中考数学试题分类汇编之17 等腰三角形与勾股定理试题及答案

中考数学试题分类汇编之17 等腰三角形与勾股定理试题及答案

‎2009年中考试题专题之17-等腰三角形与勾股定理试题及答案 一、选择题 ‎1．（2009年山西省）如图，在RtΔABC中，∠ACB＝90°BC＝3,AC＝4,AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E，则CE的长为（ ）‎ A． B． C． D．2‎ A D B E C ‎【关键词】相似三角形判定和性质；勾股定理；线段和角的概念、性质 ‎【答案】B ‎2．(2009年达州)图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是 A．13 B．‎26 ‎‎ ‎‎ C．47 D．94 ‎ ‎【关键词】勾股定理 ‎【答案】C ‎3．（2009年湖北十堰市）如图，已知RtΔABC中，∠ACB＝90°，AC＝ 4，BC＝3，以AB边所在的直线为轴，将ΔABC旋转一周，则所得几何体的表面积是（ ）．‎ A． B． C． D．‎ ‎4．(2009年湖州)如图，在正三角形中，D，E，F分别是BC，AC，AB上的点，DE⊥AC,EF⊥AB,FD⊥BC，则ΔDEF的面积与ΔABC的面积之比等于（ ）‎ A．1∶3 B．2∶‎3 ‎ C．∶2 D．∶3 ‎ D C E F A B ‎【关键词】等边三角形的性质，相似的性质 ‎【答案】A ‎5．（2009年广西钦州）如图，AC＝AD，BC＝BD，则有（ ）‎ ‎ A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分AB ‎ C．AB与CD互相垂直平分 D．CD平分∠ACB ‎【关键词】全等三角形、等腰三角形三线合一．‎ ‎【答案】A ‎6．（2009年衡阳市）如图2所示，A、B、C分别表示三个村庄，AB＝‎1000米，BC＝‎600米，AC＝‎800米，在社会主义新农村建设中，为了丰富群众生活，拟建一个 文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P 的位置应在（ ）‎ A．AB中点 B．BC中点 C．AC中点 D．∠C的平分线与AB的交点 ‎【关键词】勾股定理的逆定理，三角形中垂线 ‎【答案】A ‎7．（湖北省恩施市）如图3，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，上只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是( )‎ A．5 B．‎25 C．+5 D．35‎ ‎8．（浙江省丽江市）如图，已知△ABC中，∠ABC＝90°,AB＝BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3上，且l1，l2之间的距离为2 , l2，l3之间的距离为3 ,则AC的长是（ A ）‎ l1‎ l2‎ l3‎ A C B A． B． C． D．7‎ ‎∴ ．‎ ‎9．（2009白银市）如图，⊙O的弦AB＝6，M是AB上任意一点，且OM最小值为4，‎ 则⊙O的半径为（　　） ‎ A．5 B．‎4 C．3 D．2 ‎ ‎【关键词】勾股定理 ‎【答案】A ‎10．（2009年济宁市）“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形．如图，是一“赵爽弦图”飞镖板，其直角三角形的两条直角边的长分别是2和4．小明同学距飞镖板一定距离向飞镖板投掷飞镖（假设投掷的飞镖均扎在飞镖板上）, 则投掷一次飞镖扎在中间小正方形区域（含边线）的概率是 A． B． C． D． ‎ ‎【关键词】勾股定理 ‎【答案】C ‎ ‎ ‎11．（2009白银市）如图，四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠CDA＝90°，BE⊥AD于点E，且四边形ABCD的面积为8，则BE＝（　　）‎ A．2 B．‎3 ‎ C． D．‎ ‎【关键词】勾股定理，四边形的性质 ‎【答案】C ‎13．（2009年烟台市）如图，等边△ABC的边长为3，P为BC上一点，‎ 且BP＝1，D为AC上一点，若∠APD＝60°，则 CD的长为（ ）‎ A． B． C． D．‎ A D C P B ‎60°‎ ‎【关键词】等腰三角形 ‎【答案】B ‎13． （2009年嘉兴市）如图，等腰△ABC中，底边，ÐA＝36°，ÐABC的平分线交AC于D，ÐBCD的平分线交BD于E，设，则DE＝（　▲　）‎ A． B．‎ C． D．‎ A D C E B ‎【关键词】等腰三角形 ‎【答案】A ‎14．（2009泰安）如图，△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，若BC＝6，则DF的长是 ‎（A）2 （B）3 （C） （D）4‎ ‎【关键词】角平分线、中位线 ‎【答案】B ‎15．（2009恩施市）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点离点的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短距离是（　　　）‎ A． B．‎25 C． D．‎ ‎【关键词】图形的展开、勾股定理 ‎【答案】B ‎5‎ ‎20‎ ‎15‎ ‎10‎ C A B ‎16．（2009恩施市）16．如图6，的直径垂直弦CD于P，且P是半径OB的中点，CD＝‎6cm，则直径AB的长是（　　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【关键词】垂径定理、勾股定理 ‎【答案】D ‎17．（2009丽水市）如图，已知△ABC中，∠ABC＝90°,AB＝BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3上，且l1，l2之间的距离为2 , l2，l3之间的距离为3 ,则AC的 长是（ ）‎ ‎ A． B． C． D．7‎ l1‎ l2‎ l3‎ A C B ‎【关键词】直线与直线的距离、勾股定理，解直角三角形 ‎【答案】A ‎18．．（2009年宁波市）等腰直角三角形的一个底角的度数是（ ）‎ A．30° B．45° C．60° D．90°‎ ‎【关键词】等腰三角形 ‎【答案】B ‎19． （2009年滨州）如图3，已知△ABC中，AB＝17，AC＝10，BC边上的高 AD＝8， 则边BC的长为（ ）‎ A．