广州市2016年中考数学卷

广州市2016年中考数学卷

秘密★启用前 ‎2016年广州市初中毕业生学业考试 数 学 本试卷分选择题和非选择题两部分，共三大题小题，满分分，考试用时分钟 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考生务必在答题卡第1面、第三面、第五面上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写自已的考生号、姓名；同时填写考场室号、座位号，再用2B铅笔把对应这两个号码的标号涂黑.‎ ‎2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，不能答在试卷上.‎ ‎3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，涉及作图的题目，用2B铅笔画图，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，改动的答案也不能超出指定的区域，不准使用铅笔，圆珠笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效.‎ ‎4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.‎ 第一部分（选择题 共30分）‎ 一、选择题（本大题共10题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）‎ 1. 中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数、如果收入100元记作＋100，那么－80元表示（ ） ‎ A、支出20元 B、收入20元 C、支出80元 D、收入80元 ‎［难易］ 较易 ‎［考点］ 正数与负数的概念与意义 ‎［解析］ 题中收入100元记作，那么收入就记为正数，支出就记为负数，所以就 ‎ ‎ 表示支出80元，所以答案C正确 ‎［参考答案］C 2. 图1所示几何体的左视图是（ ）‎ ‎［难易］ 较易 ‎［考点］ 视图与投影——三视图 ‎［解析］ 几何体由两个圆锥组合而成，根据圆锥的三视图就可以得到题中图的左视图为A ‎［参考答案］ A 1. 据统计，2015年广州地铁日均客运量约为6590000.将6590000用科学记数法表示为（ ）‎ A、 B、 C、 D、 ‎ ‎［难易］ 较易 ‎［考点］ 科学计数法 ‎［解析］ 由科学记数法的定义可知，所以D正确 ‎［参考答案］ D 2. 某个密码锁的密码由三个数字组成，每个数字都是0-9这十个数字中的一个，只有当三个数字与所设定的密码及顺序完全相同，才能将锁打开，如果仅忘记了所设密码的最后那个数字，那么一次就能打开该密码的概率是（ ）‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎［难易］ 较易 ‎［考点］ 概率问题 ‎［解析］ 根据题意可知有10种等可能的结果，满足要求的可能只有1种，‎ 所以P(一次就能打该密码)＝‎ ‎［参考答案］ A 3. 下列计算正确的是（ ）‎ A、 B、‎ C、 D、‎ ‎［难易］ 较易 ‎［考点］ 代数式的运算 ‎［解析］ A、显然错误； B、;C、 ,由于与 不是同类二次根式，不能进行加减法；D、根据幂的乘方运算法则就可以得出答案.‎ ‎［参考答案］ D 1. 一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以80千米／小时的平均速度用了4小时到达乙地。当他按照原路返回时，汽车的速度v 千米／小时与时间t小时的函数关系是（ ）‎ A、v=320t B、 C、v=20t D、‎ ‎［难易］ 较易 ‎［考点］ 反比例函数，行程问题 ‎［解析］ 由路程＝速度时间，可以得出甲乙两地的距离为320千米，返程时路程不变，由路程＝速度时间，得 速度＝路程时间，所以 ‎［参考答案］ B 2. 