABC的内切圆，分别切AB，BC，AC于点E，F，D，P是DF上一点，则∠EPF的度数是（　　）‎ A．65° B．60° C．58° D．50°‎ ‎9．（3分）如图，在编写数学谜题时，“□”内要求填写同一个数字，若设“□”内数字为x．则列出方程正确的是（　　）‎ A．3×2x+5＝2x B．3×20x+5＝10x×2 ‎ C．3×20+x+5＝20x D．3×（20+x）+5＝10x+2‎ ‎10．（3分）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH．连结EG，BD相交于点O、BD与HC相交于点P．若GO＝GP，则S正方形ABCDS正方形EFGH的值是（　　）‎ 第25页（共25页）‎ A．1‎+‎‎2‎ B．2‎+‎‎2‎ C．5‎-‎‎2‎ D．‎‎15‎‎4‎ 二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）‎ ‎11．（4分）点P（m，2）在第二象限内，则m的值可以是（写出一个即可）　 　．‎ ‎12．（4分）数据1，2，4，5，3的中位数是　 　．‎ ‎13．（4分）如图为一个长方体，则该几何体主视图的面积为　 　cm2．‎ ‎14．（4分）如图，平移图形M，与图形N可以拼成一个平行四边形，则图中α的度数是　 　°．‎ ‎15．（4分）如图是小明画的卡通图形，每个正六边形的边长都相等，相邻两正六边形的边重合，点A，B，C均为正六边形的顶点，AB与地面BC所成的锐角为β．则tanβ的值是　 　．‎ ‎16．（4分）图1是一个闭合时的夹子，图2是该夹子的主视示意图，夹子两边为AC，BD（点A与点B重合），点O是夹子转轴位置，OE⊥AC于点E，OF⊥BD于点F，OE＝OF＝1cm，AC＝BD＝6cm，CE＝DF，CE：AE＝2：3．按图示方式用手指按夹子，夹子两边绕点O转动．‎ ‎（1）当E，F两点的距离最大时，以点A，B，C，D为顶点的四边形的周长是　 　cm．‎ ‎（2）当夹子的开口最大（即点C与点D重合）时，A，B两点的距离为　 　cm．‎ 第25页（共25页）‎ 三、解答题（本题有8小题，共66分，各小题都必须写出解答过程）‎ ‎17．（6分）计算：（﹣2020）0‎+‎4‎-‎tan45°+|﹣3|．‎ ‎18．（6分）解不等式：5x﹣5＜2（2+x）．‎ ‎19．（6分）某市在开展线上教学活动期间，为更好地组织初中学生居家体育锻炼，随机抽取了部分初中学生对“最喜爱的体育锻炼项目”进行线上问卷调查（每人必须且只选其中一项），得到如图两幅不完整的统计图表．请根据图表信息回答下列问题：‎ 抽取的学生最喜爱体育锻炼项目的统计表 ‎ 类别 项目 ‎　人数（人）‎ ‎　A 跳绳 ‎59‎ ‎　B 健身操 ‎▲‎ ‎　C 俯卧撑 ‎31‎ ‎　D 开合跳 ‎▲‎ ‎　E 其它 ‎22‎ ‎（1）求参与问卷调查的学生总人数．‎ ‎（2）在参与问卷调查的学生中，最喜爱“开合跳”的学生有多少人？‎ ‎（3）该市共有初中学生约8000人，估算该市初中学生中最喜爱“健身操”的人数．‎ ‎20．（8分）如图，AB的半径OA＝2，OC⊥AB于点C，∠AOC＝60°．‎ ‎（1）求弦AB的长．‎ ‎（2）求AB的长．‎ 第25页（共25页）‎ ‎21．（8分）某地区山峰的高度每增加1百米，气温大约降低0.6℃，气温T（℃）和高度h（百米）的函数关系如图所示．‎ 请根据图象解决下列问题：‎ ‎（1）求高度为5百米时的气温；‎ ‎（2）求T关于h的函数表达式；‎ ‎（3）测得山顶的气温为6℃，求该山峰的高度．‎ ‎22．（10分）如图，在△ABC中，AB＝4‎2‎，∠B＝45°，∠C＝60°．