21 B．‎15 ‎ C．6 D．以上答案都不对 ‎【关键词】勾股定理．‎ ‎【答案】A A C D B ‎20．(2009武汉)9．如图，已知O是四边形ABCD内一点，OA＝OB＝OC，∠ABC＝∠ADC＝70°，则∠ADO+∠DCO的大小是（ ）‎ A．70° B．110° C．140° D．150°‎ B C O A D ‎【关键词】等腰三角形 多边形的内角和 ‎【答案】D 提示：∠BAO+∠BCO＝∠ABO+∠CBO＝∠ABC＝70°，所以∠BOA+∠BOC＝360°－140°＝220°，所以∠AOC＝140°。‎ ‎21．（2009重庆綦江）如图，点A的坐标是(2,2)，若点P在x轴上，且△APO是等腰三角形，则点P的坐标不可能是（ ）‎ A．(4，0) B．（1．0） y C．（-2，0） D．（2，0）‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎-1‎ ‎1‎ ‎2‎ x y A ‎0‎ ‎【关键词】直角坐标系，等腰三角形 ‎【答案】B ‎22．（2009威海）如图，AB＝AC,BD＝BC，若∠A＝40°，则∠ABD的度数是（　　）‎ A． B． C． D．‎ B A D C ‎【关键词】等腰三角形 ‎【答案】B ‎ ‎ ‎23．（2009襄樊市）如图，已知直线且则等于（ B ）‎ A． 　　B．　　C． D．‎ A F B C D E 解析：本题考查平行线的性质、等腰三角形的性质等知识，∵所以，∴，∵∴，∴，故选B。‎ ‎【关键词】平行线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理 ‎【答案】B ‎24．（2009年贵州黔东南州）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，则∠A等于（ ）‎ A．30o B．40o C．45o D．36o ‎ ‎【关键词】等腰三角形 ‎【答案】D ‎25．(2009年温州)如图，△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝8，AE平分么BAC交BC于点E，点D为AB的中点，连结DE，则△BDE的周长是( )‎ ‎ A．7+ B．‎10 C．4+2 D．12‎ ‎【关键词】等腰三角形“三线合一”的性质 ‎【答案】B ‎26．(2009年温州)一张等腰三角形纸片，底边长l‎5cm，底边上的高长22．‎5cm．现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为‎3cm的矩形纸条，如图所示．已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是( )‎ A．第4张 B．第5张 C．第6张 D．第7张 ‎【关键词】等腰三角形性质，三角形相似的性质，梯形中位线 ‎【答案】C ‎27．(2009年云南省)如图，等腰△ABC的周长为21，底边BC ＝ 5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，则△BEC的周长为（ ）‎ A．13 B．‎14 ‎‎ C．15 D．16‎ A D E B C ‎【关键词】垂直平分线 等腰三角形 ‎【答案】A ‎（2009呼和浩特）在等腰中，，一边上的中线将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（ ）‎ A．7 B．‎11 ‎ C．7或11 D．7或10‎ ‎【关键词】等腰三角形 ‎【答案】‎ 二、填空题 ‎1． （2009年重庆市江津区）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30º，腰长为‎4 cm，则其腰上的高为 ‎ cm．‎ ‎【关键词】等腰三角形的性质 ‎【答案】‎ ‎2．(2009年泸州)如图1，在边长为1的等边△ABC中，中线AD与中线BE相交于点O，则OA长度为 ．‎ ‎【关键词】等边三角形．‎ ‎【答案】‎ ‎3．（2009年泸州）如图2，已知Rt△ABC中，AC＝3，BC＝ 4，过直角顶点C作 CA1⊥AB，垂足为A1，再过A1作A‎1C1⊥BC，垂足为C1，过C1作C‎1A2⊥AB，‎ 垂足为A2，再过A2作A‎2C2⊥BC，垂足为C2，…，这样一直做下去，得到了一组 线段CA1，A‎1C1，，…，则CA1＝ ， ‎ ‎【关键词】勾股定理．‎ ‎【答案】，．‎ ‎4．（2009年滨州）某楼梯的侧面视图如图4所示，其中米，，‎ ‎，因某种活动要求铺设红色地毯，则在AB段 楼梯所铺地毯的长度应为 ．‎ B C A ‎30°‎ ‎【关键词】30°所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理．‎ ‎【答案】（2+2）米．‎ ‎5． （2009年滨州）已知等腰的周长为10，若设腰长为，则的取值范围 是 ．‎ ‎【关键词】等腰三角形．‎ ‎【答案】2．5＜x＜5．‎ ‎6． (2009年四川省内江市)已知Rt△ABC的周长是，斜边上的中线长是2，则S△ABC＝____________‎ ‎【关键词】边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，完全平方公式．‎ ‎【答案】8‎ ‎(2009年黄冈市)11．在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到锐角为50°，则∠B等于_____________度．‎ ‎【关键词】等腰三角形 ‎【答案】或 ‎7．(2009年安顺)图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的。在Rt△ABC中，若直角边AC＝6，BC＝5‎ ‎，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长（图乙中的实线）是______________。‎ ‎【关键词】勾股定理 ‎【答案】76 ‎ ‎8．（2009年湖南长沙）如图，等腰中，，是底边上的高，若，则 cm．‎ A C D B ‎【答案】4 ‎ ‎【解析】本题考查了等腰三角形的性质和勾股定理。根据等腰三角形的三线合一可得：，在直角三角形ABD中，由勾股定理得：,所以，。‎ ‎9． （2009襄樊市）在中，为的中点，动点从点出发，以每秒1的速度沿的方向运动．