2012年吉林中考数学试卷

2012年吉林中考数学试卷

吉林省2012年中考数学试题（解析版）‎ 一．单项选择题（每小题2分，共12分）‎ ‎1.在四个数0，-2，-1，2中，最小的数是 ‎（A）0. （B）-2. (C) -1 (D)2‎ ‎[答案]B。‎ ‎[考点]有理数大小的比较。 ‎ ‎[解析] 根据正数大于负数，负数都小于0，两个负数之间，绝对值大的这个数反而小可得正确答案。所以选B ‎2. 如图，由5个完全相同的小正方形组合成一个立体图形，它的俯视图是 ‎[答案]A。‎ ‎[考点]三视图 ‎ ‎[解析]俯视图是在水平面上由上向下观察物理的图形，所以选A。 ‎ ‎3.下列计算正确的是 ‎ (A)； (B)； (C)； (D) ．‎ ‎[答案] .‎ ‎[考点] 整式的加减：合并同类项；整式的乘法：同底数幂的乘法；乘法公式：完全平方公式. ‎ ‎[解析] 合并同类项：只把同类项的系数相加，所得的结果作为系数字母和字母的指数不变.‎ 所以是正确的，故选.‎ ‎ 验证：；同底数的幂相乘，底数不变，指数相加，所以，；完全平方公式：两数和的平方，等于它们的平方和加它们积的2倍，即：.所以，都是错的.‎ ‎4.如图，在中，，，、分别是、上的点，且,则的度数为 ‎(A)40° (B)60° (C) 80° (D)120°‎ ‎[答案] .‎ ‎[考点] 平行线的性质；三角形的内角和.‎ ‎[解析] 由三角形的三个内角和为，可得 ；‎ 又两直线平行，同位角相等，所以，由，可得，，所以21世纪教育网 解：在中，‎ ‎ 又，，所以，故选.‎ ‎5.如图，菱形的顶点在轴上，顶点的坐标为（-3，2）．若反比例函数（）的图像经过点，则的值为 ‎(A) -6. (B) -3. (C) 3. (D) 6. ‎ ‎[答案] .‎ ‎[考点] 菱形的性质.直角坐标系内点的点与曲线方程的关系，求反比例函数中的待定系数.‎ ‎[解析] 如图，因为菱形的两条对角线互相垂直平分，又在轴上，所以顶点、关于轴对称，已知的坐标为（-3，2），所以的坐标为（3，2）‎ ‎ 反比例函数（）的图像经过点，则，故选.‎ ‎ 6. 某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同．设原计划每天生产x台机器，则可列方程为 ‎ . . . ‎ ‎[答案] .‎ ‎[考点] 分式方程运用：列分式方程.‎ ‎[解析] 因为原计划每天生产台机器，现在平均每天比原计划多生产50台，所以，现在生产600台机器所需时间是天，原计划生产450台机器所需时间是天，故选.‎ 二．填空题（每小题3分，共24分）‎ ‎7.计算：=_ ____. ‎ ‎[答案] .‎ ‎[考点] 二次根式：最简二次根式，根式的运算.‎ ‎[解析] 根式的运算顺序：先把各根式化为最简根式，然后合并同类根式.‎ 解：原式.‎ ‎8.不等式的解集为__________.‎ ‎[答案] .‎ ‎[考点] 不等式：解一元一次不等式.‎ ‎[解析] 解一元一次不等式类似解一元一次方程，即把含未知数的项移到一边，数字项移到另一边，然后系数化1，但注意如果在不等式两边同时乘或除以一个负数，要把不等号改变方向.‎ 解：移项得：‎ 合并得： ‎ 所以原不等式的解集为.‎ ‎9.若方程，的两个根为，则=______. ‎ ‎[答案].‎ ‎[考点] 一元二次方程：解一元二次方程，一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）.‎ ‎[解析] 本题给出的一元二次方程较为简单，可直接求解，再求其差；也可利用根与系数的关系求出所需.常用的关系式有：，，学习中还可由求根公式总结出：‎ 解：[方法一]，.‎ ‎ [方法二] 由根与系数的关系得：‎ ‎10. 