福建省龙岩市中考数学试卷解析

福建省龙岩市中考数学试卷解析

‎2016年福建省龙岩市中考数学试卷 ‎　‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分 ‎1．（﹣2）3=（　　）‎ A．﹣6B．6C．﹣8D．8‎ ‎2．下列四个实数中最小的是（　　）‎ A． B．2C． D．1.4‎ ‎3．与是同类二次根式的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．下列命题是假命题的是（　　）‎ A．若|a|=|b|，则a=b B．两直线平行，同位角相等 C．对顶角相等 D．若b2﹣4ac＞0，则方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不等的实数根 ‎5．如图所示正三棱柱的主视图是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．在2016年龙岩市初中体育中考中，随意抽取某校5位同学一分钟跳绳的次数分别为：158，160，154，158，170，则由这组数据得到的结论错误的是（　　）‎ A．平均数为160B．中位数为158C．众数为158D．方差为20.3‎ ‎7．反比例函数y=﹣的图象上有P1（x1，﹣2），P2（x2，﹣3）两点，则x1与x2的大小关系是（　　）‎ A．x1＞x2B．x1=x2C．x1＜x2D．不确定 ‎8．如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE=1，AF=2，若P为对角线BD上一动点，则EP+FP的最小值为（　　）‎ A．1B．2C．3D．4‎ ‎9．在一个密闭不透明的袋子里有若干个白球．为估计白球个数，小何向其中投入8个黑球，搅拌均匀后随机摸出一个球，记下颜色，再把它放入袋中，不断重复摸球400次，其中88次摸到黑球，则估计袋中大约有白球（　　）‎ A．18个B．28个C．36个D．42个 ‎10．已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，则|a﹣b+c|+|2a+b|=（　　）‎ A．a+bB．a﹣2bC．a﹣bD．3a ‎　‎ 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分 ‎11．因式分解：a2﹣6a+9=　　　　　　．‎ ‎12．截止2016年4月28日，电影《美人鱼》的累计票房达到大约3390000000元，数据3390000000用科学记数法表示为　　　　　　．‎ ‎13．如图，若点A的坐标为，则sin∠1=　　　　　　．‎ ‎14．将一矩形纸条按如图所示折叠，若∠1=40°，则∠2=　　　　　　°．‎ ‎15．如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且CE=1，∠E=30°，则BC=　　　　　　．‎ ‎16．如图1～4，在直角边分别为3和4的直角三角形中，每多作一条斜边上的高就增加一个三角形的内切圆，依此类推，图10中有10个直角三角形的内切圆，它们的面积分别记为S1，S2，S3，…，S10，则S1+S2+S3+…+S10=　　　　　　．‎ ‎　‎ 三．解答题（本大题共9小题，共92题）‎ ‎17．计算：．‎ ‎18．先化简再求值： ，其中x=2+．‎ ‎19．解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．‎ ‎20．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，∠ACD=∠B，AD⊥CD．‎ ‎（1）求证：CD是⊙O的切线；‎ ‎（2）若AD=1，OA=2，求AC的值．‎ ‎21．某中学需在短跑、长跑、跳远、跳高四类体育项目中各选拔一名同学参加市中学生运动会．根据平时成绩，把各项目进入复选的学生情况绘制成如下不完整的统计图：‎ ‎（1）参加复选的学生总人数为　　　　　　人，扇形统计图中短跑项目所对应圆心角的度数为　　　　　　°；‎ ‎（2）补全条形统计图，并标明数据；‎ ‎（3）求在跳高项目中男生被选中的概率．