设运动时间为，那么当 秒时，过、两点的直线将的周长分成两个部分，使其中一部分是另一部分的2倍．‎ 解析：本题考查等腰三角形中的动点问题，两种情况，①当点P在BA上时，BP＝t，AP＝12-t，2（t+3）＝12-t+12+3，解得t＝7；②当点P在AC上时， PC＝24-t，t+3＝2（24-t+3），解得t＝17，故填7或17。　‎ ‎【关键词】等腰三角形的性质 ‎【答案】7或17‎ ‎10．（2009年浙江省绍兴市）如图，小量角器的零度线在大量角器的零度线上，且小量角器的中心在大量角器的外缘边上．如果它们外缘边上的公共点 在小量角器上对应的度数为，那么在大量角器上对应的度数为__________（只需写出～的角度）．‎ ‎ ‎ ‎【关键词】等腰三角形的性质 ‎【答案】50°‎ ‎11．（2009年娄底）如图6，已知AB是⊙O的直径，PB是⊙O的切线，PA交⊙O于C，AB＝‎3cm，PB＝‎4cm，则BC＝ ． ‎【关键词】勾股定理、切线的性质 ‎【答案】‎ ‎ 12．（贵州安顺）图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．在Rt△ABC中，若直角边AC＝6，BC＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车外围周长（图乙中的实线）是_____76_____．‎ ‎13．（2009年浙江省湖州市）如图，已知在中，，，分别以，为直径作半圆，面积分别记为，，则+的值等于 ．‎ C A B S1‎ S2‎ 关键词】勾股定理，半圆 ‎【答案】2π ‎14． （2009年宜宾）已知：如图，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB＝3,则图中阴影部分的面积为 ．‎ ‎【关键词】勾股定理 ‎【答案】．‎ ‎15．（2009年长沙）如图，是的直径，是上一点，，则的度数为 ．‎ C B A O 答案：22°‎ ‎【关键词】圆、角 ‎16．（2009年长沙）如图，等腰中，，是底边上的高，若，则 cm．‎ A C D B 答案：4‎ ‎【关键词】等腰三角形 ‎17．(2009年湖州)如图，已知在中，，，分别以，为直径作半圆，面积分别记为，，则+的值等于 ．‎ C A B S1‎ S2‎ ‎【关键词】勾股定理，圆的面积 ‎【答案】 ‎ ‎18．（2009临沂）如图，过原点的直线l与反比例函数的图象交于M，N两点，根据图象猜想线段MN的长的最小值是___________．‎ O y x M N l ‎【关键词】反比例函数，勾股定理 ‎【答案】‎ ‎19．（2009年漳州）如图，在菱形中，，、分别是、的中点，若，则菱形的边长是_____________．‎ ‎【关键词】三角形中位线定理，等边三角形 ‎【答案】4‎ ‎20． （2009年重庆市江津区）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30º，腰长为‎4 cm，则其腰上的高为 cm．‎ ‎【关键词】等腰三角形的性质 ‎【答案】‎ ‎21．（2009年）如图，甲、乙两楼相距‎20米，甲楼高‎20米，小明站在距甲楼‎10米的处目测得点 与甲、乙楼顶 刚好在同一直线上，若小明的身高忽略不计，则乙楼的高度是 米．‎ ‎20米 乙 C B A 甲 ‎10米 ‎？米 ‎20米 ‎【关键词】勾股定理 ‎【答案】‎ ‎22．（2009年安徽）13、长为‎4m的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角（如图所示），‎ 则梯子的顶端沿墙面升高了 m．‎ ‎【关键词】勾股定理 ‎【答案】‎ ‎23．（2009年山东青岛市）如图，长方体的底面边长分别为‎1cm 和‎3cm，高为‎6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要 cm；如果从点A开始经过4个侧面缠绕圈到达点B，那么所用细线最短需要 cm．‎ B A ‎6cm ‎3cm ‎1cm ‎【关键词】直角三角形的有关计算、勾股定理 ‎【答案】10，（或）‎ ‎24．（2009年邵阳市）如图所示的圆锥主视图是一个等边三角形，边长为2，则这外圆锥的侧面积为______（结果保留π）。‎ ‎【关键词】等边三角形；勾股定理 ‎【答案】‎ ‎25．(2009年云南省)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，DE∥AC，DE交AB于点E ，M为BE的中点，连结DM． 在不添加任何辅助线和字母的情况下，图中的等腰三角形是 ．（写出一个即可）‎ B D C E M A ‎【关键词】等腰三角形 ‎ ‎【答案】△MBD或△MDE或△EAD ‎26．（2009辽宁朝阳）如图，是等边三角形，点是边上任意一点，于点，于点．若，则_____________．‎ ‎【关键词】正三角形与面积 ‎【答案】‎ F E B C D A 三、解答题 ‎1．（2009年崇左）如图，在等腰梯形ABCD中，已知AD//BC，AB＝DC,AD＝2,BC＝4，延长BC到E，使CE＝AD．‎ ‎（1）证明：ΔBAD≌ΔDCE；‎ ‎（2）如果AC⊥BD，求等腰梯形ABCD的高DF的值．‎ D A B E C F ‎（第24题）‎ ‎【关键词】在等腰梯形性质进行转化。‎ ‎【答案】‎ ‎（1）证明：．‎ 又四边形是等腰梯形，，‎ ‎．‎ ‎．‎ ‎（2）四边形是平行四边形，‎ ‎．‎ ‎．‎ 由（1）可知，，．‎ 所以，是等腰直角三角形，即，‎ ‎．‎ 四边形是等腰梯形，而，‎ ‎．‎ ‎．‎ ‎．（2009年浙江省绍兴市）如图，在中，，分别以为边作两个等腰直角三角形和，使．‎ ‎（1）求的度数；‎ ‎（2）求证：． ‎ ‎ ‎ ‎【关键词】等腰三角形的性质 ‎【答案】（1）ΔABD是等腰直角三角形，，所以∠ABD＝45°,AB＝AC,所以∠ABC＝70°,所以∠CBD＝70°+45°＝115°．‎ ‎(2)AB＝AC,,AD＝AE,所以ΔBAD≌ΔCAE,所以BD＝CE．‎ ‎2．（2009年宁波市）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为，直线BC经过点，，将四边形OABC绕点O按顺时针方向旋转 度得到四边形，此时直线、直线分别与直线BC相交于点P、Q．‎ ‎（1）四边形OABC的形状是 ，‎ 当时，的值是 ；‎ ‎（2）①如图2，当四边形的顶点落在轴正半轴时，求的值；‎ ‎②如图3，当四边形的顶点落在直线上时，求的面积．