若甲，乙两个芭蕾舞团参加演出的女演员人数相同，平均身高相同，身高的方差分别为=1.5，=2.5，则______芭蕾舞团参加演出的女演员身高更整齐（填“甲”或“乙”）．‎ ‎[答案] 甲.‎ ‎[考点] 数据的分析：数据的波动：方差.‎ ‎[解析] 方差越大，数据的波动性越大；方差越小，数据的波动性越小.两组平均数相同的数据，方差小的说明身高的整齐度高，所以甲芭蕾舞团参加演出的女演员身高更整齐.‎ ‎11.如图，是上的三点，．，则 度．‎ ‎[答案] .[来源:21世纪教育网]‎ ‎[考点] 等腰三角形的性质；圆：圆内同弧所对的圆周角与圆心角的关系（圆周角定理）.‎ ‎[解析] 利用等腰三角形两底角相等，圆内同弧所对的圆周角都等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求解.‎ 解：如图，在中，，，.‎ 又是对的圆周角，是对的圆心角 ‎ ‎ ‎12. 如图，在中，，，,以点为圆心，长为半径画弧，交于点，则______.‎ ‎[答案] .‎ ‎[考点] 圆：圆内半径外外相等；直角三角形：勾股定理.‎ ‎[解析] 如图，、为半径，.再由勾股定理：勾三股四弦五得，.‎ ‎13.如图，是的直径，是的切线，，点在边上，则的度数可能为 （写出一个符合条件的度数即可）．‎ ‎[答案] .‎ ‎[考点] 圆：圆的切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点半径（或直径），直角三角形：直角三角形的两个锐角互余 .‎ ‎[解析] 由圆的切线垂直于过切点半径（或直径），，再由直角三角形的两个锐角互余，，所以 ，故只要写出在到间的一个角即可.‎ ‎14.如图，在等边中，是边上的一点，连接,将绕点逆时针旋转，得到，连接，若，，则的周长是______.‎ ‎[答案] .‎ ‎[考点] 图形的旋转：旋转前、后的图形全等；正三角形，三角形周长.‎ ‎[解析] 由.‎ ‎ .‎ ‎ 又，，，‎ ‎ 是正三角形.‎ ‎ 的周长：‎ 三．解答题（每小题5分，共20分）‎ ‎15.先化简，再求值：，其中,.‎ ‎[答案] .‎ ‎[考点] 化简求值. .‎ ‎[解析] 利用平方差公式，先作整式乘法运算，合并同类项，将原式化简，然后求值.‎ 解：，‎ ‎ ,时，原式.‎ ‎16.如图，在东北大秧歌的踩高跷表演中，已知演员身高是高跷长度的倍，高跷与腿重合部分的长度是，演员踩在高跷上时，头顶距离地面的高度为．设演员的身高为，高跷的长度为，求,的值．‎ ‎[答案] 的值为，的值为.‎ ‎[考点] 实际问题与二元一次方程组 .‎ ‎[解析] 找出能够表示应用题全部题意的两个相等关系，列出代数式，从而列出两个方程并组成方程组求解 .‎ 解：依题意得方程组：，解得：‎ ‎ 所以，的值为，的值为.‎ ‎17.如图，有一游戏棋盘和一个质地均匀的正四面体骰子（各面依次标有，四个数字）．游戏规则是游戏者每投掷一次骰子，棋子按骰子着地一面所示的数字前进相应的格数．例如；若棋子位于 处，游戏者所投掷骰子着地一面所示数字为，则棋子由处前进个方格到达处．请用画树形图法（或列表法）求投掷骰子两次后，棋子恰好由处前进个方格到达处的概率．‎ ‎[答案] .‎ ‎[考点] 概率初步：随机事件与概率：用列举法（列表法或画树形图法）求概率.‎ ‎[解析] 为不重复不遗漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法或用画树形图法求随机事件发生的概率.在一次试验次所有可能的结果中，事件件出现次的概率为 ‎ [列表法] 在这次游戏中，投掷骰子两次，棋子恰好由处前进个方格到达处，即，两次投掷骰子着地一面所示数字和为.