‎ ‎（1）求BC边上的高线长．‎ ‎（2）点E为线段AB的中点，点F在边AC上，连结EF，沿EF将△AEF折叠得到△PEF．‎ ‎①如图2，当点P落在BC上时，求∠AEP的度数．‎ ‎②如图3，连结AP，当PF⊥AC时，求AP的长．‎ ‎23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数y‎=-‎‎1‎‎2‎（x﹣m）2+4图象的顶点为A，与y轴交于点B，异于顶点A的点C（1，n）在该函数图象上．‎ 第25页（共25页）‎ ‎（1）当m＝5时，求n的值．‎ ‎（2）当n＝2时，若点A在第一象限内，结合图象，求当y≥2时，自变量x的取值范围．‎ ‎（3）作直线AC与y轴相交于点D．当点B在x轴上方，且在线段OD上时，求m的取值范围．‎ ‎24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABOC的两直角边分别在坐标轴的正半轴上，分别过OB，OC的中点D，E作AE，AD的平行线，相交于点F，已知OB＝8．‎ ‎（1）求证：四边形AEFD为菱形．‎ ‎（2）求四边形AEFD的面积．‎ ‎（3）若点P在x轴正半轴上（异于点D），点Q在y轴上，平面内是否存在点G，使得以点A，P，Q，G为顶点的四边形与四边形AEFD相似？若存在，求点P的坐标；若不存在，试说明理由．‎ 第25页（共25页）‎ ‎2020年浙江省丽水市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）‎ ‎1．（3分）实数3的相反数是（　　）‎ A．﹣3 B．3 C．‎-‎‎1‎‎3‎ D．‎‎1‎‎3‎ ‎【解答】解：实数3的相反数是：﹣3．‎ 故选：A．‎ ‎2．（3分）分式x+5‎x-2‎的值是零，则x的值为（　　）‎ A．2 B．5 C．﹣2 D．﹣5‎ ‎【解答】解：由题意得：x+5＝0，且x﹣2≠0，‎ 解得：x＝﹣5，‎ 故选：D．‎ ‎3．（3分）下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（　　）‎ A．a2+b2 B．2a﹣b2 C．a2﹣b2 D．﹣a2﹣b2‎ ‎【解答】解：A、a2+b2不能运用平方差公式分解，故此选项错误；‎ B、2a﹣b2不能运用平方差公式分解，故此选项错误；‎ C、a2﹣b2能运用平方差公式分解，故此选项正确；‎ D、﹣a2﹣b2不能运用平方差公式分解，故此选项错误；‎ 故选：C．‎ ‎4．（3分）下列四个图形中，是中心对称图形的是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【解答】解：A、该图形不是中心对称图形，故本选项不合题意；‎ B、该图形不是中心对称图形，故本选项不合题意；‎ C、该图形是中心对称图形，故本选项符合题意；‎ 第25页（共25页）‎ D、该图形不是中心对称图形，故本选项不合题意；‎ 故选：C．‎ ‎5．（3分）如图，有一些写有号码的卡片，它们的背面都相同，现将它们背面朝上，从中任意摸出一张，摸到1号卡片的概率是（　　）‎ A．‎1‎‎2‎ B．‎1‎‎3‎ C．‎2‎‎3‎ D．‎‎1‎‎6‎ ‎【解答】解：∵共有6张卡片，其中写有1号的有3张，‎ ‎∴从中任意摸出一张，摸到1号卡片的概率是‎3‎‎6‎‎=‎‎1‎‎2‎；‎ 故选：A．‎ ‎6．（3分）如图，工人师傅用角尺画出工件边缘AB的垂线a和b，得到a∥b．理由是（　　）‎ A．连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 ‎ B．