‎ ‎22．图1是某公交公司1路车从起点站A站途经B站和C站，最终到达终点站D站的格点站路线图．（8×8的格点图是由边长为1的小正方形组成）‎ ‎（1）求1路车从A站到D站所走的路程（精确到0.1）；‎ ‎（2）在图2、图3和图4的网格中各画出一种从A站到D站的路线图．（要求：①与图1路线不同、路程相同；②途中必须经过两个格点站；③所画路线图不重复）‎ ‎23．某网店尝试用单价随天数而变化的销售模式销售一种商品，利用30天的时间销售一种成本为10元/件的商品售后，经过统计得到此商品单价在第x天（x为正整数）销售的相关信息，如表所示：‎ 销售量n（件）‎ n=50﹣x 销售单价m（元/件）‎ 当1≤x≤20时，m=20+x 当21≤x≤30时，m=10+‎ ‎（1）请计算第几天该商品单价为25元/件？‎ ‎（2）求网店销售该商品30天里所获利润y（元）关于x（天）的函数关系式；‎ ‎（3）这30天中第几天获得的利润最大？最大利润是多少？‎ ‎24．已知△ABC是等腰三角形，AB=AC．‎ ‎（1）特殊情形：如图1，当DE∥BC时，有DB　　　　　　EC．（填“＞”，“＜”或“=”）‎ ‎（2）发现探究：若将图1中的△ADE绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）到图2位置，则（1）中的结论还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．‎ ‎（3）拓展运用：如图3，P是等腰直角三角形ABC内一点，∠ACB=90°，且PB=1，PC=2，PA=3，求∠BPC的度数．‎ ‎25．已知抛物线y=﹣+bx+c与y轴交于点C，与x轴的两个交点分别为A（﹣4，0），B（1，0）．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）已知点P在抛物线上，连接PC，PB，若△PBC是以BC为直角边的直角三角形，求点P的坐标；‎ ‎（4）已知点E在x轴上，点F在抛物线上，是否存在以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎　‎ ‎2016年福建省龙岩市中考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分 ‎1．（﹣2）3=（　　）‎ A．﹣6B．6C．﹣8D．8‎ ‎【考点】有理数的乘方．‎ ‎【分析】原式利用乘方的意义计算即可得到结果．‎ ‎【解答】解：原式=﹣8，‎ 故选C ‎　‎ ‎2．下列四个实数中最小的是（　　）‎ A． B．2C． D．1.4‎ ‎【考点】实数大小比较．‎ ‎【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．‎ ‎【解答】解：根据实数比较大小的方法，可得 ‎1.4＜＜＜2，‎ ‎∴四个实数中最小的是1.4．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎3．与是同类二次根式的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】同类二次根式．‎ ‎【分析】根据化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．‎ ‎【解答】解：A、与﹣的被开方数不同，故A错误；‎ B、与﹣的被开方数不同，故B错误；‎ C、与﹣的被开方数相同，故C正确；‎ D、与﹣的被开方数不同，故D错误；‎ 故选：C ‎　‎ ‎4．下列命题是假命题的是（　　）‎ A．若|a|=|b|，则a=b B．两直线平行，同位角相等 C．对顶角相等 D．若b2﹣4ac＞0，则方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不等的实数根 ‎【考点】命题与定理．‎ ‎【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．