而所有可能的结果列表如下：‎ 第二次 二次和 第一次 一 二 三 四 一 ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 二 ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ 三 ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ 四 ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 由表容易看出：投掷骰子两次，所有可能的结果有种，而棋子恰好由处前进个方格到达处的结果为种，所以：（棋子恰好由处前进个方格到达处）.‎ ‎ [画树形图法] 在这次游戏中，投掷骰子两次，棋子恰好由处前进个方格到达处，即，两次投掷骰子着地一面所示数字和为.而所有可能的结果画树图如下：‎ 由图容易看出：投掷骰子两次，所有可能的结果有种，而棋子恰好由处前进个方格到达处的结果为种，所以：（棋子恰好由处前进个方格到达处）.‎ ‎18.在如图所示的三个函数图像中，有两个函数图像能近似地刻画如下、两个情境：‎ 情境：小芳离开家不久，发现把作业本忘在家里，于是返回家里找到了作业本再去学校；‎ 情境：小芳从家出发，走了一段路程后，为了赶时间，以更快的速度前进．‎ ‎ （1）情境，所对应的函数图像分别为 , .(填写序号)；‎ （2） 请你为剩下的函数图像写出一个适合的情境．‎ ‎[答案]（1）；（2）小芳从家出发，到学校上学，放学回到了家.‎ ‎[考点] 函数的图象表示法.‎ ‎[解析] 从函数的图象能形象直观、清晰地呈现函数的一些性质.（1）情境：小芳离开家不久，发现把作业本忘在家里，于是返回家里找到了作业本再去学校，对应的函数图像为；情境：小芳从家出发，走了一段路程后，为了赶时间，以更快的速度前进，对应的函数图像为；（2）函数图像能近似地刻画为：小芳从家出发，到学校上学，放学回到了家.此问答案不为一，只要注意到是从家里出发，出去后有停留，然后返回到家，满足了这三条就行。‎ 四．解答题（每小题7分，共28分）‎ ‎19.在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点为，点关于原点的对称点为点．‎ ‎（1）若点的坐标为，请你在给出的坐标系中画出.设与轴的交点为， 则=________;‎ ‎（2）若点的坐标为,则的形状为_______.21世纪教育网 ‎[答案] （1）图形如图，；（2）为直角三角形.‎ ‎[考点] 轴对称：用坐标表示轴对称，关于原点对称，相似三角形的判定、性质.勾股定理的逆定理[来源:Zxxk.Com]‎ ‎[解析] （1）点的坐标为，关于轴的对称点的坐标为，点关于原点的对称点的坐标为，作出点、、、连得如图.又与轴的交点为，所以的坐标为，图中，；‎ （2） 由点的坐标为，关于轴的对称点的坐标为，点关于原点的对称点的坐标为，如图，图中：‎ ‎ 、、，‎ ‎ ，‎ ‎ 为直角三角形。‎ ‎20.如图，沿方向开山修一条公路，为了加快施工进度，要在小山的另一边寻找点E同时施工．从上的一点取，沿方向前进，取，测得，并且、和在同一平面内．‎ ‎(1)施工点离多远正好能使成一直线（结果保留整数）；‎ ‎(2)在(1)的条件下，若,求公路段的长（结果保留整数）‎ ‎ （参考数据：，，）‎ ‎[答案] （1）；（2）.‎ ‎[考点] 锐角三角函数：已知一边及一锐角解直角三角形.‎ ‎[解析]（1）在上，，，‎ ‎ 要使成一直线.只要.即.为直角三角形即可，此时，施工点离的距离为 ‎ .‎ ‎ （2）已知一边及一锐角解直角三角形，得 ‎ ‎ ‎21.为宣传节约用水，小明随机调查了某小区部分家庭5月份的用水情况，并将收集的数据整理成如下统计图．