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行 ‎ C．在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线 ‎ D．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 ‎【解答】解：由题意a⊥AB，b⊥AB，‎ ‎∴a∥b（垂直于同一条直线的两条直线平行），‎ 故选：B．‎ ‎7．（3分）已知点（﹣2，a）（2，b）（3，c）在函数y‎=‎kx（k＞0）的图象上，则下列判断正确的是（　　）‎ A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．c＜b＜a ‎【解答】解：∵k＞0，‎ ‎∴函数y‎=‎kx（k＞0）的图象分布在第一、三象限，在每一象限，y随x的增大而减小，‎ ‎∵﹣2＜0＜2＜3，‎ 第25页（共25页）‎ ‎∴b＞c＞0，a＜0，‎ ‎∴a＜c＜b．‎ 故选：C．‎ ‎8．（3分）如图，⊙O是等边△ABC的内切圆，分别切AB，BC，AC于点E，F，D，P是DF上一点，则∠EPF的度数是（　　）‎ A．65° B．60° C．58° D．50°‎ ‎【解答】解：如图，连接OE，OF．‎ ‎∵⊙O是△ABC的内切圆，E，F是切点，‎ ‎∴OE⊥AB，OF⊥BC，‎ ‎∴∠OEB＝∠OFB＝90°，‎ ‎∵△ABC是等边三角形，‎ ‎∴∠B＝60°，‎ ‎∴∠EOF＝120°，‎ ‎∴∠EPF‎=‎‎1‎‎2‎∠EOF＝60°，‎ 故选：B．‎ ‎9．（3分）如图，在编写数学谜题时，“□”内要求填写同一个数字，若设“□”内数字为x．则列出方程正确的是（　　）‎ 第25页（共25页）‎ A．3×2x+5＝2x B．3×20x+5＝10x×2 ‎ C．3×20+x+5＝20x D．3×（20+x）+5＝10x+2‎ ‎【解答】解：设“□”内数字为x，根据题意可得：‎ ‎3×（20+x）+5＝10x+2．‎ 故选：D．‎ ‎10．（3分）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH．连结EG，BD相交于点O、BD与HC相交于点P．若GO＝GP，则S正方形ABCDS正方形EFGH的值是（　　）‎ A．1‎+‎‎2‎ B．2‎+‎‎2‎ C．5‎-‎‎2‎ D．‎‎15‎‎4‎ ‎【解答】解：∵四边形EFGH为正方形，‎ ‎∴∠EGH＝45°，∠FGH＝90°，‎ ‎∵OG＝GP，‎ ‎∴∠GOP＝∠OPG＝67.5°，‎ ‎∴∠PBG＝22.5°，‎ 又∵∠DBC＝45°，‎ ‎∴∠GBC＝22.5°，‎ ‎∴∠PBG＝∠GBC，‎ ‎∵∠BGP＝∠BG＝90°，BG＝BG，‎ ‎∴△BPG≌△BCG（ASA），‎ ‎∴PG＝CG．‎ 设OG＝PG＝CG＝x，‎ 第25页（共25页）‎ ‎∵O为EG，BD的交点，‎ ‎∴EG＝2x，FG‎=‎‎2‎x，‎ ‎∵四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，‎ ‎∴BF＝CG＝x，‎ ‎∴BG＝x‎+‎‎2‎x，‎ ‎∴BC2＝BG2+CG2‎=x‎2‎(‎2‎+1‎)‎‎2‎+x‎2‎=(4+2‎2‎)‎x‎2‎，‎ ‎∴S正方形ABCDS正方形EFGH‎=‎(4+2‎2‎)‎x‎2‎‎2‎x‎2‎=2+‎‎2‎．‎ 故选：B．‎ 二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）‎ ‎11．（4分）点P（m，2）在第二象限内，则m的值可以是（写出一个即可）　﹣1（答案不唯一）．　