如图2，已知三角形ABC,AB=10,AC=8,BC=6,DE是AC的垂直平分线，DE交AB于D，连接CD，CD＝( )‎ A、3 B、4 C、4.8 D、5‎ ‎［难易］ 中等 ‎［考点］ 勾股定理及逆定理，中位线定理，中垂线的性质 ‎［解析］ 因为AB=10,AC=8,BC=8,由勾股定理的逆定理可得三角形ABC为直角三角形，因为DE为AC边的中垂线，所以DE与AC垂直，AE=CE=4，所以DE为三角形ABC 的中位线，所以DE==3,再根据勾股定理求出CD=5‎ ‎［参考答案］ D ‎ 3. 若一次函数的图像经过第一、二、四象限，则下列不等式中总是成立的是（ ）‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎［难易］ 较易 ‎［考点］ 一次函数，不等式 ‎［解析］ 因为一次函数的图像经过第一、二、四象限,所以,所以 ‎,A错；，B错；,所以，所以C正确;的大小不能确定 ‎ ‎［参考答案］ C 1. 对于二次函数,下列说法正确的是（ ）‎ A、当x>0，y随x的增大而增大 B、当x=2时，y有最大值－3‎ C、图像的顶点坐标为（－2，－7） D、图像与x轴有两个交点 ‎［难易］ 中等 ‎［考点］ 二次函数的性质 ‎［解析］ 二次函数,所以二次函数的开口向下，当时，‎ ‎ 取得最大值，最大值为－3,所以B正确。‎ ‎［参考答案］ B 2. 定义新运算，，若a、b是方程的两根，则的值为 ( )‎ A、0 B、1 C、2 D、与m有关 ‎［难易］ 中等 ‎［考点］ 新定义运算，一元二次方程 ‎［解析］ ,因为a,b为方程的两根，所以,化简得,同理,代入上式得 原式＝‎ ‎［参考答案］ A 第二部分（非选择题 共120分）‎ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．）‎ 3. 分解因式： .‎ ‎［难易］ 容易 ‎［考点］ 因式分解，提取公因式 ‎［解析］ 因式分解三大步骤：提取公因式，公式法，十字相乘，本题仅需要提取公因式，即 ‎［参考答案］ ‎ 1. 代数式有意义时，实数的取值范围是 .‎ ‎［难易］ 容易 ‎［考点］ 根式有意义 ‎［解析］ 有意义题型主要有根式，分式有意义本题仅考察根式有意义，较简单，满足被开方式非负即可.即 ‎［参考答案］ ‎ 2. 如图，中，,点在上，,将线段沿方向平移得到线段，点分别落在边上，则的周长是 cm.‎ ‎［难易］ 容易 ‎［考点］ 平移 ，等腰三角形等角对等边 ‎［解析］ ∵CD沿CB平移7cm至EF ‎［参考答案］ 13‎ 3. 方程的解是 .‎ ‎［难易］ 容易 ‎［考点］ 分式方程 ‎［解析］ ‎ 检验：将，代入,是方程的解 ‎［参考答案］ ‎ 1. 如图，以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦是小圆的切线，点是切点，则劣弧AB 的长为 .（结果保留）‎ ‎［难易］ 容易 ‎［考点］ 勾股定理，三角函数，求弧长，垂径定理 ‎［解析］ 因为AB为切线，P为切点，‎ ‎ ‎ 劣弧AB所对圆心角 ‎ ‎［参考答案］ ‎ 2. 如图，正方形的边长为,是对角线，将绕点顺时针旋转450得到， 交于点，连接交于点，连接，则下列结论：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 其中正确的结论是 .（填写所有正确结论的序号）‎ ‎【难易】中等 ‎【考点】图形的旋转，全等三角形，等腰直角三角形，菱形的判定 ‎【解析】∵旋转 ‎ ∴HD=BD=‎ ‎ ∴HA=‎ ‎ ∵∠H=45° ∠HAE=45°‎ ‎ ∴△HAE为等腰直角三角形 ‎ ∴AE= HE=‎ ‎ ∴EB=‎ ‎ 又∵∠EGB=90° ∠EBG=45°‎ ‎ ∴△EGB为等腰三角形，EG=‎ ‎ ∵EA=EG且EA⊥DA，EG⊥DG ‎ ∴ED平分∠ADG ‎ ∴∠EDG=22.5°‎ ‎ 又∵∠DCA=45° ∠CDG=45°‎ ‎ ∴∠CDF=∠CFD=67.5°， ∴CF=CD=1 ， ∴AF=‎ 又∵∠EAC=∠BEG=45°，∴AF∥EG 又∵AF=AE=EG=‎ ‎∴四边形AEGF是菱形，且△AED≌△GED ‎∴∠FGD=∠ABD=45° ∠DFG=180°-∠FGD-∠FDG =112.5°‎ BC+FG=‎ ‎【参考答案】①②③‎ 三、解答题（本大题共9小题，满分102分，解答应写出文字说明、证明或演算步骤．）