‎ ‎（1）小明一共调查了多少户家庭？‎ ‎（2）求所调查家庭5月份用水量的众数、平均数；‎ ‎（3）若该小区有400户居民，请你估计这个小区5月份的用水量．‎ ‎[答案]（1）20户.（2）4、4.5.（3）吨.‎ ‎[考点] 数据的分析：数据的代表：平均数、从数；数据的收集、整理与描述：统计调查，直方图：条形图：.‎ ‎[解析] （1）小明调查的家庭5月份用水量1吨、2吨、8吨的各有1户，6吨、7吨的各有2户，3吨的有3户，5吨的有4户，4吨的有6户，总户数：（户）‎ ‎（2）用水量4吨的有6户家庭，居最多，故众数为4吨.‎ 平均数数（吨）.‎ ‎（3）400户居民在5月份用水量约为：（吨）.‎ ‎22.如图，在中，，为边上一点，以、为邻边作平行四边形，连接，．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若,求证四边形是矩形．‎ ‎[考点] 等腰三角形:等腰三角形两底解相等；四边形：平行四边形的性质：平行四边形对边平行且相等；特殊平行四边形的判定：矩形的判定；全等三角形：全等三角形的判定（）.‎ ‎[解析] （1）如图（第22题（1））‎ ‎ 由 ‎ 又，在中，，‎ 所以，，，‎ 在和和中，‎ ‎ .‎ ‎（2）如图（第22题（2））‎ ‎ 由，‎ ‎ 又，在中，、‎ 所以，，，‎ 故，四边形是矩形．（有一个角是直角的平行四边形叫做矩形）‎ 五．解答题（每小题8分，共16分）‎ ‎23.如图，在扇形中，，半径．将扇形沿过点的直线折叠．点恰好落在上点处，折痕交于点，求整个阴影部分的周长和面积．‎ ‎[答案] 周长：；面积：.‎ ‎[考点] 图形的折叠：折叠前、后的图形全等；全等三角形的性质：全等三角形对应边相等，全等三角形对应角相等；圆：弧长和扇形面积：弧长，.正三角形的判定：三边相等的三角形是正三角形.正三角形的性质.锐角三角函数：解直角三角形.‎ ‎[解析] 如图（第23题），由折叠前、后的图形全等.所以，，‎ ‎，.又在扇形中，，半径．所以，，，的长.所以，‎ 整个阴影部分的周长的长.‎ 如图（第23题-1），连接扇形的半径，‎ 由正三角形，在中，，‎ 所以，整个阴影部分的面积 ‎24.如图1，为三个超市，在通往的道路（粗实线部分）上有一点，与有道路（细实线部分）相通．与，与，与之间的路程分别为，，．现计划在通往的道路上建一个配货中心,每天有一辆货车只为这三个超市送货．该货车每天从出发，单独为送货次，为送货次，为送货次．货车每次仅能给一家超市送货，每次送货后均返回配货中心.设到的路程为．这辆货车每天行驶的路程为.‎ (1) 用含x的代数式填空：‎ 当时，货车从到往返次的路程为.‎ 货车从到往返次的路程为_______.‎ 货车从到往返次的路程为_______.‎ 这辆货车每天行驶的路程__________.‎ 当时，‎ ‎ 这辆货车每天行驶的路程_________;‎ ‎(2)请在图2中画出与（）的函数图象；‎ ‎(3)配货中心建在哪段，这辆货车每天行驶的路程最短？‎ ‎[答案]（1），，，；（2）如图2-1；（3）.‎ ‎[考点] 一次函数：一次函数的运用：根据题意列出一次函数，确定自变量的取舍范围；作一次函数图象.‎ ‎[解析] 因为与之间的路程为，当时，在与路段上，如图（第24题图1-1），又，与之间的路程为，此时，‎ 货车从到往返次的路程为，从到往返次的路程为：.‎ 货车从与之间的路程为，到往返次的路程为：‎ ‎；‎ 这辆货车每天行驶的路程：.‎ 当时，在与路段上，如图（第24题图1-2），此时，货车从到往返次的路程为：，从到往返次的路程还是；这辆货车每天行驶的路程为：.‎ ‎ （2）由（1）得与（）的解析式为：‎ ‎ ‎ 描点作出相应图象如图（第24题图2-1）.