‎ ‎【解答】解：A、若|a|=|b|，则a﹣b=0或a+b=0，故A错误；‎ B、两直线平行，同位角相等，故B正确；‎ C、对顶角相等，故C正确；‎ D、若b2﹣4ac＞0，则方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不等的实数根，故D正确；‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎5．如图所示正三棱柱的主视图是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】简单几何体的三视图．‎ ‎【分析】找到从正面看所得到的图形即可．‎ ‎【解答】解：如图所示正三棱柱的主视图是平行排列的两个矩形，故选B．‎ ‎　‎ ‎6．在2016年龙岩市初中体育中考中，随意抽取某校5位同学一分钟跳绳的次数分别为：158，160，154，158，170，则由这组数据得到的结论错误的是（　　）‎ A．平均数为160B．中位数为158C．众数为158D．方差为20.3‎ ‎【考点】方差；算术平均数；中位数；众数．‎ ‎【分析】分别利用平均数、中位数、众数及方差的定义求解后即可判断正误．‎ ‎【解答】解：A、平均数为÷5=160，正确，故本选项不符合题意；‎ B、按照从小到大的顺序排列为154，158，158，160，170，位于中间位置的数为158，故中位数为158，正确，故本选项不符合题意；‎ C、数据158出现了2次，次数最多，故众数为158，正确，故本选项不符合题意；‎ D、这组数据的方差是S2= [2+2×2+2+2]=28.8，错误，故本选项符合题意．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎7．反比例函数y=﹣的图象上有P1（x1，﹣2），P2（x2，﹣3）两点，则x1与x2的大小关系是（　　）‎ A．x1＞x2B．x1=x2C．x1＜x2D．不确定 ‎【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．‎ ‎【分析】直接利用反比例函数的增减性进而分析得出答案．‎ ‎【解答】解：∵反比例函数y=﹣的图象上有P1（x1，﹣2），P2（x2，﹣3）两点，‎ ‎∴每个分支上y随x的增大而增大，‎ ‎∵﹣2＞﹣3，‎ ‎∴x1＞x2，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎8．如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE=1，AF=2，若P为对角线BD上一动点，则EP+FP的最小值为（　　）‎ A．1B．2C．3D．4‎ ‎【考点】菱形的性质；轴对称-最短路线问题．‎ ‎【分析】作F点关于BD的对称点F′，则PF=PF′，由两点之间线段最短可知当E、P、F′在一条直线上时，EP+FP有最小值，然后求得EF′的长度即可．‎ ‎【解答】解：作F点关于BD的对称点F′，则PF=PF′，连接EF′交BD于点P．‎ ‎∴EP+FP=EP+F′P．‎ 由两点之间线段最短可知：当E、P、F′在一条直线上时，EP+FP的值最小，此时EP+FP=EP+F′P=EF′．‎ ‎∵四边形ABCD为菱形，周长为12，‎ ‎∴AB=BC=CD=DA=3，AB∥CD，‎ ‎∵AF=2，AE=1，‎ ‎∴DF=AE=1，‎ ‎∴四边形AEF′D是平行四边形，‎ ‎∴EF′=AD=3．‎ ‎∴EP+FP的最小值为3．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎9．在一个密闭不透明的袋子里有若干个白球．为估计白球个数，小何向其中投入8个黑球，搅拌均匀后随机摸出一个球，记下颜色，再把它放入袋中，不断重复摸球400次，其中88次摸到黑球，则估计袋中大约有白球（　　）‎ A．18个B．28个C．36个D．42个 ‎【考点】用样本估计总体．