．‎ ‎【解答】解：∵点P（m，2）在第二象限内，‎ ‎∴m＜0，‎ 则m的值可以是﹣1（答案不唯一）．‎ 故答案为：﹣1（答案不唯一）．‎ ‎12．（4分）数据1，2，4，5，3的中位数是　3　．‎ ‎【解答】解：数据1，2，4，5，3按照从小到大排列是1，2，3，4，5，‎ 则这组数据的中位数是3，‎ 故答案为：3．‎ ‎13．（4分）如图为一个长方体，则该几何体主视图的面积为　20　cm2．‎ ‎【解答】解：该几何体的主视图是一个长为4，宽为5的矩形，所以该几何体主视图的面积为20cm2．‎ 故答案为：20．‎ ‎14．（4分）如图，平移图形M，与图形N可以拼成一个平行四边形，则图中α的度数是　30　°．‎ 第25页（共25页）‎ ‎【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴∠D＝180°﹣∠C＝60°，‎ ‎∴∠α＝180°﹣（540°﹣70°﹣140°﹣180°）＝30°，‎ 故答案为：30．‎ ‎15．（4分）如图是小明画的卡通图形，每个正六边形的边长都相等，相邻两正六边形的边重合，点A，B，C均为正六边形的顶点，AB与地面BC所成的锐角为β．则tanβ的值是　‎19‎‎3‎‎15‎　．‎ ‎【解答】解：如图，作AT∥BC，过点B作BH⊥AT于H，设正六边形的边长为a，则正六边形的半径为，边心距‎=‎‎3‎‎2‎a．‎ 观察图象可知：BH‎=‎‎19‎‎2‎a，AH‎=‎‎5‎‎3‎‎2‎a，‎ ‎∵AT∥BC，‎ ‎∴∠BAH＝β，‎ 第25页（共25页）‎ ‎∴tanβ‎=BHAH=‎19‎‎2‎a‎5‎‎3‎‎2‎a=‎‎19‎‎3‎‎15‎．‎ 故答案为‎19‎‎3‎‎15‎．‎ ‎16．（4分）图1是一个闭合时的夹子，图2是该夹子的主视示意图，夹子两边为AC，BD（点A与点B重合），点O是夹子转轴位置，OE⊥AC于点E，OF⊥BD于点F，OE＝OF＝1cm，AC＝BD＝6cm，CE＝DF，CE：AE＝2：3．按图示方式用手指按夹子，夹子两边绕点O转动．‎ ‎（1）当E，F两点的距离最大时，以点A，B，C，D为顶点的四边形的周长是　16　cm．‎ ‎（2）当夹子的开口最大（即点C与点D重合）时，A，B两点的距离为　‎60‎‎13‎　cm．‎ ‎【解答】解：（1）当E，F两点的距离最大时，E，O，F共线，此时四边形ABCD是矩形，‎ ‎∵OE＝OF＝1cm，‎ ‎∴EF＝2cm，‎ ‎∴AB＝CD＝2cm，‎ ‎∴此时四边形ABCD的周长为2+2+6+6＝16（cm），‎ 故答案为16．‎ ‎（2）如图3中，连接EF交OC于H．‎ 第25页（共25页）‎ 由题意CE＝CF‎=‎2‎‎5‎×‎6‎=‎‎12‎‎5‎（cm），‎ ‎∵OE＝OF＝1cm，‎ ‎∴CO垂直平分线段EF，‎ ‎∵OC‎=CE‎2‎+OE‎2‎=‎(‎12‎‎5‎‎)‎‎2‎+‎‎1‎‎2‎=‎‎13‎‎5‎（cm），‎ ‎∵‎1‎‎2‎•OE•EC‎=‎‎1‎‎2‎•CO•EH，‎ ‎∴EH‎=‎1×‎‎12‎‎5‎‎13‎‎5‎=‎‎12‎‎13‎（cm），‎ ‎∴EF＝2EH‎=‎‎24‎‎13‎（cm）‎ ‎∵EF∥AB，‎ ‎∴EFAB‎=CECB=‎‎2‎‎5‎，‎ ‎∴AB‎=‎5‎‎2‎×‎24‎‎13‎=‎‎60‎‎13‎（cm）．‎ 故答案为‎60‎‎13‎．‎ 三、解答题（本题有8小题，共66分，各小题都必须写出解答过程）‎ ‎17．（6分）计算：（﹣2020）0‎+‎4‎-‎tan45°+|﹣3|．‎ ‎【解答】解：原式＝1+2﹣1+3＝5．‎ ‎18．（6分）解不等式：5x﹣5＜2（2+x）．