；‎ ‎（3）由(1)(2)得知，当时，，所以，只要配货中心建在与之间（包括、）的路段上，这辆货车每天行驶的路程都是，为最短路程.‎ 六．解答题（每小题10分,共20分）．‎ ‎25.如图，在中，，,,动点从点出发，沿方向以的速度向点运动，动点从点同时出发，沿方向以的速度向点运动．当点到达点时，, 两点同时停止运动．以为一边向上作正方形，过点作，交于点.设点的运动时间为,正方形和梯形重合部分的面积为．‎ ‎(1)当_____s时，点与点重合；‎ ‎(2)当_____s时，点在上；‎ ‎(3)当点在,两点之间（不包括,两点）时，求与之间的函数关系式．‎ ‎[答案] (1) 1; (2) . (3) .‎ ‎[考点] 动点问题，一次函数、二次函数综合运用，数学分类讨论思想.‎ ‎[解析] (1) 因为动点从点出发，沿方向以的速度向点运动，动点从点同时出发，沿方向以的速度向点运动．,同时出发，运动速度都是，所以,运动到的中点时重合，，，此时 .‎ ‎(2) 如图（第25题-1），以为直角坐标系的原点，方向为轴的正方向，方向为轴的正方向，建立直角坐标系，则、、.‎ 设时刻时，点在上，因为正方形，所以、、、又在中，，,,.‎ 又，,在中，,,得过、的一次函数的解析式为：，由在上，所以的坐标满足的解析式，即：.‎ ‎ (3)因为由(1)知,在时相遇，所以，只有当时，点在,两点之间（不包括,两点），正方形和梯形重合部分随的位置变化有三种情况：在之间；在上；在之外.‎ ‎ 在之间；如图（第25题-2），此时，正方形和梯形重合部分为直角梯形，由(2)得：、、、过的一次函数的解析式为：、设与的交点为，‎ ‎ 解，得：.‎ 所以，，‎ ‎ ，‎ 此时：.‎ ‎ 在上；如图（第25题-3），满足过的一次函数的解析式：，‎ ‎ 即：，，‎ ‎ 把代入的一次函数的解析式得：‎ ‎ ，，‎ 所以为同一点，所以：，‎ ‎，此时：‎ ‎ 在之外.如图（第25题-4），设与相交于，与相交于，‎ 解得：；‎ 解得：.‎ 所以，‎ ‎ ‎ 此时：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 综合、、，得点在,两点之间（不包括,两点），正方形和梯形重合部分的面积为与之间的函数关系式为：‎ ‎26.问题情境[‎ ‎ 如图，在轴上有两点,（）.分别过点，点作轴的垂线，交抛物线于点、点.直线交直线于点，直线交直线于点,点、点的纵坐标分别记为、.‎ K]‎ 特例探究 填空：‎ 当,时，=____,=______.当,时，=____,=______.[来源:21世纪教育网]‎ 归纳证明 对任意,（）,猜想与的大小关系，并证明你的猜想 拓展应用.‎ （1） 若将“抛物线”改为“抛物线”,其它条件不变，请直接写出与的大小关系.‎ （2） 连接，．当时，直接写出和的关系及四边形的形状．‎ ‎[答案] 特例探究；.归纳证明 猜想.证明（略）拓展应用(1).(2)四边形是平行四边形．‎ ‎[考点] ‎ 一次函数、二次函数综合运用，函数图象上的点与函数解析式的关系，平行四边形的判定.‎ ‎[解析] 特例探究[来源:Zxxk.Com]‎ ‎ 当,时，，，所以直线的解析式为：；直线的解析式为：；此时 解，得.解，得.‎ 所以，此时 ‎ 当,时，，，所以直线的解析式为：；直线的解析式为：；此时 解，得.解，得.‎ ‎ 所以，此时 归纳证明 猜想：对任意,（）,都有：.‎ ‎ 证明：对任意,（）时，，，所以直线的解析式为：；直线的解析式为：；此时 解，得.解，得.‎ ‎ 所以，此时.‎ 拓展应用 ‎(1)若将“抛物线”改为“抛物线”,其它条件不变，仍然有：.‎ ‎ 此时，，，所以直线的解析式为：；直线的解析式为：；此时 解，得.解，得.‎