‎ ‎【分析】根据摸到黑球的概率和黑球的个数，可以求出袋中放入黑球后总的个数，然后再减去黑球个数，即可得到白球的个数．‎ ‎【解答】解：由题意可得，‎ 白球的个数大约为：8÷﹣8≈28，‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎10．已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，则|a﹣b+c|+|2a+b|=（　　）‎ A．a+bB．a﹣2bC．a﹣bD．3a ‎【考点】二次函数图象与系数的关系．‎ ‎【分析】观察函数图象找出“a＞0，c=0，﹣2a＜b＜0”，由此即可得出|a﹣b+c|=a﹣b，|2a+b|=2a+b，根据整式的加减法运算即可得出结论．‎ ‎【解答】解：观察函数图象，发现：‎ 图象过原点，c=0；‎ 抛物线开口向上，a＞0；‎ 抛物线的对称轴0＜﹣＜1，﹣2a＜b＜0．‎ ‎∴|a﹣b+c|=a﹣b，|2a+b|=2a+b，‎ ‎∴|a﹣b+c|+|2a+b|=a﹣b+2a+b=3a．‎ 故选D．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分 ‎11．因式分解：a2﹣6a+9=　（a﹣3）2　．‎ ‎【考点】因式分解-运用公式法．‎ ‎【分析】本题是一个二次三项式，且a2和9分别是a和3的平方，6a是它们二者积的两倍，符合完全平方公式的结构特点，因此可用完全平方公式进行因式分解．‎ ‎【解答】解：a2﹣6a+9=（a﹣3）2．‎ ‎　‎ ‎12．截止2016年4月28日，电影《美人鱼》的累计票房达到大约3390000000元，数据3390000000用科学记数法表示为　3.39×109　．‎ ‎【考点】科学记数法—表示较大的数．‎ ‎【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．‎ ‎【解答】解：3390000000=3.39×109，‎ 故答案为：3.39×109‎ ‎　‎ ‎13．如图，若点A的坐标为，则sin∠1=　frac{{sqrt{3}}}{2}　．‎ ‎【考点】锐角三角函数的定义；坐标与图形性质．‎ ‎【分析】根据勾股定理，可得OA的长，根据正弦是对边比斜边，可得答案．‎ ‎【解答】解：如图，，‎ 由勾股定理，得 OA==2．‎ sin∠1==，‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎14．将一矩形纸条按如图所示折叠，若∠1=40°，则∠2=　110　°．‎ ‎【考点】平行线的性质．‎ ‎【分析】根据平行线的性质得到∠3=∠1=40°，∠2+∠4=180°，由折叠的性质得到∠4=∠5，即可得到结论．‎ ‎【解答】解：∵AB∥CD，‎ ‎∴∠3=∠1=40°，∠2+∠4=180°，‎ ‎∵∠4=∠5，‎ ‎∴∠4=∠5==70°，‎ ‎∴∠2=110°，‎ 故答案为：110°．‎ ‎　‎ ‎15．如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且CE=1，∠E=30°，则BC=　2　．‎ ‎【考点】等边三角形的性质．‎ ‎【分析】先证明BC=2CD，证明△CDE是等腰三角形即可解决问题．‎ ‎【解答】解：∵△ABC是等边三角形，‎ ‎∴∠ABC=∠ACB=60°，BA=BC，‎ ‎∵BD平分∠ABC，‎ ‎∴∠DBC=∠E=30°，BD⊥AC，‎ ‎∴∠BDC=90°，‎ ‎∴BC=2DC，‎ ‎∵∠ACB=∠E+∠CDE，‎ ‎∴∠CDE=∠E=30°，‎ ‎∴CD=CE=1，‎ ‎∴BC=2CD=2，‎ 故答案为2‎ ‎　‎ ‎16．如图1～4，在直角边分别为3和4的直角三角形中，每多作一条斜边上的高就增加一个三角形的内切圆，依此类推，图10中有10个直角三角形的内切圆，它们的面积分别记为S1，S2，S3，…，S10，则S1+S2+S3+…+S10=　π　．‎ ‎【考点】三角形的内切圆与内心；规律型：图形的变化类．