‎ 解不等式组：并在数轴上表示解集.‎ ‎【难易】简单 ‎【考点】解不等式组 ‎【解析】解法常规，注意在数轴上表示解集。‎ ‎【参考答案】解： ‎ ‎ 解①得：‎ 解②得：‎ 在数轴上表示为：‎ 如图，矩形的对角线相交于点,若， 求的度数.‎ ‎【难易】简单 ‎【考点】矩形的性质 ‎【解析】根据矩形的对角线相等且互相平分可得：AO=BO，则△AOB为等边三角形，进而得到∠ABD=60°。‎ ‎【参考答案】‎ 解： ∵ 四边形ABCD为矩形 ‎∴AO=BO 又∵AB=AO ‎∴AB=AO=BO ‎∴△ABD为等边三角形 ‎∴∠ABD=60°‎ 某校为了提升初中学生学习数学的兴趣，培养学生的创新精神，举办“玩转数学”比赛，现有甲、乙、丙三个小组进入决赛，评委从研究报告、小组展示、答辩三个方面为各小组打分，各项成绩均按百分制记录，甲、乙、丙三个小组各项得分如下表：‎ 小组 研究报告 小组展示 答辩 甲 ‎91‎ ‎80‎ ‎78‎ 乙 ‎81‎ ‎74‎ ‎85‎ 丙 ‎79‎ ‎83‎ ‎90‎ （1） 计算各小组的平均成绩，并从高分到低分确定小组的排名顺序：‎ （2） 如果按照研究报告占40%，小组展示占30%，答辩占30%，计算各小组的成绩，哪个小组的成绩最高？‎ ‎【难易】简单 ‎【考点】数据的收集与整理 ‎【解析】先算出平均成绩，注意计算正确。‎ ‎【参考答案】‎ 解：（1）甲：（91+80+78）÷3=83‎ ‎ 乙：（81+74+85）÷3=80‎ ‎ 丙：（79+83+90）÷3=84‎ ‎ ∴小组的排名顺序为：丙、甲、乙。‎ ‎（2）甲：91×40%+80×30%+78×30%=83.8‎ ‎ 乙：81×40%+74×30%+85×30%=80.1‎ ‎ 丙：79×40%+83×30%+90×30%=83.5‎ ‎∴甲组的成绩最高 已知 ‎ (1) 化简 (2) 若点在反比例函数的图像上，求的值.‎ ‎【难易】容易 ‎【考点】整式的运算，因式分解，反比例函数 ‎【解析】（1）分子用完全平方公式进行化简，因式分解，再与分母进行约分，化到最简。‎ ‎ （2）根据（1）中的化简结果，利用反比例函数的性质，求出ab的乘积，代入即可求出A的值。‎ ‎【参考答案】‎ ‎（1）‎ ‎ ‎ ‎（2）∵点P（a,b）在反比例函数的图像上 ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 如图，利用尺规，在的边上方做，在射线上截取，连接，并证明：‎ ‎（尺规作图要求保留作图痕迹，不写作法）‎ ‎【难易】 容易 ‎【考点】 尺规作图，平行线，平行四边形 ‎【解析】 利用“等圆中，等弧所对的圆心角相等”可以完成等角的作图 再利用“内错角相等”可判定两直线平行，然后利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”完成平行四边形的判定，最后利用平行四边形的性质进行平行的证明 ‎【参考答案】］证明；如图AD,CD为所做 因为,‎ 所以 因为 所以四边形ABCD为平行四边形 所以 如图，某无人机于空中处探测到目标的俯角分别是,此时无人机的飞行高度为，随后无人机从处继续水平飞行m到达处.‎ (1) 求之间的距离 (2) 求从无人机上看目标的俯角的正切值.‎ ‎【难易】容易 ‎【考点】俯角，三角函数，解直角三角形，矩形 ‎【解析】（1）利用直角三角形中三角函数求线段的长度。‎ ‎ （2）构造直角三角形求指定角的三角函数值。‎ ‎【参考答案】‎ 解：（1）∵∠BAC=90°-30°=60°，AC=60m ‎ ∴在Rt△ABC中，有 ‎（2）作DE⊥于点E，连结 ‎∵∠DAC=90°-60°=30°，AC=60m ‎∴在Rt△ADC中，有 CD=AC×tan∠DAC=60×tan30°=m ‎ ∵∠AED=∠EAC=∠C=90°‎ ‎∴四边形ACDE是矩形。