‎ ‎【解答】解：5x﹣5＜2（2+x），‎ ‎5x﹣5＜4+2x ‎5x﹣2x＜4+5，‎ ‎3x＜9，‎ x＜3．‎ ‎19．（6分）某市在开展线上教学活动期间，为更好地组织初中学生居家体育锻炼，随机抽取了部分初中学生对“最喜爱的体育锻炼项目”进行线上问卷调查（每人必须且只选其中一项），得到如图两幅不完整的统计图表．请根据图表信息回答下列问题：‎ 抽取的学生最喜爱体育锻炼项目的统计表 ‎ 类别 项目 ‎　人数（人）‎ ‎　A 跳绳 ‎59‎ 第25页（共25页）‎ ‎　B 健身操 ‎▲‎ ‎　C 俯卧撑 ‎31‎ ‎　D 开合跳 ‎▲‎ ‎　E 其它 ‎22‎ ‎（1）求参与问卷调查的学生总人数．‎ ‎（2）在参与问卷调查的学生中，最喜爱“开合跳”的学生有多少人？‎ ‎（3）该市共有初中学生约8000人，估算该市初中学生中最喜爱“健身操”的人数．‎ ‎【解答】解：（1）22÷11%＝200（人），‎ 答：参与调查的学生总数为200人；‎ ‎（2）200×24%＝48（人），‎ 答：最喜爱“开合跳”的学生有48人；‎ ‎（3）最喜爱“健身操”的学生数为200﹣59﹣31﹣48﹣22＝40（人），‎ ‎8000‎×‎40‎‎200‎=‎1600（人），‎ 答：最喜爱“健身操”的学生数大约为1600人．‎ ‎20．（8分）如图，AB的半径OA＝2，OC⊥AB于点C，∠AOC＝60°．‎ ‎（1）求弦AB的长．‎ ‎（2）求AB的长．‎ ‎【解答】解：（1）∵AB的半径OA＝2，OC⊥AB于点C，∠AOC＝60°，‎ ‎∴AC＝OA•sin60°＝2‎×‎3‎‎2‎=‎‎3‎，‎ 第25页（共25页）‎ ‎∴AB＝2AC＝2‎3‎；‎ ‎（2）∵OC⊥AB，∠AOC＝60°，‎ ‎∴∠AOB＝120°，‎ ‎∵OA＝2，‎ ‎∴AB的长是：‎120π×2‎‎180‎‎=‎‎4π‎3‎．‎ ‎21．（8分）某地区山峰的高度每增加1百米，气温大约降低0.6℃，气温T（℃）和高度h（百米）的函数关系如图所示．‎ 请根据图象解决下列问题：‎ ‎（1）求高度为5百米时的气温；‎ ‎（2）求T关于h的函数表达式；‎ ‎（3）测得山顶的气温为6℃，求该山峰的高度．‎ ‎【解答】解：（1）由题意得，高度增加2百米，则气温降低2×0.6＝1.2（°C），‎ ‎∴13.2﹣1.2＝12，‎ ‎∴高度为5百米时的气温大约是12°C；‎ ‎（2）设T关于h的函数表达式为T＝kh+b，‎ 则：‎3k+b=13.2‎‎5k+b=12‎，‎ 解得k=-0.6‎b=15‎，‎ ‎∴T关于h的函数表达式为T＝﹣0.6h+15；‎ ‎（3）当T＝6时，6＝﹣0.6h+15，‎ 解得h＝15．‎ ‎∴该山峰的高度大约为15百米．‎ 第25页（共25页）‎ ‎22．（10分）如图，在△ABC中，AB＝4‎2‎，∠B＝45°，∠C＝60°．‎ ‎（1）求BC边上的高线长．‎ ‎（2）点E为线段AB的中点，点F在边AC上，连结EF，沿EF将△AEF折叠得到△PEF．‎ ‎①如图2，当点P落在BC上时，求∠AEP的度数．‎ ‎②如图3，连结AP，当PF⊥AC时，求AP的长．‎ ‎【解答】解：（1）如图1中，过点A作AD⊥BC于D．‎ 在Rt△ABD中，AD＝AB•sin45°＝4‎2‎‎×‎2‎‎2‎=‎4．‎ ‎（2）①如图2中，‎ ‎∵△AEF≌△PEF，‎ ‎∴AE＝EP，‎ ‎∵AE＝EB，‎ ‎∴BE＝EP，‎ 第25页（共25页）‎ ‎∴∠EPB＝∠B＝45°，‎ ‎∴∠PEB＝90°，‎ ‎∴∠AEP＝180°﹣90°＝90°．