‎ ‎【分析】（1）图1，作辅助线构建正方形OECF，设圆O的半径为r，根据切线长定理表示出AD和BD的长，利用AD+BD=5列方程求出半径r=（a、b是直角边，c为斜边），运用圆面积公式=πr2求出面积=π；‎ ‎（2）图2，先求斜边上的高CD的长，再由勾股定理求出AD和BD，利用半径r=（a、b是直角边，c为斜边）求两个圆的半径，从而求出两圆的面积和=π；‎ ‎（3）图3，继续求高DM和CM、BM，利用半径r=（a、b是直角边，c为斜边）求三个圆的半径，从而求出三个圆的面积和=π；‎ 综上所述：发现S1+S2+S3+…+S10=π．‎ ‎【解答】解：（1）图1，过点O做OE⊥AC，OF⊥BC，垂足为E、F，则∠OEC=∠OFC=90°‎ ‎∵∠C=90°‎ ‎∴四边形OECF为矩形 ‎∵OE=OF ‎∴矩形OECF为正方形 设圆O的半径为r，则OE=OF=r，AD=AE=3﹣r，BD=4﹣r ‎∴3﹣r+4+r=5，r==1‎ ‎∴S1=π×12=π ‎（2）图2，由S△ABC=×3×4=×5×CD ‎∴CD=‎ 由勾股定理得：AD==，BD=5﹣=‎ 由（1）得：⊙O的半径==，⊙E的半径==‎ ‎∴S1+S2=π×+π×=π ‎（3）图3，由S△CDB=××=×4×MD ‎∴MD=‎ 由勾股定理得：CM==，MB=4﹣=‎ 由（1）得：⊙O的半径=，：⊙E的半径==，：⊙F的半径==‎ ‎∴S1+S2+S3=π×+π×+π×=π ‎∴图4中的S1+S2+S3+S4=π 则S1+S2+S3+…+S10=π 故答案为：π．‎ ‎　‎ 三．解答题（本大题共9小题，共92题）‎ ‎17．计算：．‎ ‎【考点】实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值．‎ ‎【分析】原式利用二次根式性质，绝对值的代数意义，零指数幂法则，以及平方根定义计算即可得到结果．‎ ‎【解答】解：原式=2+3﹣﹣﹣3+1=1．‎ ‎　‎ ‎18．先化简再求值： ，其中x=2+．‎ ‎【考点】分式的化简求值．‎ ‎【分析】直接将括号里面进行通分运算，进而利用分式乘法运算法则求出答案．‎ ‎【解答】解：原式=‎ ‎=‎ ‎=x+2，‎ 当时，‎ 原式=2++2=4+．‎ ‎　‎ ‎19．解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．‎ ‎【考点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集．‎ ‎【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式的解集．‎ ‎【解答】解：由①得x≥4，‎ 由②得x＜1，‎ ‎∴原不等式组无解，‎ ‎　‎ ‎20．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，∠ACD=∠B，AD⊥CD．‎ ‎（1）求证：CD是⊙O的切线；‎ ‎（2）若AD=1，OA=2，求AC的值．‎ ‎【考点】切线的判定．‎ ‎【分析】（1）连接OC，由圆周角定理得出∠ACB=90°，由等腰三角形的性质得出∠B=∠BCO，证出∠OCD=∠OCA+∠BCO=∠ACB=90°，即可得出结论；‎ ‎（2）证明△ACB∽△ADC，得出AC2=AD•AB，即可得出结果．‎ ‎【解答】（1）证明：连接OC，如图所示：‎ ‎∵AB是⊙O直径，‎ ‎∴∠ACB=90°，‎ ‎∵OB=OC，‎ ‎∴∠B=∠BCO，‎ 又∵∠ACD=∠B，‎ ‎∴∠OCD=∠OCA+∠ACD=∠OCA+∠BCO=∠ACB=90°，‎ 即OC⊥CD，‎ ‎∴CD是⊙O的切线；‎ ‎（2）解：∵AD⊥CD，‎ ‎∴∠ADC=∠ACB=90°，‎ 又∵∠ACD=∠B，‎ ‎∴△ACB∽△ADC，‎ ‎∴AC2=AD•AB=1×4=4，‎ ‎∴AC=2．‎ ‎　‎ ‎21．某中学需在短跑、长跑、跳远、跳高四类体育项目中各选拔一名同学参加市中学生运动会．根据平时成绩，把各项目进入复选的学生情况绘制成如下不完整的统计图：‎ ‎（1）参加复选的学生总人数为　25　人，扇形统计图中短跑项目所对应圆心角的度数为　72　°；‎ ‎（2）补全条形统计图，并标明数据；‎ ‎（3）求在跳高项目中男生被选中的概率．