2020八年级数学上册第2章特殊三角形2

2020八年级数学上册第2章特殊三角形2

‎2.6 直角三角形(二) ‎ A组 ‎1．具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是(D)‎ A． ∠A＋∠B＝∠C B． ∠A＝2∠B＝2∠C C． ∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3‎ D． ∠A＝∠B＝3∠C ‎2．已知一个三角形的其中一个角等于另两个角的差，则这个三角形一定是直角三角形．‎ ‎(第3题)‎ ‎3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB的垂直平分线DE交AC于点E，交BC的延长线于点F．若∠F＝30°，DE＝1，则BE的长是__2__．‎ ‎4．等腰三角形一腰上的高线等于这条腰的一半，则这个等腰三角形的顶角的度数为30°或150°．‎ ‎5．在△ABC中，2∠B＝∠A＋∠C，最小角∠A＝30°，最长边的中线为‎8 cm，则最短边的长为__8__cm．‎ ‎6．直角三角形斜边上的高线长与中线长分别为‎5 cm和‎6 cm，则它的面积为__30__cm2．‎ ‎7．如图，CE⊥AD，垂足为E，∠A＝∠C．求证：△ABD是直角三角形．‎ ‎(第7题)‎ ‎【解】　∵CE⊥AD，‎ ‎∴∠CED＝90°，‎ ‎∴∠C＋∠D＝90°．‎ 又∵∠A＝∠C，‎ ‎∴∠A＋∠D＝90°，‎ ‎∴△ABD是直角三角形．‎ ‎8．如图，已知AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P．求证：△PEF是直角三角形．‎ 5‎ ‎(第8题)‎ ‎【解】　∵AB∥CD，‎ ‎∴∠BEF＋∠DFE＝180°．‎ ‎∵∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P，‎ ‎∴∠PEF＝∠BEF，∠PFE＝∠DFE，‎ ‎∴∠PEF＋∠PFE＝(∠BEF＋∠DFE)＝90°．‎ ‎∴△PEF是直角三角形．‎ B组 ‎(第9题)‎ ‎9．如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝8，AE平分∠BAC交BC于点E，D为AB的中点，连结DE，则△BDE的周长是__10__．‎ ‎【解】　∵AB＝AC，AE平分∠BAC，‎ ‎∴AE垂直平分BC．‎ ‎∵BC＝8，∴BE＝4．‎ ‎∵D是AB的中点，‎ ‎∴AD＝BD＝DE＝AB＝3．‎ ‎∴C△BDE＝BD＋DE＋BE＝3＋3＋4＝10．‎ ‎ (第10题)‎ ‎10．如图，在等边三角形ABC中，D，E分别为AB，BC边上的两动点，且总使AD＝BE，AE与CD交于点F，AG⊥CD于点G，则＝____．‎ ‎【解】　∵△ABC是等边三角形，‎ ‎∴AB＝BC＝AC，∠B＝∠ACB＝60°．‎ 5‎ ‎∵AD＝BE，∴CE＝BD．‎ 在△ACE和△CBD中，‎ ‎∵ ‎∴△ACE≌△CBD(SAS)．∴∠CAE＝∠BCD．‎ ‎∴∠AFG＝∠CAF＋∠ACF＝∠BCD＋∠ACF＝∠ACB＝60°．‎ ‎∵AG⊥CD，∴∠FAG＝30°．∴＝．‎ ‎(第11题)‎ ‎11．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，M，N分别是对角线AC，BD的中点，连结MN．