‎ ‎②如图3中，由（1）可知：AC‎=ADsin60°‎=‎‎8‎‎3‎‎3‎，‎ ‎∵PF⊥AC，‎ ‎∴∠PFA＝90°，‎ ‎∵△AEF≌△PEF，‎ ‎∴∠AFE＝∠PFE＝45°，‎ ‎∴∠AFE＝∠B，‎ ‎∵∠EAF＝∠CAB，‎ ‎∴△AEF∽△ACB，‎ ‎∴AFAB‎=‎AEAC，即AF‎4‎‎2‎‎=‎‎2‎‎2‎‎8‎‎3‎‎3‎，‎ ‎∴AF＝2‎3‎，‎ 在Rt△AFP，AF＝FP，‎ ‎∴AP‎=‎‎2‎AF＝2‎6‎．‎ ‎23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数y‎=-‎‎1‎‎2‎（x﹣m）2+4图象的顶点为A，与y轴交于点B，异于顶点A的点C（1，n）在该函数图象上．‎ ‎（1）当m＝5时，求n的值．‎ ‎（2）当n＝2时，若点A在第一象限内，结合图象，求当y≥2时，自变量x的取值范围．‎ ‎（3）作直线AC与y轴相交于点D．当点B在x轴上方，且在线段OD上时，求m的取值范围．‎ 第25页（共25页）‎ ‎【解答】解：（1）当m＝5时，y‎=-‎‎1‎‎2‎（x﹣5）2+4，‎ 当x＝1时，n‎=-‎1‎‎2‎×‎42+4＝﹣4．‎ ‎（2）当n＝2时，将C（1，2）代入函数表达式y‎=-‎‎1‎‎2‎（x﹣m）2+4，得2‎=-‎‎1‎‎2‎（1﹣m）2+4，‎ 解得m＝3或﹣1（舍弃），‎ ‎∴此时抛物线的对称轴x＝3，‎ 根据抛物线的对称性可知，当y＝2时，x＝1或5，‎ ‎∴x的取值范围为1≤x≤5．‎ ‎（3）∵点A与点C不重合，‎ ‎∴m≠1，‎ ‎∵抛物线的顶点A的坐标是（m，4），‎ ‎∴抛物线的顶点在直线y＝4上，‎ 当x＝0时，y‎=-‎‎1‎‎2‎m2+4，‎ ‎∴点B的坐标为（0，‎-‎‎1‎‎2‎m2+4），‎ 抛物线从图1的位置向左平移到图2的位置，m逐渐减小，点B沿y轴向上移动，‎ 当点B与O重合时，‎-‎‎1‎‎2‎m2+4＝0，‎ 解得m＝2‎2‎或﹣2‎2‎，‎ 当点B与点D重合时，如图2，顶点A也与B，D重合，点B到达最高点，‎ ‎∴点B（0，4），‎ ‎∴‎-‎‎1‎‎2‎m2+4＝4，解得m＝0，‎ 第25页（共25页）‎ 当抛物线从图2的位置继续向左平移时，如图3点B不在线段OD上，‎ ‎∴B点在线段OD上时，m的取值范围是：0≤m＜1或1＜m＜2‎2‎．‎ ‎24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABOC的两直角边分别在坐标轴的正半轴上，分别过OB，OC的中点D，E作AE，AD的平行线，相交于点F，已知OB＝8．‎ ‎（1）求证：四边形AEFD为菱形．‎ ‎（2）求四边形AEFD的面积．‎ ‎（3）若点P在x轴正半轴上（异于点D），点Q在y轴上，平面内是否存在点G，使得以点A，P，Q，G为顶点的四边形与四边形AEFD相似？若存在，求点P的坐标；若不存在，试说明理由．‎ ‎【解答】（1）证明：如图1中，‎ 第25页（共25页）‎ ‎∵AE∥DF，AD∥EF，‎ ‎∴四边形AEFD是平行四边形，‎ ‎∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴AC＝AB＝OC＝OB，∠ACE＝∠ABD＝90°，‎ ‎∵E，D分别是OC，OB的中点，‎ ‎∴CE＝BD，‎ ‎∴△CAE≌△ABD（SAS），‎ ‎∴AE＝AD，‎ ‎∴四边形AEFD是菱形．‎ ‎（2）解：如图1中，连接DE．‎ ‎∵S△ADB＝S△ACE‎=‎1‎‎2‎×‎8×4＝16，‎ S△EOD‎=‎1‎‎2‎×‎4×4＝8，‎ ‎∴S△AED＝S正方形ABOC﹣2S△ABD﹣S△EOD＝64﹣2×16﹣8＝24，‎ ‎∴S菱形AEFD＝2S△AED＝48．