‎ ‎∵ED=AC=60m，EA=CD=m ‎∴在Rt△中，有 即从无人机上看目标D俯角正切值为。‎ 如图,在平面直角坐标系中，直线与轴交于点,与直线交于点，点的坐标为 （1） 求直线的解析式；‎ （2） 直线与轴交于点，若点是直线上一动点（不与点重合），当与相似时，求点的坐标 ‎【难易】 中等 ‎【考点】 一次函数 相似 ‎【解析】 （1）首先设出一次函数解析式，将点A,D代入即可求出一次函数解析式;(2)先写出OB,OD,BC的长度，然后分两种情况讨论1：△BOD∽△BCE;2:△BOD∽△BEC.‎ ‎【参考答案】 ‎ ‎ （1）设直线AD的解析式为y=kx+b 将点A代入直线y=kx+b中得：‎ ‎ k+b= ‎ ‎ b=1 解得：‎ ‎ k=‎ ‎ b=1‎ 直经AD的解析式为：‎ （2） 设点E的坐标为（m,m+1）‎ 令得x=-2‎ 点B的坐标为（-2，0）‎ 令y=-x+3=0得x=3‎ 点C的坐标为（3，0）‎ OB‎=2, OD=1, BC=5, BD=‎ 1. 当△BOD∽△BCE时,如图（1）所示，过点C作CEBC交直线AB于E：‎ ‎ ‎ CE=‎ m+1=,解得m=3‎ 此时E点的坐标为（3，）‎ 2. ‎△BOD∽△BEC时，如图（2）所示，过点E作EFBC于F点，则：‎ CE=‎ BE=‎ BE*CE=EF*BC EF=2‎ ‎ 解得m=2‎ 此时E点的坐标为（2，2）‎ 当△BOD与△BCE相似时，满足条件的E坐标（3，），（2，2）.‎ 已知抛物线与x轴相交于不同的两点,‎ （1） 求的取值范围 （2） 证明该抛物线一定经过非坐标轴上的一点，并求出点的坐标；‎ （3） 当时，由（2）求出的点和点构成的的面积是否有最值，若有，求出最值及相对应的值；若没有，请说明理由.‎ ‎［难易］ 综合性强 ‎［考点］ 根的判别式，韦达定理，最值的求法 ‎［解析］ （1）根据根的判别式求出m的取值范围，注意 ‎（2）令,得出,故过定点P(3,4)‎ ‎（3）利用韦达定理写出AB的长度，再根据m的取值范围，求出 面积的范围 ‎［参考答案］ ‎ （1） 根据已知可知 所以 所以 所以m的取值范围为且.‎ （2） 令，则,令得，当时，；当时，；所以抛物线过定点（－1，0），（3，4），因为（－1，0）在x轴上，所以抛物线一定经过非坐标轴上一点P，P的坐标为(3,4)‎ （3） 设A,B的坐标为,则 因为,所以,所以＝2AB＝‎ 因为,所以,所以,所以当时，有最大值，最大值为＝‎ 如图，点C为△ABD外接圆上的一动点（点C不在上，且不与点B，D重合），∠ACB=∠ABD=45°．‎ ‎（1）求证：BD是该外接圆的直径；‎ ‎（2）连结CD，求证：AC=BC+CD；‎ ‎（3）若△ABC关于直线AB的对称图形为△ABM，连接DM，试探究，三者之间满足的等量关系，并证明你的结论．‎ ‎【难易】 较难，综合性大 ‎【考点】直径所对的圆周角、外接圆、旋转 ‎【解析】通过旋转处理不在一起的三边关系、及其平方关系 ‎【参考答案】 ‎ ‎（1）∵弧AB＝弧AB， ∴∠ADB＝∠ACB 又∵∠ACB＝∠ABD＝45° ∴∠ABD＝∠ADB＝45°‎ ‎∴∠BAD＝90° ∴△ABD为等腰直角三角形 ‎∴BD是该外接圆的直径 ‎（2）如图所示作CA⊥AE，延长CB交AE于点E ‎ ∵∠ACB＝45°，CA⊥AE ‎∴△ACE为等腰直角三角形 ∴AC＝AE 由勾股定理可知CE2＝AC2＋AE2＝2AC2 ∴‎ 由（1）可知△ABD 为等腰直角三角形 ‎∴AB＝AD ∠BAD＝90° 又∵∠EAC＝90°‎ ‎∴∠EAB＋∠BAC＝∠DAC＋∠BAC ∴∠EAB＝∠DAC ‎∴在△ABE和△ADC中 ‎∴△ABE≌△ADC（SAS）‎ ‎∴BE＝DC ‎ ‎∴CE＝BE＋BC＝DC＋BC＝‎ ‎（3）DM2＝BM2＋2MA2‎ 延长MB交圆于点E，连结AE、DE ‎∵∠BEA=∠ACB=∠BMA=45°‎ ‎∴在△MAE中有MA=AE，∠MAE=90°‎ ‎∴‎ 又∵AC=MA=AE ‎∴=‎ 又∵=‎ ‎∴－＋=－＋‎ 即=‎ ‎∴DE=BC=MB ‎∵BD为直径 ‎∴∠BED=90°‎ 在RT△MED中，有 ‎∴‎