中考数学第一轮复习导学案轴对称与中心对称

中考数学第一轮复习导学案轴对称与中心对称

- 1 - 轴对称与中心对称 ◆课前热身 1.下列四个图形中，不是．．轴对称图形的是（ ） 2.如图，P 是正△ABC 内的一点，若将△PBC 绕点 B 旋转到△P’BA，则∠PBP’的度数是（ ） A．45° B．60° C．90° D．120° 3.如图，镜子中号码的实际号码是___________． 4.请写出一个是轴对称图形的图形名称．答： ． 【参考答案】 1. D 2. B 3. 3265 4. 圆、矩形等 ◆考点聚焦 1．理解轴对称和轴对称图形的联系与区别，•会判断一个图形是否是轴对称图形或中心 对称图形． 2．掌握轴对称的基本特征，并能用这些特征解决简单的问题（如折叠）． 3．能用轴对称和中心对称的性质设计图案． ◆备考兵法 1．本节试题多以日常生活中的工艺品、商标图案、宣传画、字母、数字为材料，判断 - 2 - 是否是轴对称图形或中心对称图形，所以应熟练掌握 基本图形的轴对称性，结合实际图形 进行辨认． 2．在解轴对称和折叠类问题时，应知道折叠问题要用轴对称解决，•折痕就是两个重叠 部分的对称轴，往往需要设未知数，利用勾股定理建立方程（组）解决． 3．平面上的最短距离问题，往往要作出对称点，•利用“两点之间线段最短”解决． ◆考点链接 1. 如果一个图形沿一条直线对折，对折后的两部分能 ，那么这个图形就 是 ，这条直线就是它的 . 2. 如果一个图形沿一条直线折叠，如果它能与另一个图形 ，那么这两个图形 成 ，这条直线就是 ，折叠后重合的对应点就 是 . 3. 如果两个图形关于 对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段 的 . 4. 把一个图形绕着某一个点旋转 °，如果旋转后的图形能够与原来的图 形 ，那么这个图形叫做 图形，这个点就是它的 ． 5. 把一个图形绕着某一个点旋转 °，如果它能够与另一个图形 ，那么就说 这两个图形关于这个点 ，这个点叫做 ．这两个图形中的对应点叫做 关于中心的 ． 6. 关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过 ，而且被对称中心 所 ．关于中心对称的两个图形是 图形. 7. 两个点关于原点对称时，它们的坐标符号 ，即点 ),( yxP 关于原点的对称点 1P 为 . ◆典例精析 例 1（内蒙古包头）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ） A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个 【答案】B 【解析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的定义，轴对称图形是指将图形沿某条直线折 - 3 - 叠，直线两旁部分能够完全重合的图形，而中心对称图形是指将图形沿某个点旋转 180°后 得到的图形与原图形完全重合的图形.故同时符合上面两个条件的是第 1、3 和 4 个图形，正 确答案选 B. 例 2 如图，半圆 A 和半圆 B 均与 y 轴相切于点 O，其直径 CD，EF 均与 x 轴垂直，以 O•为顶 点，仅开口方向相反的两条抛物线分别经过点两半圆的 C，E 和 D，F， 则图中阴影部分的面积是_______． 【答案】 2  【解析】 由题可知，半圆 A 与半圆 B 关于 y 轴对称，两条抛物线 关于 x 轴对称， ∴S1=S3，S2=S4， ∴图中阴影部分的面积实际为半圆 A 的面积． 例 3 如图，已知折叠矩形的一边 AD，使得点 D 落在 BC 边上的点 F 处，且 AB=8cm，BC=10cm， 求 EC 的长． 【答案】解：由折叠性质知， AF=AD=10cm，EF=DE． 设 EC=xcm，则 DE=（8-x）cm． 在 Rt△ABF 中，BF= 2210 8 =6， ∴FC=BC-BF=10-6=4cm． 在 Rt△CEF 中，EF2=EC2+FC2， ∴（8-x）2=x2+42， ∴x=3． 即 EC 的长为 3cm． 【点拨】 ①折叠问题中注意它的对称性即对应边（角）的相等性； ②求这类问题中的未知线段长，常设所求线段长为 x，把其他线段用含 x 的代数式表示， 选择一个直角三角形．根据勾股定理列方程，用方程的思想求解． 