‎ ‎【考点】概率公式；扇形统计图；条形统计图．‎ ‎【分析】（1）利用条形统计图以及扇形统计图得出跳远项目的人数和所占比例，即可得出参加复选的学生总人数；用短跑项目的人数除以总人数得到短跑项目所占百分比，再乘以360°即可求出短跑项目所对应圆心角的度数；‎ ‎（2）先求出长跑项目的人数，减去女生人数，得出长跑项目的男生人数，根据总人数为25求出跳高项目的女生人数，进而补全条形统计图；‎ ‎（3）用跳高项目中的男生人数除以跳高总人数即可．‎ ‎【解答】解：（1）由扇形统计图和条形统计图可得：‎ 参加复选的学生总人数为：（5+3）÷32%=25（人）；‎ 扇形统计图中短跑项目所对应圆心角的度数为：×360°=72°．‎ 故答案为：25，72；‎ ‎（2）长跑项目的男生人数为：25×12%﹣2=1，‎ 跳高项目的女生人数为：25﹣3﹣2﹣1﹣2﹣5﹣3﹣4=5．‎ 如下图：‎ ‎（3）∵复选中的跳高总人数为9人，‎ 跳高项目中的男生共有4人，‎ ‎∴跳高项目中男生被选中的概率=．‎ ‎　‎ ‎22．图1是某公交公司1路车从起点站A站途经B站和C站，最终到达终点站D站的格点站路线图．（8×8的格点图是由边长为1的小正方形组成）‎ ‎（1）求1路车从A站到D站所走的路程（精确到0.1）；‎ ‎（2）在图2、图3和图4的网格中各画出一种从A站到D站的路线图．（要求：①与图1路线不同、路程相同；②途中必须经过两个格点站；③所画路线图不重复）‎ ‎【考点】作图—应用与设计作图；勾股定理的应用．‎ ‎【分析】（1）先根据网格求得AB、BC、CD三条线段的长，再相加求得所走的路程的近似值；‎ ‎（2）根据轴对称、平移或中心对称等图形的变换进行作图即可．‎ ‎【解答】解：（1）根据图1可得：，，CD=3‎ ‎∴A站到B站的路程=≈9.7；‎ ‎（2）从A站到D站的路线图如下：‎ ‎　‎ ‎23．某网店尝试用单价随天数而变化的销售模式销售一种商品，利用30天的时间销售一种成本为10元/件的商品售后，经过统计得到此商品单价在第x天（x为正整数）销售的相关信息，如表所示：‎ 销售量n（件）‎ n=50﹣x 销售单价m（元/件）‎ 当1≤x≤20时，m=20+x 当21≤x≤30时，m=10+‎ ‎（1）请计算第几天该商品单价为25元/件？‎ ‎（2）求网店销售该商品30天里所获利润y（元）关于x（天）的函数关系式；‎ ‎（3）这30天中第几天获得的利润最大？最大利润是多少？‎ ‎【考点】二次函数的应用．‎ ‎【分析】（1）分两种情形分别代入解方程即可．‎ ‎（2）分两种情形写出所获利润y（元）关于x（天）的函数关系式即可．‎ ‎（3）分两种情形根据函数的性质解决问题即可．‎ ‎【解答】解：（1）分两种情况 ‎①当1≤x≤20时，将m=25代入m=20+x，解得x=10‎ ‎②当21≤x≤30时，25=10+，解得x=28‎ 经检验x=28是方程的解 ‎∴x=28‎ 答：第10天或第28天时该商品为25元/件．‎ ‎（2）分两种情况 ‎①当1≤x≤20时，y=（m﹣10）n=（20+x﹣10）（50﹣x）=﹣x2+15x+500，‎ ‎②当21≤x≤30时，y=（10+﹣10）（50﹣x）=‎ 综上所述：‎ ‎（3）①当1≤x≤20时 由y=﹣x2+15x+500=﹣（x﹣15）2+，‎ ‎∵a=﹣＜0，‎ ‎∴当x=15时，y最大值=，‎ ‎②当21≤x≤30时 由y=﹣420，可知y随x的增大而减小 ‎∴当x=21时，y最大值=﹣420=580元 ‎∵‎ ‎∴第15天时获得利润最大，最大利润为612.5元．‎ ‎　‎ ‎24．已知△ABC是等腰三角形，AB=AC．‎ ‎（1）特殊情形：如图1，当DE∥BC时，有DB　=　EC．（填“＞”，“＜”或“=”）‎ ‎（2）发现探究：若将图1中的△ADE绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）到图2位置，则（1）中的结论还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．