‎ ‎（3）在四边形OABC旋转过程中，当时，是否存在这样的点P和点Q，使？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎（Q）‎ C B A O x P ‎（图3）‎ y Q C B A O x P ‎（图2）‎ y C B A O y x ‎（备用图）‎ ‎【关键词】勾股定理 ‎【答案】解：（1）矩形（长方形）； ‎ ‎．‎ ‎（2）①，，‎ ‎．‎ ‎，即，‎ ‎，．‎ 同理，‎ ‎，即，‎ ‎，． ． ‎ ‎②在和中，‎ ‎．‎ ‎．‎ 设，‎ 在中， ，解得．‎ ‎． ‎ ‎（3）存在这样的点和点，使． ‎ 点的坐标是，． ‎ 对于第（3）题，我们提供如下详细解答，对学生无此要求．‎ 过点画于，连结，则，‎ ‎，，‎ ‎．‎ 设，‎ ‎，，‎ ① 如图1，当点P在点B左侧时， ‎ ‎，‎ 在中，，‎ Q C B A O x P y H Q C B A O x P y H 解得，（不符实际，舍去）．‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎②如图2，当点P在点B右侧时，‎ ‎，．‎ 在中，，解得．‎ ‎，‎ ‎．‎ 综上可知，存在点，，使．‎ ‎3．(2009年义乌)如图，在边长为4的正三角形ABC中，ADBC于点D，‎ 以AD为一边向右作正三角形ADE。‎ ‎（1）求的面积S；‎ ‎（2）判断AC、DE的位置关系，并给出证明。‎ ‎【关键词】正三角形 ‎【答案】‎ 解：（1）在正中，，‎ ‎．‎ ‎（2）的位置关系：．‎ 在中，，‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎4．（2009恩施市）恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世．著名的恩施大峡谷和世界级自然保护区星斗山位于笔直的沪渝高速公路同侧，、到直线的距离分别为和，要在沪渝高速公路旁修建一服务区，向、两景区运送游客．小民设计了两种方案，图（1）是方案一的示意图（与直线垂直，垂足为），到、的距离之和，图（2）是方案二的示意图（点关于直线的对称点是，连接交直线于点），到、的距离之和．‎ ‎（1）求、，并比较它们的大小；‎ ‎（2）请你说明的值为最小；‎ ‎（3）拟建的恩施到张家界高速公路 与沪渝高速公路垂直，建立如图（3）所示的直角坐标系，到直线的距离为，请你在旁和旁各修建一服务区、，使、、、组成的四边形的周长最小．并求出这个最小值．‎ B A P X 图（1）‎ Y X B A Q P O 图（3）‎ B A P X 图（2）‎ ‎【关键词】勾股定理、对称、设计方案 ‎【答案】‎ ‎ 解:⑴图10（1）中过B作BC⊥AP,垂足为C,则PC＝40,又AP＝10,‎ ‎∴AC＝30 ‎ 在Rt△ABC 中，AB＝‎50 AC＝30 ∴BC＝40 ‎ ‎∴ BP＝‎ S1＝ ‎ ‎⑵图10（2）中，过B作BC⊥AA′垂足为C，则A′C＝50，‎ 又BC＝40‎ ‎∴BA'＝‎ 由轴对称知：PA＝PA'‎ ‎∴S2＝BA'＝ ∴﹥ ‎ ‎(2)如 图10（2），在公路上任找一点M,连接MA,MB,MA'，由轴对称知MA＝MA'‎ ‎∴MB+MA＝MB+MA'﹥A'B∴S2＝BA'为最小 ‎（3）过A作关于X轴的对称点A', 过B作关于Y轴的对称点B'，‎ 连接A'B',交X轴于点P, 交Y轴于点Q,则P,Q即为所求 过A'、 B'分别作X轴、Y轴的平行线交于点G,‎ A'B'＝∴所求四边形的周长为 以下是湖北孔小朋的分类：‎ ‎5．（2009年甘肃庆阳）（8分）如图14，在平面直角坐标系中，等腰Rt△OAB斜边OB 在y轴上，且OB＝4．‎ ‎（1）画出△OAB绕原点O顺时针旋转90°后得到的三角形；‎ ‎（2）求线段OB在上述旋转过程中所扫过部分图形的面积（即旋转前后OB与点B轨迹所围成的封闭图形的面积）．‎ 图14‎ ‎【关键词】平面直角坐标系；旋转 ‎【答案】本小题满分8分 解：（1）画图正确（如图）；（2）所扫过部分图形是扇形，它的面积是：‎ ‎．‎ ‎6．（2009年河南）如图所示，∠BAC＝∠ABD,AC＝BD，点O是AD、BC的交点，点E是AB的中点．试判断OE和AB的位置关系,并给出证明．‎ ‎【关键词】等腰三角形的性质与判定 ‎【答案】OE⊥AB．　　　　　　　　　　　‎ 证明：在△BAC和△ABD中，‎ AC＝BD，‎ ‎∠BAC＝∠ABD，‎ AB＝BA．‎ ‎ ∴△BAC≌△ABD．　　　∴∠OBA＝∠OAB,‎ ‎∴OA＝OB．　　　　　　　　　　又∵AE＝BE, ∴OE⊥AB．‎ ‎7．（2009泰安）如图所示，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AB＝BC，E是AB的中点，CE⊥BD。‎ （1） 求证：BE＝AD；‎ （2） 求证：AC是线段ED的垂直平分线；‎ （3） ‎△DBC是等腰三角形吗？并说明理由。‎ （4） ‎【关键词】直角梯形、垂直平分线、等腰三角形 ‎【答案】证明：（1）∵∠ABC＝90°，BD⊥EC，‎ ‎∴∠1与∠3互余，∠2与∠3互余，‎ ‎∴∠1＝∠2‎ ‎∵∠ABC＝∠DAB＝90°，AB＝AC ‎∴△BAD≌△CBE ‎∴AD＝BE ‎（2）∵E是AB中点，‎ ‎∴EB＝EA 由（1）AD＝BE得：AE＝AD ‎∵AD∥BC ‎∴∠7＝∠ACB＝45°‎ ‎∵∠6＝45°‎ ‎∴∠6＝∠7‎ 由等腰三角形的性质，得：EM＝MD，AM⊥DE。‎ 即，AC是线段ED的垂直平分线。‎ ‎（3）△DBC是等腰三角（CD＝BD）‎ 理由如下：‎ 由（2）得：CD＝CE 由（1）得：CE＝BD ‎∴CD＝BD ‎∴△DBC是等腰三角形。‎ ‎8．（2009年新疆）如图是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形，两直角边长分别是，斜边长为和一个边长为的正方形，请你将它们拼成一个能证明勾股定理的图形．‎ ‎（1）画出拼成的这个图形的示意图．‎ ‎（2）证明勾股定理．‎ c b a c b a c b a c b a c c ‎【关键词】勾股定理的验证 ‎【答案】方法一解：（1）如图 a b c c c c b b b a a a a b c ‎（2）证明：大正方形的面积表示为,大正方形的面积也可表示为,，，．