拓展变式 1 如图，在矩形 ABCD 中，AB=4，BC=8，将矩形沿 AC 对折，点 D 落在 D′处， •求：（ 1）线段 CF 的长；（ 2）△AFC 的面积． - 4 - 答案 （1）CF=5 （2）S△AFC=10 拓展变式 2 如图，ABCD 是矩形，AB=4cm，AD=3cm，把矩形沿直线 AC 重叠，点 B•落在 E 处，连结 DE．四边形 ACED 是什么图形？为什么？它的面积是多少？周长是多少？ 答案 四边形 ACED 是等腰梯形．（ 理由略） 面积为192 25 cm2．周长为 26 5 cm． ◆迎考精练 一、选择题 1.（四川内江）下列几个图形是国际通用的交通标志，其中不是中心对称图形的是（ ） 2.（辽宁锦州）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( ) A B C D 3.（湖北荆门）如图，Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=50°，将其折叠，使点 A 落在边 CB 上 A′处，折痕为 CD，则 A DB（ ） A．40° B．30° C．20° D．10° - 5 - 4.（广东深圳）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是() A B C D 5.（山东烟台）视力表对我们来说并不陌生．如图是视力表的一部分， 其中开口向上的两个“E”之间的变换是（ ） A．平移 B．旋转 C．对称 D．位似 6.（浙江嘉兴）判断下列两个结论：①正三角形是轴对称图形；②正三角形是中心对称图形， 结果（ ▲ ） A．①②都正确 B．①②都错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 7.（黑龙江哈尔滨）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）． 8.（广东省）如图所示的矩形纸片，先沿虑线按箭头方向向右对折，接着将对折后的纸片沿 虑线剪下一个小圆和一个小三角形，然后将纸片打开是下列图中的哪一个（ ） - 6 - 二、填空题 1.（湖北孝感）在平面直角坐标系中，有 A（3，－2）， B（4，2）两点，现另取一点 C（1， n），当 n = 时，AC + BC 的值最小． 2.（北京市）如图，正方形纸片 ABCD 的边长为 1，M、N 分别是 AD、BC 边上的点，将纸片的 一角沿过点 B 的直线折叠，使 A 落在 MN 上，落点记 为 A′，折痕交 AD 于点 E,若 M、N 分别 是 AD、BC 边的中点，则 A′N= ; 若 M、N 分别是 AD、BC 边的上距 DC 最近的 n 等分点 （ 2n  ,且 n 为整数），则 A′N= （用含有 n 的式子表示） A' N M B C A DE 3.（湖南娄底）如图，⊙O 的半径为 2，C1 是函数 y= 1 2 x2 的图象，C2 是函数 y=- x2 的图象， 则阴影部分的面积是 . 4.(陕西省) 如图，在锐角△ABC 中，AB＝4 2 ，∠ BAC＝45°，∠BAC 的平分线交 BC 于点 D， M、N 分别是 AD 和 AB 上的动点，则 BM+MN 的最小值是______． 三、解答题 1.（湖南娄底）如图所示，每个小方格都是边长为 1 的正方形，以 O 点为坐标原点建立平面 - 7 - 直角坐标系. （1）画出四边形 OABC 关于 y 轴对称的四边形 OA1B1C1，并写出点 B1 的坐标是 . （2）画出四边形 OABC 绕点 O 顺时针方向旋转 90°后得到的四边形 OA2B2C2，并求出点 C 旋 转到点 C2 经过的路径的长度. 2.（吉林长春）图①、图②均为76 的正方形网格，点 A B C、 、 在格点上． （1）在图①中确定格点 D ，并画出以 A B C D、 、 、 为顶点的四边形，使其为轴对称图 形．（画一个即可）（3 分） （2）在图②中确定格点 E ，并画出以 A B C E、 、 、 为顶点的四边形，使其为中心对称图 形．（画一个即可）（3 分） A B C 图① A B C 图② - 8 - 3.（湖北恩施）恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世．著名的 恩施大峡谷 ()A 和世界级自然保护区星斗山 ()B 位于笔直的沪渝高速公路 X 同侧， 50kmAB A ， 、B 到直线 的距离分别为10km 和 40km，要在沪渝高速公路旁修建一 服务区 P ，向 A 、B 两景区运送游客．