‎ ‎（3）解：如图1中，连接AF，设AF交DE于K，‎ ‎∵OE＝OD＝4，OK⊥DE，‎ ‎∴KE＝KD，‎ ‎∴OK＝KE＝KD＝2‎2‎，‎ ‎∵AO＝8‎2‎，‎ ‎∴AK＝6‎2‎，‎ 第25页（共25页）‎ ‎∴AK＝3DK，‎ ‎①当AP为菱形的一边，点Q在x轴的上方，有图2，图3两种情形：‎ 如图2中，设AG交PQ于H，过点H作HN⊥x轴于N，交AC于M，设AM＝t．‎ ‎∵菱形PAQG∽菱形ADFE，‎ ‎∴PH＝3AH，‎ ‎∵HN∥OQ，QH＝HP，‎ ‎∴ON＝NP，‎ ‎∴HN是△PQO的中位线，‎ ‎∴ON＝PN＝8﹣t，‎ ‎∵∠MAH＝∠PHN＝90°﹣∠AHM，∠PNH＝∠AMH＝90°，‎ ‎∴△HMA∽△PNH，‎ ‎∴AMNH‎=MHPN=AHPH=‎‎1‎‎3‎，‎ ‎∴HN＝3AM＝3t，‎ ‎∴MH＝MN﹣NH＝8﹣3t，‎ ‎∵PN＝3MH，‎ ‎∴8﹣t＝3（8﹣3t），‎ ‎∴t＝2，‎ ‎∴OP＝2ON＝2（8﹣t）＝12，‎ ‎∴P（12，0）．‎ 如图3中，过点H作HI⊥y轴于I，过点P作PN⊥x轴交IH于N，延长BA交IN于M．‎ 第25页（共25页）‎ 同法可证：△AMH∽△HNP，‎ ‎∴AMHN‎=MHPN=AHHP=‎‎1‎‎3‎，设MH＝t，‎ ‎∴PN＝3MH＝3t，‎ ‎∴AM＝BM﹣AB＝3t﹣8，‎ ‎∵HI是△OPQ的中位线，‎ ‎∴OP＝2IH，‎ ‎∴HIHN，‎ ‎∴8+t＝9t﹣24，‎ ‎∴t＝4，‎ ‎∴OP＝2HI＝2（8+t）＝24，‎ ‎∴P（24，0）．‎ ‎②当AP为菱形的边，点Q在x轴的下方时，有图4，图5两种情形：‎ 如图4中，QH＝3PH，过点H作HM⊥OC于M，过D点P作PN⊥MH于N．‎ 第25页（共25页）‎ ‎∵MH是△QAC的中位线，‎ ‎∴MH‎=‎‎1‎‎2‎AC＝4，‎ 同法可得：△HPN∽△QHM，‎ ‎∴NPHM‎=HNMQ=PHQH=‎‎1‎‎3‎，‎ ‎∴PN‎=‎‎1‎‎3‎HM‎=‎‎4‎‎3‎，‎ ‎∴OM＝PN‎=‎‎4‎‎3‎，设HN＝t，则MQ＝3t，‎ ‎∵MQ＝MC，‎ ‎∴3t＝8‎-‎‎4‎‎3‎，‎ ‎∴t‎=‎‎20‎‎9‎，‎ ‎∴OP＝MN＝4+t‎=‎‎56‎‎9‎，‎ ‎∴点P的坐标为（‎56‎‎9‎，0）．‎ 如图5中，QH＝3PH，过点H作HM⊥x轴于M交AC于I，过点Q作QN⊥HM于N．‎ ‎∵IH是△ACQ的中位线，‎ ‎∴CQ＝2HI，NQ＝CI＝4，‎ 同法可得：△PMH∽△HNQ，‎ ‎∴MHNQ‎=PMHN=PHHQ=‎‎1‎‎3‎，则MH‎=‎‎1‎‎3‎NQ‎=‎‎4‎‎3‎，‎ 第25页（共25页）‎ 设PM＝t，则HN＝3t，‎ ‎∵HN＝HI，‎ ‎∴3t＝8‎+‎‎4‎‎3‎，‎ ‎∴t‎=‎‎28‎‎9‎，‎ ‎∴OP＝OM﹣PM＝QN﹣PM＝4﹣t‎=‎‎8‎‎9‎，‎ ‎∴P（‎8‎‎9‎，0）．‎ ‎③如图6中，当AP为菱形的对角线时，有图6一种情形：‎ 过点H作HM⊥y轴于于点M，交AB于I，过点P作PN⊥HM于N．‎ ‎∵HI∥x轴，AH＝HP，‎ ‎∴AI＝IB＝4，‎ ‎∴PN＝IB＝4，‎ 同法可得：△PNH∽△HMQ，‎ ‎∴PNHM‎=HNMQ=PHHQ=‎‎1‎‎3‎，‎ ‎∴MH＝3PN＝12，HI＝MH﹣MI＝4，‎ ‎∵HI是△ABP的中位线，‎ ‎∴BP＝2IH＝8，‎ ‎∴OP＝OB+BP＝16，‎ ‎∴P（16，0），‎ 综上所述，满足条件的点P的坐标为（12，0）或（24，0）或（‎56‎‎9‎，0）或（‎8‎‎9‎，0）或（16，0）．‎ 第25页（共25页）‎