即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．‎ 方法二解：（1）如图 ‎（2）证明：大正方形的面积表示为：，又可以表示为：,，，．即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．‎ ‎9．(2009年牡丹江市)有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长．‎ ‎【关键词】勾股定理的应用 ‎【答案】在中，由勾股定理有：，扩充部分为扩充成等腰应分以下三种情况：①如图1，当时，可求,得的周长为‎32m．②如图2，当时，可求,由勾股定理得：,得的周长为③如图3，当为底时，设则由勾股定理得：,得的周长为 A D C B A D B C A D B C 图1‎ 图2‎ 图3‎ ‎10．（2009白银市）如图13，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，D为AB边上一点，求证：‎ ‎（1）；（2）．‎ ‎【关键词】全等三角形的判定、勾股定理 ‎【答案】27．证明:（1） ∵ ，‎ ‎∴ ．‎ 即 ‎ ‎∵ ， ‎ ‎∴ △ACE≌△BCD ‎（2）∵ 是等腰直角三角形，‎ ‎∴ ．‎ ‎∵ △ACE≌△BCD， ∴ ．‎ ‎∴ ．‎ ‎∴ ．‎ 由（1）知AE＝DB，‎ ‎11．（2009年衡阳市）如图，△ABC中，AB＝AC，AD、AE分别是∠BAC和∠‎ BAC和外角的平分线，BE⊥AE．‎ ‎（1）求证：DA⊥AE；‎ ‎（2）试判断AB与DE是否相等？并证明你的结论．‎ ‎ 【关键词】等腰三角形、矩形 A B C D E F ‎ ‎ ‎【答案】解：（1）证明：‎ ‎（2）AB＝DE，理由是：‎ ‎12．（山东省临沂市）‎ 如图，A，B是公路l（l为东西走向）两旁的两个村庄，A村到公路l的距离AC＝‎1km，B 村到公路l的距离BD＝‎2km，B村在A村的南偏东方向上．‎ ‎（1）求出A，B两村之间的距离；‎ ‎（2）为方便村民出行，计划在公路边新建一个公共汽车站P，要求该站到两村的距离相等，请用尺规在图中作出点P的位置（保留清晰的作图痕迹，并简要写明作法）．‎ 北 东 B A C D l 解：（1）方法一：设与的交点为，根据题意可得．‎ 和都是等腰直角三角形．‎ ‎，．‎ 两村的距离为（km）．‎ 方法二：过点作直线的平行线交的延长线于．‎ 易证四边形是矩形，‎ ‎．‎ 在中，由，可得．‎ ‎（km）两村的距离为km．‎ B A C D l N M O P ‎（2）作图正确，痕迹清晰．‎ 作法：①分别以点为圆心，以大于的长为 半径作弧，两弧交于两点，‎ 作直线；‎ ‎②直线交于点，点即为所求． （7分 ‎13．‎ ‎（四川省泸州市）在某段限速公路BC上(公路视为直线)，交通管理部门规定汽车的最高行驶速度不能超过60千米／时 (即米／秒)，并在离该公路‎100米处设置了一个监测点A．在如图8所示的直角坐标系中，点A位于轴上，测速路段BC在轴上，点B在A的北偏西60°方向上，点C在A的北偏东45°方向上，另外一条高等级公路在轴上，AO为其中的一段．‎ ‎(1)求点B和点C的坐标；‎ ‎(2)一辆汽车从点B匀速行驶到点C所用的时间是15秒，通过计算，判断该汽车在这段限速路上是否超速?(参考数据：)‎ ‎(3)若一辆大货车在限速路上由C处向西行驶，一辆小汽车在高等级公路上由A处向北行驶，设两车同时开出且小汽车的速度是大货车速度的2倍，求两车在匀速行驶过程中的最近距离是多少?‎ 解：在RtΔAOB中，OA＝100,∠BAO＝60°‎ 所以OB＝OA·tan∠BAO＝100．‎ RtΔAOC中,∠CAO＝45°‎ 所以OC＝OA＝100,‎ 所以B(-100,0),C（100，0）‎ ‎（2）BC＝BO+CO＝100+100,‎ ‎18>,‎ 所以这辆车超速了。‎ ‎（3）高大货车行驶到某一时刻行驶了x米，则此时小汽四行驶 了2x米，且两车的距离为 ‎＝‎ 当x＝60时，y有最小值是米，‎ 答：两四相距的最近距离为米．‎ ‎14．（2009年重庆）作图，请你在下图中作出一个以线段AB为一边的等边．（要求：用尺规作图，并写出已知、求作，保留作图痕迹，不写作法和结论）‎ A B ‎19题图 已知：‎ 求作：‎ ‎【关键词】等边三角形, 尺规作图 ‎【答案】‎ 解：已知：线段．‎ 求作：等边．‎ 作图如下：（注：每段弧各1分，连接线段各1分）‎ A B C ‎15．（2009年重庆）已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，DE⊥AC于点F，交BC于点G，交AB的延长线于点E，且．‎ ‎（1）求证：；（2）若，求AB的长．‎ D C E B G A F ‎【关键词】勾股定理、直角三角形性质、等腰三角形性质和全等三角形的判定方法 ‎【答案】（1）证明：于点，‎ ‎．‎ ‎，．‎ 连接，‎ AG＝AG,AB＝AF，．．‎ ‎（2）解：∵AD＝DC,DF⊥AC，‎ ‎．．，．‎ ‎．‎ D C E B G A F ‎16．（2009年广西钦州）已知：如图2，⊙O1与坐标轴交于A（1，0）、B（5，0）两点，点O1的纵坐标为．求⊙O1的半径．‎ ‎【关键词】垂径定理、勾股定理 ‎【答案】‎ 解：过点O1作O‎1C⊥AB，垂足为C，‎ 则有AC＝BC．‎ 由A（1，0）、B（5，0），得AB＝4，∴AC＝2．‎ 在中，∵O1的纵坐标为，‎ ‎∴O‎1C＝．‎ ‎∴⊙O1的半径O‎1A＝＝3．‎ ‎17．(2009年甘肃定西)如图13，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，D为AB边上一点，求证：（1）；（2）．‎ ‎【关键词】全等三角形、勾股定理 ‎【答案】证明:（1） ∵ ，‎ ‎∴ ．‎ 即 ．‎ ‎∵ ， ‎ ‎∴ △ACE≌△BCD．‎ ‎（2）∵ 是等腰直角三角形，‎ ‎∴ ．‎ ‎∵ △ACE≌△BCD， ∴ ．‎ ‎∴ ．‎ ‎∴ ．‎ 由（1）知AE＝DB，‎ ‎∴ ．‎ ‎18．（2009年莆田）已知：等边的边长为．‎ 探究（1）：如图１，过等边的顶点依次作的垂线围成求证：是等边三角形且； ‎ 探究（2）：在等边内取一点，过点分别作垂足分别为点 ‎ ‎①如图2，若点是的重心，我们可利用三角形面积公式及等边三角形性质得到两个正确结论（不必证明）：结论1．；结论2．；‎ ‎②如图3，若点是等边内任意一点，则上述结论是否仍然成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由．