‎ ‎（3）拓展运用：如图3，P是等腰直角三角形ABC内一点，∠ACB=90°，且PB=1，PC=2，PA=3，求∠BPC的度数．‎ ‎【考点】几何变换综合题．‎ ‎【分析】（1）由DE∥BC，得到，结合AB=AC，得到DB=EC；‎ ‎（2）由旋转得到的结论判断出△DAB≌△EAC，得到DB=CE；‎ ‎（3）由旋转构造出△CPB≌△CEA，再用勾股定理计算出PE，然后用勾股定理逆定理判断出△PEA是直角三角形，在简单计算即可．‎ ‎【解答】解：（1）∵DE∥BC，‎ ‎∴，‎ ‎∵AB=AC，‎ ‎∴DB=EC，‎ 故答案为=，‎ ‎（2）成立．‎ 证明：由①易知AD=AE，‎ ‎∴由旋转性质可知∠DAB=∠EAC，‎ 在△DAB和△EAC中 得 ‎∴△DAB≌△EAC，‎ ‎∴DB=CE，‎ ‎（3）如图，‎ 将△CPB绕点C旋转90°得△CEA，连接PE，‎ ‎∴△CPB≌△CEA，‎ ‎∴CE=CP=2，AE=BP=1，∠PCE=90°，‎ ‎∴∠CEP=∠CPE=45°，‎ 在Rt△PCE中，由勾股定理可得，PE=2，‎ 在△PEA中，PE2=（2）2=8，AE2=12=1，PA2=32=9，‎ ‎∵PE2+AE2=AP2，‎ ‎∴△PEA是直角三角形 ‎∴∠PEA=90°，‎ ‎∴∠CEA=135°，‎ 又∵△CPB≌△CEA ‎∴∠BPC=∠CEA=135°．‎ ‎　‎ ‎25．已知抛物线y=﹣+bx+c与y轴交于点C，与x轴的两个交点分别为A（﹣4，0），B（1，0）．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）已知点P在抛物线上，连接PC，PB，若△PBC是以BC为直角边的直角三角形，求点P的坐标；‎ ‎（4）已知点E在x轴上，点F在抛物线上，是否存在以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【考点】二次函数综合题．‎ ‎【分析】（1）因为抛物线经过点A（﹣4，0），B（1，0），所以可以设抛物线为y=﹣（x+4）（x﹣1），展开即可解决问题．‎ ‎（2）先证明∠ACB=90°，点A就是所求的点P，求出直线AC解析式，再求出过点B平行AC的直线的解析式，利用方程组即可解决问题．‎ ‎（3）分AC为平行四边形的边，AC为平行四边形的对角线两种切线讨论即可解决问题．‎ ‎【解答】解：（1）抛物线的解析式为y=﹣（x+4）（x﹣1），即y=﹣x2﹣x+2；‎ ‎（2）存在．‎ 当x=0，y═﹣x2﹣x+2=2，则C（0，2），‎ ‎∴OC=2，‎ ‎∵A（﹣4，0），B（1，0），‎ ‎∴OA=4，OB=1，AB=5，‎ 当∠PCB=90°时，‎ ‎∵AC2=42+22=20，BC2=22+12=5，AB2=52=25‎ ‎∴AC2+BC2=AB2‎ ‎∴△ACB是直角三角形，∠ACB=90°，‎ ‎∴当点P与点A重合时，△PBC是以BC为直角边的直角三角形，此时P点坐标为（﹣4，0）；‎ 当∠PBC=90°时，PB∥AC，如图1，‎ 设直线AC的解析式为y=mx+n，‎ 把A（﹣4，0），C（0，2）代入得，解得，‎ ‎∴直线AC的解析式为y=x+2，‎ ‎∵BP∥AC，‎ ‎∴直线BP的解析式为y=x+p，‎ 把B（1，0）代入得+p=0，解得p=﹣，‎ ‎∴直线BP的解析式为y=x﹣，‎ 解方程组得或，此时P点坐标为（﹣5，﹣3）；‎ 综上所述，满足条件的P点坐标为（﹣4，0），P2（﹣5，﹣3）；‎ ‎（3）存在点E，设点E坐标为（m，0），F（n，﹣n2﹣n+2）‎ ‎①当AC为边，CF1∥AE1，易知CF1=3，此时E1坐标（﹣7，0），‎ ‎②当AC为边时，AC∥EF，易知点F纵坐标为﹣2，‎ ‎∴﹣n2﹣n+2=﹣2，解得n=，得到F2（，﹣2），F3（，﹣2），‎ 根据中点坐标公式得到： =或=，‎ 解得m=或，‎ 此时E2（，0），E3（，0），‎ ‎③当AC为对角线时，AE4=CF1=3，此时E4（﹣1，0），‎ 综上所述满足条件的点E为（﹣7，0）或（﹣1，0）或（，﹣2）或（，﹣2）．‎ ‎　‎ ‎2016年7月13日