‎ ‎(1)试猜想MN与BD的位置关系，并证明你的结论．‎ ‎(2)如果∠BCD＝45°，BD＝2，求MN的长．‎ ‎【解】　(1)MN⊥BD．证明如下：‎ 连结BM，DM．‎ ‎∵∠ADC＝90°，M是AC的中点，‎ ‎∴AC＝2DM＝‎2CM．‎ 同理，AC＝2BM＝‎2CM，∴BM＝DM．‎ ‎∵N是BD的中点，∴MN⊥BD．‎ ‎(2)由(1)，得BM＝CM，DM＝CM，‎ ‎∴∠BCM＝∠CBM，∠DCM＝∠CDM．‎ ‎∵∠AMB是△BCM的一个外角，‎ ‎∴∠AMB＝∠BCM＋∠CBM＝2∠BCM．‎ 同理，∠AMD＝2∠DCM．‎ ‎∵∠BCD＝45°，∴∠BCM＋∠DCM＝45°．‎ ‎∴∠BMD＝∠AMB＋∠AMD＝2(∠BCM＋∠DCM)＝90°．∴△BMD是直角三角形．‎ ‎∵N是BD的中点，BD＝2，∴MN＝BD＝1．‎ ‎12．如图，AD，BF分别是△ABC的高线与角平分线，BF，AD交于点E，∠1＝∠2．求证：△ABC是直角三角形．‎ ‎ (第12题)‎ ‎【解】　∵BF是△ABC的角平分线，‎ ‎∴∠ABF＝∠CBF．‎ ‎∵AD是△ABC的高线，‎ 5‎ ‎∴∠ADB＝90°，‎ ‎∴∠CBF＋∠BED＝90°．‎ ‎∵∠1＝∠2＝∠BED，∴∠ABF＋∠2＝90°，‎ ‎∴∠BAC＝90°，∴△ABC是直角三角形．‎ ‎(第13题)‎ ‎13．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为BC的中点，CE⊥AD于点E，BF∥AC交CE的延长线于点F，连结DF．求证：AB垂直平分DF．‎ ‎【解】　∵∠ACB＝90°，AC＝BC，‎ ‎∴∠CAB＝∠CBA＝45°，∠CAD＋∠CDE＝90°．‎ ‎∵CE⊥AD，∴∠CED＝90°．‎ ‎∴∠CDE＋∠DCE＝90°．‎ ‎∴∠CAD＝∠DCE，即∠CAD＝∠BCF．‎ ‎∵BF∥AC，∴∠CBF＋∠ACB＝180°，‎ ‎∴∠CBF＝180°－∠ACB＝90°．‎ ‎∴∠CBF＝∠ACD．‎ 在△ACD和△CBF中，∵ ‎∴△ACD≌△CBF(ASA)．‎ ‎∴CD＝BF．‎ ‎∵D为BC的中点，‎ ‎∴CD＝BD，∴BD＝BF．‎ ‎∵BF∥AC，‎ ‎∴∠ABF＝∠CAB＝∠DBA＝45°．‎ ‎∴AB垂直平分DF．‎ 数学乐园 ‎14．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，CD平分∠ACB，点E在AC上，且AE＝AD，EF⊥CD交BC于点F，交CD于点O．求证：BF＝2AD．‎ ‎(第14题)‎ 导学号：91354012‎ 5‎ ‎【解】　连结DF，过点D作DG⊥BC于点G．‎ ‎∵∠A＝90°，AD＝AE，AB＝AC，‎ ‎∴∠ADE＝∠AED＝45°，∠B＝∠ACB＝45°，‎ ‎∴∠ADE＝∠B，∴DE∥BC，‎ ‎∴∠EDC＝∠BCD．‎ ‎∵CD平分∠ACB，∴∠BCD＝∠ACD．‎ ‎∴∠EDC＝∠ACD．∴DE＝EC．‎ ‎∵EF⊥CD，∴EF垂直平分CD．‎ ‎∴FD＝FC．∴∠FDC＝∠FCD．‎ ‎∴∠FDC＝∠ACD．∴DF∥AC．‎ ‎∴∠DFB＝∠ACB＝45°．‎ ‎∴∠B＝∠BFD＝45°．‎ ‎∴BD＝DF，∠BDF＝90°．‎ ‎∴△DBF为等腰直角三角形．‎ ‎∵DG⊥BF，∴DG为斜边BF上的中线，‎ ‎∴DG＝BF．‎ ‎∵CD平分∠ACB，∠A＝∠DGC＝90°，‎ ‎∴AD＝DG．∴AD＝BF，即BF＝2AD．‎ 5‎