‎ N M A G C B A F C E B D A F C E B D ‎（图1）‎ ‎（图2）‎ ‎（图3）‎ O A F C E B D ‎（图4）‎ O O ‎【关键词】等边三角形 证明：如图1，为等边三角形 ‎∴‎ N M A G C B ‎（图1）‎ 同理：为等边三角形．‎ 在中，‎ 在中，‎ ‎（2）：结论1成立．‎ A F C E B D ‎（图2）‎ O H 证明；方法一：如图2，连接 由＝ ‎ 作垂足为，‎ 则 方法二：如图3，过点作分别交于点，过点 作于点，‎ 是等边三角形 四边形是矩形 在中，‎ A F C E B D O M H G 在中，‎ 在中，‎ ‎ ‎ A F C E B D O M G N ‎（2）结论2成立．‎ 证明：方法一：如图４，过顶点依次作边的垂线围成由（1）得为等边三角形且 过点分别作于,于于点于点 由结论1得： ‎ 又 四边形为矩形 同理：，‎ 方法二：（同结论1方法二的辅助线）‎ A F C E B D ‎（图3）‎ O M H G 在中，‎ 在中，‎ 同理：‎ ‎＝‎ ‎＝‎ 由结论1得：‎ A F C E B D ‎（图5）‎ O 方法三：如图5，连接，根据勾股定理得：‎ ‎：‎ 整理得：‎ ‎ 12分 ‎20．(2009年南充)如图8，半圆的直径，点C在半圆上，．‎ ‎（1）求弦的长；‎ ‎（2）若P为AB的中点，交于点E，求的长．‎ P B C E A ‎【关键词】圆的性质，三角形相似的性质 ‎【答案】解：是半圆的直径，点在半圆上，‎ ‎．‎ 在中， ‎ ‎（2），‎ ‎．，‎ ‎．‎ 又，‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎19．(2009年湖州)如图，在平面直角坐标系中，直线∶＝分别与轴，轴相交于两点，点是轴的负半轴上的一个动点，以为圆心，3为半径作．‎ ‎（1）连结，若，试判断与轴的位置关系，并说明理由；‎ ‎（2）当为何值时，以与直线的两个交点和圆心为顶点的三角形是正三角形？‎ B A O x l y P A O x l y ‎（备用图）‎ ‎【关键词】直线与圆的位置关系，相切的判定，正三角形的性质，相似的性质 ‎【答案】‎ 第（1）题 B A O x l y P B A O x l y C E D P1‎ P2‎ 第（2）题 解：（1）与轴相切．‎ 直线与轴交于，与轴交于，‎ ‎，‎ 由题意，．‎ 在中，，‎ 等于的半径，与轴相切． ‎ ‎（2）设与直线交于两点，连结．‎ 当圆心在线段上时，作于．‎ 为正三角形，．‎ ‎，‎ 即，‎ ‎，‎ ‎．‎ 当圆心在线段延长线上时，同理可得，‎ ‎，‎ ‎ 当或时，以与直线的两个交点和圆心为顶点的三角形是正三角形．‎ ‎20．(2009年湖州)若P为所在平面上一点，且，则点叫做的费马点．‎ ‎（1）若点为锐角的费马点，且，则的值为________；‎ ‎（2）如图，在锐角外侧作等边′连结′．‎ 求证：′过的费马点，且′＝．‎ A C B ‎【关键词】阅读理解题，等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，综合题 ‎【答案】（1）2． ‎ ‎（2）‎ A C B P E 证明：在上取点，使，‎ 连结，再在上截取，连结．‎ ‎，‎ 为正三角形，‎ ‎＝，‎ 为正三角形，‎ ‎＝，‎ ‎＝，‎ ‎′，‎ ‎．‎ ‎，‎ ‎，‎ 为的费马点，‎ 过的费马点，且＝+．‎ ‎21．(2009年温州)如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．0为BC边上一点，以0为圆心，OB为半径作半圆与BC边和AB边分别交于点D、点E，连结DE． ’‎ ‎ (1)当BD＝3时，求线段DE的长；‎ ‎ (2)过点E作半圆O的切线，当切线与AC边相交时，设交点为F．求证：△FAE是等腰三角形．‎ ‎【关键词】直角三角形、圆的性质，相似的判定，切线的性质，等腰三角形的判定 ‎【答案】解：（1）∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，‎ ‎∴AB＝5，‎ ‎∵DB为直径，‎ ‎∴∠DEB＝∠C＝90°，‎ 又∵∠B＝∠B ，∴△DBE∽△ABC ‎∴ 即 ‎∴DE＝。‎ ‎（2）解法一：连结OE，‎ ‎∵EF为半圆O的切线，‎ ‎∴∠DEO+∠DEF＝90°，‎ ‎∵∠AEF+∠DEF＝90°，‎ ‎∴∠AEF＝∠DEO，‎ ‎∵△DBE∽△ABC，‎ ‎∴∠A＝∠EDB，‎ 又∵∠EDO＝∠DEO，‎ ‎∴∠AEF＝∠A，‎ ‎∴△FAE是等腰三角形。‎ 解法二：连结OE，‎ ‎∵EF为半圆O的切线，‎ ‎∴∠AEF+∠OEB＝90°，‎ ‎∵∠C＝90°，‎ ‎∴∠A+∠B＝90°，‎ ‎∵OE＝OB ‎∴∠OEB＝∠B，‎ ‎∴∠AEF＝∠A ‎∴△FAE是等腰三角形。‎ ‎22．（2009临沂）如图，A，B是公路l（l为东西走向）两旁的两个村庄，A村到公路l的距离AC＝‎1km，B村到公路l的距离BD＝‎2km，B村在A村的南偏东方向上．‎ ‎（1）求出A，B两村之间的距离；‎ ‎（2）为方便村民出行，计划在公路边新建一个公共汽车站P，要求该站到两村的距离相等，请用尺规在图中作出点P的位置（保留清晰的作图痕迹，并简要写明作法）．‎ 北 东 B A C D l ‎【关键词】等腰直角三角形的性质，勾股定理，尺规作图 ‎【答案】解：（1）方法一：设与的交点为，根据题意可得．‎ 和都是等腰直角三角形．‎ ‎，．‎ 两村的距离为（km）．‎ 方法二：过点作直线的平行线交的延长线于．‎ 易证四边形是矩形，‎ ‎．‎ 在中，由，可得．‎ ‎（km）‎ 两村的距离为km．‎ ‎（2）作图正确，痕迹清晰．‎ B A C D l N M O P 作法：①分别以点为圆心，以大于的长为 半径作弧，两弧交于两点，‎ 作直线；‎ ‎②直线交于点，点即为所求．‎ ‎1．（2009年中山）如图所示，是等边三角形， 点是的中点，延长到，使，‎ ‎（1）用尺规作图的方法，过点作，垂足是（不写作法，保留作图痕迹）；‎ ‎（2）求证：．‎ ‎【关键词】等腰三角形，等边三角形 ‎【答案】解：（1）作图见下图，‎ A C B D E M ‎（2）是等边三角形，是的中点，‎ 平分（三线合一），‎ ‎．‎ ‎，‎ ‎．‎ 又，‎ ‎．‎ 又，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎．‎ 又，‎ ‎．‎ ‎23．（2009年牡丹江）有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长．‎ ‎【关键词】等腰三角形，勾股定理 ‎【答案】在中，‎ 由勾股定理有：，扩充部分为扩充成等腰应分以下三种情况．‎ ‎ ①如图1，当时，可求 ‎ 得的周长为‎32m．‎ ‎②如图2，当时，可求 由勾股定理得：，得的周长为 ‎③如图3，当为底时，设则 由勾股定理得：，得的周长为 A D C B A D B C A D B C 图1‎ 图2‎ 图3‎ ‎24．(2009年宁德市)（本题满分13分）如图，已知抛物线C1：的顶点为P，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左边），点B的横坐标是1．‎ ‎（1）求P点坐标及a的值；（4分）‎ ‎（2）如图（1），抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为C3，C3的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求C3的解析式；（4分）‎ ‎（3）如图（2），点Q是x轴正半轴上一点，将抛物线C1绕点Q旋转180°后得到抛物线C4．抛物线C4的顶点为N，与x轴相交于E、F两点（点E在点F的左边），当以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q的坐标．（5分）‎ y x A O B P N 图2‎ C1‎ C4‎ Q E F 图（2）‎ y x A O B P M 图1‎ C1‎ C2‎ C3‎ 图（1）‎ ‎【关键词】二次函数,勾股定理的运用 y x A O B P M 图(1)‎ C1‎ C2‎ C3‎ H G 解：（1）由抛物线C1：得 顶点P的为（-2，-5） ‎ ‎∵点B（1，0）在抛物线C1上 ‎∴‎ ‎ 解得，a＝ ‎ ‎（2）连接PM，作PH⊥x轴于H，作MG⊥x轴于G ‎∵点P、M关于点B成中心对称 ‎∴PM过点B，且PB＝MB ‎∴△PBH≌△MBG ‎∴MG＝PH＝5，BG＝BH＝3‎ ‎∴顶点M的坐标为（4，5） ‎ ‎ 抛物线C2由C1关于x轴对称得到，抛物线C3由C2平移得到 ‎∴抛物线C3的表达式为 ‎ ‎（3）∵抛物线C4由C1绕点x轴上的点Q旋转180°得到 ‎∴顶点N、P关于点Q成中心对称 ‎ 由（2）得点N的纵坐标为5‎ 设点N坐标为（m，5） ‎ y x A O B P N 图(2)‎ C1‎ C4‎ Q E F H G K ‎ ‎ ‎ 作PH⊥x轴于H，作NG⊥x轴于G ‎ 作PK⊥NG于K ‎ ∵旋转中心Q在x轴上 ‎∴EF＝AB＝2BH＝6‎ ‎ ∴FG＝3，点F坐标为（m+3，0）‎ ‎ H坐标为（2，0），K坐标为（m，-5），‎ 根据勾股定理得 ‎ PN2＝NK2+PK2＝m2+‎4m+104‎ ‎ PF2＝PH2+HF2＝m2+‎10m+50‎ ‎ NF2＝52+32＝34 ‎ ‎ ①当∠PNF＝90º时，PN2+ NF2＝PF2，解得m＝，∴Q点坐标为（，0） ‎ ‎②当∠PFN＝90º时，PF2+ NF2＝PN2，解得m＝，∴Q点坐标为（，0）‎ ‎③∵PN＞NK＝10＞NF，∴∠NPF≠90º 综上所得，当Q点坐标为（，0）或（，0）时，以点P、N、F为顶点 的三角形是直角三角形． ‎ ‎ ‎ ‎25．(2009年河北)图10是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，CD∥AB，且CD ＝ ‎24 m，‎ OE⊥CD于点E．已测得sin∠DOE ＝ ．‎ ‎（1）求半径OD；‎ ‎（2）根据需要，水面要以每小时0．‎5 m的速度下降，则经过多长时间才能将水排干？‎ A O B 图10‎ E C D ‎ ‎ ‎【关键词】解直角三角形,勾股定理,‎ 解：（1）∵OE⊥CD于点E，CD＝24，‎ ‎∴ED ＝＝12．‎ ‎ 在Rt△DOE中，‎ ‎∵sin∠DOE ＝ ＝，‎ ‎∴OD ＝13（m）． ‎ ‎ （2）OE＝‎ ‎＝．‎ ‎ ∴将水排干需：‎ ‎5÷0．5＝10（小时）． ‎ ‎26．(2009年潍坊)在四边形中，，且．取的中点，连结．‎ ‎（1）试判断三角形的形状；‎ ‎（2）在线段上，是否存在点，使．若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由．‎ P D C B A 解：（1）在四边形中，，，‎ 四边形为直角梯形（或矩形）．‎ 过点作，垂足为，，‎ 又点是的中点，点是的中点，‎ 又，‎ ‎， ‎ 与是全等的等腰直角三角形，‎ ‎，‎ 是等腰直角三角形． ‎ ‎（2）存在点使． ‎ 以为直径，为圆心作圆．‎ 当时，四边形为矩形，，‎ 圆与相切于点，此时，点与点重合，存在点，使得，‎ 此时． ‎ 当时，四边形为直角梯形，‎ ‎，，圆心到的距离小于圆的半径，圆与相交，上存在两点，使， ‎ 过点作，在中，，‎ 连结，则，‎ 在直角三角形中，，‎ ‎．‎ 同理可得：．‎ 综上所述，在线段上存在点，使．‎ 当时，有一点，；当时，有两点，． ‎ P D C B A Q E M2‎ M1‎ ‎27．（09湖北宜昌）已知：如图， AF平分∠BAC，BC⊥AF， 垂足为E，点D与点A关于点E对称，PB分别与线段CF， AF相交于P，M．‎ ‎(1)求证：AB＝CD；‎ ‎(2)若∠BAC＝2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD 的数量关系，并说明理由． ‎ ‎【关键词】全等三角形的性质与判定、等腰三角性的性质 ‎【答案】解：(1)证明：∵AF平分∠BAC， ‎ ‎ ∴∠CAD＝∠DAB＝∠BAC．‎ ‎∵D与A关于E对称，∴E为AD中点．‎ ‎∵BC⊥AD，∴BC为AD的中垂线，∴AC＝CD． ‎ 在Rt△ACE和Rt△ABE中，注：证全等也可得到AC＝CD ‎∠CAD+∠ACE＝∠DAB+∠ABE＝90°， ∠CAD＝∠DAB．‎ ‎∴∠ACE＝∠ABE，∴AC＝AB． 注：证全等也可得到AC＝AB ‎∴AB＝CD． ‎ ‎ ‎ ‎(2)∵∠BAC＝2∠MPC， 又∵∠BAC＝2∠CAD，∴∠MPC＝∠CAD．‎ ‎∵AC＝CD，∴∠CAD＝∠CDA， ∴∠MPC＝∠CDA． ‎ ‎∴∠MPF＝∠CDM． ‎ ‎∵AC＝AB，AE⊥BC，∴CE＝BE． 