小民设计了两种方案，图（1）是方案一的示意图（ AP 与直线 垂直，垂足为 ）， 到 、 的距离之和 1S PA PB，图（2）是方案二的 示意图（点 关于直线 的对称点是 A，连接 BA 交直线 于点 ）， 到 、 的距 离之和 2S PA PB． （1）求 1S 、 2S ，并比较它们的大小； （2）请你说明 2S PA PB的值为最小； （3）拟建的恩施到张家界高速公路Y 与沪渝高速公路垂直，建立 如图（3）所示的直角坐 标系， 到直线 的距离为30km ，请你在 X 旁和Y 旁各修建一服务区 、Q ，使 、 、 、 组成的四边形的周长最小．并求出这个最小值． - 9 - 4.（广西南宁）已知 ABC△ 在平面直角坐标系中的位置如图 10 所示． （1）分别写出图中点 AC和点 的坐标； （2）画出 绕点C 按顺时针方向旋转90 ABC  °后的△ ； （3）求点 A 旋转到点 A所经过的路线长（结果保留 π ）． 5.（湖南益阳）如图，△ABC 中，已知∠BAC＝45°，AD⊥BC 于 D，BD＝2，DC＝3，求 AD 的 长. 小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换，巧妙地解答了此题. 请按照小萍的思路，探究并解答下列问题： (1)分别以 AB、AC 为对称轴，画出△ABD、△ACD 的轴对称图形，D 点的对称点为 E、F，延 长 EB、FC 相交于 G 点，证明四边形 AEGF 是正方形； (2)设 AD=x，利用勾股定理，建立关于 x 的方程模型，求出 x 的值. - 10 - 【参考答案】 选择题 1. D 2. B 3. D 解析：本题考查轴对称的有关知识，由折叠可知，∠ACD=∠A′CD=45°，∠A=∠CA′D=50°， ∴∠ADC=∠A′DC=85°，∴∠A′DB=10°，故选 D． 4. D 5. D 6. C 7. D 【解析】A、B 均是轴对称图形但不是中心对称图形，C 是中心对称图形但不是轴对称图形. 只有 D 即是轴对称图形又是中心对称图形 8. C 填空题 1. 2 5 (或–0.4) 2. 3 2 ， 21n n  （ 2n  ，且 n 为整数） 3. 2π 4. 4 解答题 1. 解：（1）如图：B1 的坐标是（-6，2） （2）如图： L= 90 3 180 = 3 2  - 11 - 2. 解：（1）有以下答案供参考： （2）有以下答案供参考： 3. 解:⑴图 10（1）中过 B 作 BC⊥AP,垂足为 C,则 PC=40,又 AP=10, ∴AC=30 在 Rt△ABC 中，AB=50 AC=30 ∴BC=40 ∴ BP= 24022  BCCP S1= 10240  ⑵图 10（2）中，过 B 作 BC⊥AA′垂足为 C，则 A′C=50， 又 BC=40 ∴BA'= 41105040 22  由轴对称知：PA=PA' ∴S2=BA'= 4110 - 12 - ∴ 1S ﹥ 2S (2)如 图 10（2），在公路上任找一点 M,连接 MA,MB,MA'，由轴对称知 MA=MA' ∴MB+MA=MB+MA'﹥A'B ∴S2=BA'为最小 （3）过 A 作关于 X 轴的对称点 A', 过 B 作关于 Y 轴的对称点 B'， 连接 A'B',交 X 轴于点 P, 交 Y 轴于点 Q,则 P,Q 即为所求 过 A'、 B'分别作 X 轴、Y 轴的平行线交于点 G, A'B'= 55050100 22  ∴所求四边形的周长为 55050  P X B AQ Y B' A' 4. 解：（1）  04A ， 、  31C ， ； （2）图略． （3） 32AC  90 3 2 π 180AA   32π2 5. (1)证明：由题意可得：△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF . ∴∠DAB＝∠EAB ，∠DAC＝∠FAC ，又∠BAC＝45°， ∴∠EAF＝90°. 又∵AD⊥BC ∴∠E＝∠ADB＝90°∠F＝∠ADC＝90°. 又∵AE＝AD，AF＝AD ∴AE＝AF. - 13 - ∴四边形 AEGF 是正方形. (2)解：设 AD＝x，则 AE＝EG＝GF＝x. ∵BD＝2，DC＝3 ∴BE＝2 ，CF＝3 ∴BG＝x－2，CG＝x－3. 在 Rt△BGC 中，BG2＋CG2＝BC2 ∴( x－2)2＋(x－3)2＝52. 化简得，x2－5x－6＝0 解得 x1＝6，x2＝－1（舍） 所以 AD＝x＝6