注：证全等也可得到CE＝BE ‎∴AM为BC的中垂线，∴CM＝BM． 注：证全等也可得到CM＝BM ‎∵EM⊥BC，∴EM平分∠CMB，(等腰三角形三线合一) ‎ ‎∴∠CME＝∠BME． 注：证全等也可得到∠CME＝∠BME ‎ ‎∵∠BME＝∠PMF，‎ ‎∴∠PMF＝∠CME， ‎ ‎∴∠MCD＝∠F(三角形内角和)． 注：证三角形相似也可得到∠MCD＝∠F ‎28．（09湖南怀化）如图12，在直角梯形OABC中， OA∥CB，A、B两点的坐标分别为A（15，0），B（10，12），动点P、Q分别从O、B两点出发，点P以每秒2个单位的速度沿OA向终点A运动，点Q以每秒1个单位的速度沿BC向C运动，当点P停止运动时，点Q也同时停止运动．线段OB、PQ相交于点D，过点D作DE∥OA，交AB于点E，射线QE交轴于点F．设动点P、Q运动时间为t（单位：秒）．‎ ‎（1）当t为何值时，四边形PABQ是等腰梯形，请写出推理过程；‎ ‎（2）当t＝2秒时，求梯形OFBC的面积；‎ ‎（3）当t为何值时，△PQF是等腰三角形？请写出推理过程．‎ ‎【关键词】一元二次方程解法及应用、勾股定理及逆定理、等腰三角形、等腰梯形的判定 ‎【答案】‎ 解：（1）如图4，过B作 则 过Q作 则 要使四边形PABQ是等腰梯形，则，‎ 即或（此时是平行四边形，不合题意，舍去）‎ ‎（2）当时，。‎ ‎（3）①当时，则 ‎②当时，‎ 即 ‎③当时， ‎ 综上，当时，△PQF是等腰三角形． ‎ ‎29．（09湖南邵阳）如图，在梯形中，，，，将延长至点，使．‎ ‎（1）求的度数；‎ ‎（2）求证：为等腰三角形．‎ D A F B C ‎【关键词】等腰三角性的性质与判定、等腰梯形的性质 ‎【答案】（1）‎ ‎．‎ 在中，‎ ‎；‎ ‎（2）连接．在梯形中，，，‎ 在四边形中，‎ 四边形是平行四边形，，‎ ‎，即为等腰三角形．‎ ‎【关键词】直角三角形的有关计算、勾股定理 ‎【答案】C ‎30．（2009年湖北十堰市）如图，在一次数学课外活动中，小明同学在点P处测得教学楼A位于北偏东60°方向，办公楼B位于南偏东45°方向．小明沿正东方向前进‎60米到达C处，此时测得教学楼A恰好位于正北方向，办公楼B正好位于正南方向．求教学楼A与办公楼B之间的距离（结果精确到0．‎1米）．‎ ‎（供选用的数据：≈1．414，≈1．732）‎ ‎【关键词】直角三角形的有关计算、测量问题、勾股定理 ‎【答案】解：由题意可知 ‎ ∠ACP＝ ∠BCP＝ 90°，∠APC＝30°，∠BPC＝45°…2分 在Rt△BPC中，∵∠BCP＝90°，∠BPC＝45°，∴‎ 在Rt△ACP中，∵∠ACP＝90°，∠APC＝30°，∴ ‎ ‎∴‎ ‎≈60+20×1．732 ＝94．64≈94．6(米) ‎ 答：教学楼A与办公楼B之间的距离大约为94．‎6米．‎ 说明：（1）其它解法请参照上述评分说明给分；（2）不作答不扣分．‎ ‎31．(2009年达州)如图10，⊙O的弦AD∥BC,过点D的切线交BC的延长线于点E，AC∥DE交BD于点H，DO及延长线分别交AC、BC于点G、F．‎ ‎(1)求证：DF垂直平分AC；‎ ‎（2）求证：FC＝CE；‎ ‎（3）若弦AD＝5㎝，AC＝8㎝，求⊙O的半径． ‎ ‎【关键词】圆,平行四边形,勾股定理 ‎【答案】‎ ‎（1）∵DE是⊙O的切线，且DF过圆心O ‎∴DF⊥DE 又∵AC∥DE ‎∴DF⊥AC ‎∴DF垂直平分AC ‎ ‎（2）由（1）知：AG＝GC 又∵AD∥BC ‎∴∠DAG＝∠FCG 又∵∠AGD＝∠CGF ‎∴△AGD≌△CGF（ASA）‎ ‎∴AD＝FC ‎∵AD∥BC且AC∥DE ‎∴四边形ACED是平行四边形 ‎∴AD＝CE ‎∴FC＝CE5分 ‎（3）连结AO； ∵AG＝GC，AC＝‎8cm，∴AG＝‎‎4cm 在Rt△AGD中，由勾股定理得 GD＝AD2-AG2＝52-42＝‎3cm ‎ 设圆的半径为r，则AO＝r，OG＝r-3‎ 在Rt△AOG中，由勾股定理得 AO2＝OG2+AG2‎ 有：r2＝(r-3)2+42解得 r＝256 ‎ ‎∴⊙O的半径为‎256cm．‎ ‎32．（2009年广东省）如图所示，是等边三角形，点是的中点，延长到，使．‎ ‎（1）用尺规作图的方法，过点作，垂足是（不写作法，保留作图痕迹）；‎ ‎（2）求证：．‎ A B C E D ‎【关键词】等边三角形；线段和角的概念、性质、画法及有关计算 ‎【答案】解：（1）作图如下图，‎ A B E D C M ‎（2）是等边三角形，是的中点 平分（三线合一），‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 又 ‎，‎ 又，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 又，‎ ‎33．（2009 黑龙江大兴安岭）在边长为4和6的矩形中作等腰三角形，使等腰三角形的一条边是矩形的长或宽，第三个顶点在矩形的边上，求所作三角形的面积．‎ ‎（注：形状相同的三角形按一种计算．）‎ ‎【关键词】等腰三角形 ‎【答案】． 面积是12,面积是8和12‎ ‎34．（2009年崇左）如图，在等腰梯形中，已知，，延长到，使．‎ ‎（1）证明：；‎ D A B E C F ‎（第24题）‎ ‎（2）如果，求等腰梯形的高的值．‎ ‎【关键词】在等腰梯形性质进行转化。‎ ‎【答案】‎ ‎（1）证明：．‎ 又四边形是等腰梯形，，‎ ‎．‎ ‎．‎ ‎（2）四边形是平行四边形，‎ ‎．‎ ‎．‎ 由（1）可知，，．‎ 所以，是等腰直角三角形，即，‎ ‎．‎ 四边形是等腰梯形，而，‎ ‎．‎ ‎．‎ ‎（2009龙岩）阅读下列材料：‎ 正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫格点三角形．‎ 数学老师给小明同学出了一道题目：在图正方形网格（每个小正方形边长为1）中画出格点△ABC，使，；‎ 小明同学的做法是：由勾股定理，得，，于是画出线段AB、AC、BC，从而画出格点△ABC．‎ ‎（1）请你参考小明同学的做法，在图23－2正方形网格（每个小正方形边长为1）中画出格点△（点位置如图所示），使＝＝5，．（直接画出图形，不写过程）；‎ ‎（2）观察△ABC与△的形状，猜想∠BAC与∠有怎样的数量关系，并证明你的猜想．‎ C B A ‎【关键词】等腰三角形 ‎【答案】（1）正确画出△‎ ‎（画出其中一种情形即可）‎ ‎ （2）猜想：∠BAC ＝∠ ‎ 证明：∵，；‎ ‎∴，‎ ‎∴△ABC ∽ △，‎ ‎∴∠BAC ＝∠ ‎